Частица в коробке

Математическая модель в квантовой механике

Некоторые траектории частицы в ящике согласно законам Ньютона классической механики (A) и согласно уравнению Шредингера квантовой механики (B–F). В (B–F) горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — это действительная часть (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции . Состояния (B,C,D) являются собственными энергетическими состояниями , а (E,F) — нет.

В квантовой механике модель частицы в ящике (также известная как бесконечная потенциальная яма или бесконечная квадратная яма ) описывает движение свободной частицы в небольшом пространстве, окруженном непроницаемыми барьерами. Модель в основном используется в качестве гипотетического примера для иллюстрации различий между классическими и квантовыми системами. Например, в классических системах частица, запертая внутри большого ящика, может двигаться с любой скоростью внутри ящика, и вероятность ее обнаружения в одном положении не выше, чем в другом. Однако, когда яма становится очень узкой (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся важными. Частица может занимать только определенные положительные энергетические уровни . Аналогично, она никогда не может иметь нулевую энергию, что означает, что частица никогда не может «сидеть на месте». Кроме того, вероятность ее обнаружения в определенных положениях выше, чем в других, в зависимости от ее уровня энергии. Частица может никогда не быть обнаружена в определенных положениях, известных как пространственные узлы.

Модель «частица в ящике» — одна из немногих задач квантовой механики, которую можно решить аналитически, без приближений. Благодаря своей простоте, эта модель позволяет понять квантовые эффекты без необходимости в сложной математике. Она служит простой иллюстрацией того, как возникают квантования энергии (уровни энергии), которые встречаются в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых задач квантовой механики, изучаемых в курсах физики бакалавриата, и она обычно используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.

Одномерное решение

Барьеры снаружи одномерного ящика имеют бесконечно большой потенциал, в то время как внутри ящика потенциал постоянный, нулевой. Показан смещенный колодец, с ${\textstyle x_{c}=L/2}$

Простейшая форма частицы в модели ящика рассматривает одномерную систему. Здесь частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии с непроницаемыми барьерами на обоих концах. ^[1] Стенки одномерного ящика можно рассматривать как области пространства с бесконечно большой потенциальной энергией . Наоборот, внутренняя часть ящика имеет постоянную нулевую потенциальную энергию. ^[2] Это означает, что на частицу внутри ящика не действуют никакие силы, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако бесконечно большие силы отталкивают частицу, если она касается стенок ящика, не давая ей вырваться. Потенциальная энергия в этой модели задается как, где L — длина ящика, x _c — местоположение центра ящика, а x — положение частицы внутри ящика. Простые случаи включают центрированный ящик ( x _c = 0) и смещенный ящик ( x _c = L /2) (на рисунке). $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

Позиционная волновая функция

В квантовой механике волновая функция дает наиболее фундаментальное описание поведения частицы; все измеримые свойства частицы (такие как ее положение, импульс и энергия) могут быть выведены из волновой функции. ^[3] Волновую функцию можно найти, решив уравнение Шредингера для системы, где — приведенная постоянная Планка , — масса частицы, — мнимая единица , — время. ${\displaystyle \psi (x,t)}$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

Внутри ящика на частицу не действуют никакие силы, а это значит, что часть волновой функции внутри ящика колеблется в пространстве и времени в той же форме, что и свободная частица : ^{[1] [4]}

где и — произвольные комплексные числа . Частота колебаний в пространстве и времени задается волновым числом и угловой частотой соответственно. Они оба связаны с полной энергией частицы выражением ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$которое известно как дисперсионное соотношение для свободной частицы. ^[1] Однако, поскольку частица не полностью свободна, а находится под влиянием потенциала, энергия частицы равна где T — кинетическая, а V — потенциальная энергия. Следовательно, энергия частицы, указанная выше, — это не то же самое, что (т. е. импульс частицы не задается выражением ). Таким образом, волновое число k выше на самом деле описывает энергетические состояния частицы и не связано с импульсом, как это обычно бывает с «волновым числом». Обоснование того, что k называется волновым числом, заключается в том, что оно перечисляет количество гребней, которые волновая функция имеет внутри ящика, и в этом смысле оно является волновым числом. Это несоответствие можно увидеть более отчетливо ниже, когда мы узнаем, что энергетический спектр частицы дискретен (допускаются только дискретные значения энергии), но спектр импульса непрерывен (импульс может изменяться непрерывно), т. е . . $${\displaystyle E=T+V,}$$ ${\displaystyle E=p^{2}/2m}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$

Начальные волновые функции для первых четырех состояний одномерной частицы в ящике

