В геометрии усечение — это операция в любом измерении, которая разрезает вершины многогранника , создавая новую фасет вместо каждой вершины. Этот термин происходит от названия Кеплером архимедовых тел .
В общем, любой многогранник (или многогранник) также можно усечь с определенной степенью свободы относительно глубины разреза, как показано в операции усечения нотации многогранника Конвея .
Особый вид усечения, обычно подразумеваемый, — это равномерное усечение , оператор усечения, применяемый к правильному многограннику (или правильному многограннику ), который создает в результате однородный многогранник ( однородный многогранник ) с равными длинами ребер. Здесь нет степеней свободы, и он представляет собой фиксированную геометрическую форму, как и правильные многогранники.
В общем, все однокольцевые однородные многогранники имеют равномерное усечение. Например, икосододекаэдр , представленный в виде символов Шлефли r{5,3} или , и диаграмма Коксетера-Динкина 
или
имеет равномерное усечение, усеченный икосододекаэдр , представленный как tr{5,3} или ,
. На диаграмме Кокстера-Динкина эффект усечения заключается в том, чтобы окольцевать все узлы, соседние с окольцованным узлом.
Равномерное усечение, выполненное на регулярной треугольной мозаике {3,6}, приводит к правильной шестиугольной мозаике {6,3}.
Усеченный n-сторонний многоугольник будет иметь 2n сторон (ребер). Правильный многоугольник, равномерно усеченный, станет другим правильным многоугольником: t{n} равно {2n}. Полное усечение (или исправление ) r{3} — это еще один правильный многоугольник в его двойственном положении.
Правильный многоугольник также можно представить с помощью диаграммы Кокстера-Динкина :
и его равномерное усечениеи его полное усечение. Графикпредставляет группу Кокстера I 2 (n), где каждый узел представляет собой зеркало, а край представляет угол π/ n между зеркалами, а вокруг одного или обоих зеркал дан круг, чтобы показать, какие из них активны.
Звездчатые многоугольники также можно обрезать. Усеченная пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник , но на самом деле представляет собой дважды покрытый (вырожденный) десятиугольник ({10/2}) с двумя наборами перекрывающихся вершин и ребер. Усеченная большая гептаграмма {7/3} дает тетрадекаграмму {14/3}.
Когда «усечение» применяется к платоновым телам или правильным мозаикам , обычно подразумевается «равномерное усечение», что означает усечение до тех пор, пока исходные грани не станут правильными многоугольниками с вдвое большим количеством сторон, чем исходная форма.
Эта последовательность показывает пример усечения куба с использованием четырех шагов непрерывного процесса усечения между полным кубом и исправленным кубом. Конечный многогранник — кубооктаэдр . Среднее изображение — равномерный усеченный куб ; он представлен символом Шлефли t { p , q ,...}.
Битовое усечение — это более глубокое усечение, при котором удаляются все исходные ребра, но остается внутренняя часть исходных граней. Пример: усеченный октаэдр — это усеченный побитно куб: t{3,4} = 2t{4,3}.
Полное усечение битов, называемое биректификацией , сводит исходные грани к точкам. Для многогранников это становится двойственным многогранником . Пример: октаэдр — это биректификация куба : {3,4} = 2r{4,3}.
Другой тип усечения, кантелляция , обрезает ребра и вершины, удаляет исходные ребра, заменяет их прямоугольниками, удаляет исходные вершины и заменяет их гранями двойственных исходным правильным многогранникам или замощению.
Многогранники более высокой размерности имеют более высокие усечения. Ранцинация режет грани, ребра и вершины. В пяти измерениях стерилизация разрезает клетки, грани и края.
Усечение ребер — это скос или фаска многогранников, аналогичный кантелляции, но с сохранением исходных вершин и заменой ребер шестиугольниками. В 4-многогранниках при усечении ребер ребра заменяются вытянутыми ячейками бипирамиды.
Чередование или частичное усечение удаляет только некоторые исходные вершины.
При частичном усечении или чередовании половина вершин и соединительных ребер полностью удаляются. Операция применима только к многогранникам с четными гранями. Грани уменьшаются вдвое, а квадратные грани вырождаются в ребра. Например, тетраэдр — это чередующийся куб h{4,3}.
Уменьшение — это более общий термин, используемый в отношении тел Джонсона для удаления одной или нескольких вершин, ребер или граней многогранника без нарушения других вершин. Например, трехмерный икосаэдр начинается с правильного икосаэдра с удаленными тремя вершинами.
Другие частичные усечения основаны на симметрии; например, тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .
Процесс линейного усечения можно обобщить, разрешив параметрические усечения, которые являются отрицательными или выходят за пределы средней точки ребер, вызывая самопересекающиеся звездчатые многогранники, и могут параметрически относиться к некоторым правильным звездчатым многоугольникам и однородным звездчатым многогранникам .
