Тривиальная группа

Группа, состоящая только из одного элемента

В математике тривиальная группа или нулевая группа — это группа, состоящая из одного элемента. Все такие группы изоморфны , поэтому часто говорят о тривиальной группе. Единственный элемент тривиальной группы — это единичный элемент , поэтому его обычно обозначают так: или в зависимости от контекста. Если обозначается групповая операция , то она определяется как ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle e\cdot e=e.}$

Аналогично определяемыйТривиальный моноид также является группой, поскольку его единственным элементом является его собственный обратный элемент, и, следовательно, он совпадает с тривиальной группой.

Тривиальная группа отличается от пустого множества , которое не имеет элементов, следовательно, не имеет единичного элемента и, следовательно, не может быть группой.

Определения

Для любой группы группа, состоящая только из единичного элемента, является подгруппой и , будучи тривиальной группой, называется ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$тривиальная подгруппа ${\displaystyle G.}$

Термин, когда упоминается как « не имеет нетривиальных собственных подгрупп», относится только к подгруппам, являющимся тривиальной группой и самой группой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$

Характеристики

Тривиальная группа является циклической порядка ; как таковая она может быть обозначена или Если групповая операция называется сложением, то тривиальная группа обычно обозначается Если групповая операция называется умножением, то 1 может быть обозначением для тривиальной группы. Объединение этих значений приводит к тривиальному кольцу , в котором операции сложения и умножения идентичны и ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}.}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle 0=1.}$

Тривиальная группа служит нулевым объектом в категории групп , то есть она является как начальным, так и конечным объектом .

Тривиальную группу можно сделать (би-) упорядоченной группой , снабдив ее тривиальным нестрогим порядком ${\displaystyle \,\leq .}$

Смотрите также

• Нулевой объект (алгебра)  – алгебраическая структура с единственным элементом
• Список малых групп

Ссылки

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Тривиальная группа». MathWorld .