Амплитуда волновой функции в заданном положении связана с вероятностью нахождения там частицы соотношением . Следовательно , волновая функция должна исчезать всюду за пределами границ ящика. ^{[1] [4]} Кроме того, амплитуда волновой функции не может «прыгать» резко из одной точки в другую. ^[1] Этим двум условиям удовлетворяют только волновые функции вида ^[5] где и для положительных целых чисел . Простейшие решения или оба дают тривиальную волновую функцию , которая описывает частицу, которая не существует нигде в системе. ^[6] Здесь видно, что для частицы допускается только дискретный набор значений энергии и волновых чисел k . Обычно в квантовой механике также требуется, чтобы производная волновой функции в дополнение к самой волновой функции была непрерывной; здесь это требование привело бы к тому, что единственным решением была бы постоянная нулевая функция, что не является тем, что нам нужно, поэтому мы отказываемся от этого требования (поскольку эту систему с бесконечным потенциалом можно рассматривать как нефизический абстрактный предельный случай, мы можем рассматривать ее как таковую и «нарушать правила»). Обратите внимание, что отказ от этого требования означает, что волновая функция не является дифференцируемой функцией на границе ящика, и, таким образом, можно сказать, что волновая функция не решает уравнение Шредингера в граничных точках и (но решает его везде в других местах). ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$ $${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$ $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle k_{n}=0}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$

Наконец, неизвестная константа может быть найдена путем нормализации волновой функции . То есть, из этого следует , что любое комплексное число , абсолютное значение которого равно , дает то же самое нормализованное состояние. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$

Ожидается, что собственные значения , т. е. энергия ящика должны быть одинаковыми независимо от его положения в пространстве, но изменяются. Обратите внимание, что представляет собой сдвиг фазы в волновой функции. Этот сдвиг фазы не оказывает никакого влияния при решении уравнения Шредингера и, следовательно, не влияет на собственное значение . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$ ${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

Если установить начало координат в центре ящика, то можно кратко переписать пространственную часть волновой функции следующим образом: $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Импульсная волновая функция

Волновая функция импульса пропорциональна преобразованию Фурье волновой функции положения. При (обратите внимание, что параметр k, описывающий волновую функцию импульса ниже, не является в точности специальным k _n выше, связанным с собственными значениями энергии), волновая функция импульса задается как , где sinc — кардинальная синусоидальная функция sinc , sinc( x ) = sin( x )/ x . Для центрированного ящика ( x _c = 0 ) решение является действительным и особенно простым, поскольку фазовый множитель справа сводится к единице. (С осторожностью его можно записать как четную функцию p .) ${\displaystyle k=p/\hbar }$ $${\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},}$$

Видно, что спектр импульса в этом волновом пакете непрерывен, и можно сделать вывод, что для энергетического состояния, описываемого волновым числом k _n , импульс может, при измерении, достигать и других значений, выходящих за пределы . ${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

Следовательно, также оказывается, что, поскольку энергия относится к n- му собственному состоянию, соотношение не строго выполняется для измеренного импульса p ; собственное состояние энергии не является собственным состоянием импульса и, по сути, даже не является суперпозицией двух собственных состояний импульса, как можно было бы предположить из уравнения ( 1 ) выше: как ни странно, оно не имеет четко определенного импульса до измерения! ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

Распределение вероятностей положения и импульса

В классической физике частица может быть обнаружена в любом месте ящика с равной вероятностью. Однако в квантовой механике плотность вероятности обнаружения частицы в заданном положении выводится из волновой функции как Для частицы в ящике плотность вероятности обнаружения частицы в заданном положении зависит от ее состояния и определяется как ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$ $${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

Таким образом, для любого значения n больше единицы, существуют области внутри ящика, для которых , что указывает на существование пространственных узлов , в которых частица не может быть найдена. Однако, если рассматривать релятивистские волновые уравнения , то плотность вероятности не стремится к нулю в узлах (кроме тривиального случая ). ^[7] ${\displaystyle P(x)=0}$ ${\displaystyle n=0}$

В квантовой механике среднее или математическое ожидание положения частицы определяется выражением $${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Для стационарной частицы в ящике можно показать, что среднее положение всегда равно , независимо от состояния частицы. Для суперпозиции состояний ожидаемое значение положения будет меняться в зависимости от перекрестного члена, который пропорционален . ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$

Дисперсия положения является мерой неопределенности положения частицы: $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

Плотность вероятности нахождения частицы с заданным импульсом выводится из волновой функции как . Как и в случае с положением, плотность вероятности нахождения частицы с заданным импульсом зависит от ее состояния и определяется выражением, где, опять же, . Затем вычисляется математическое ожидание импульса, равное нулю, а дисперсия импульса вычисляется как: ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$ $${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$ ${\displaystyle k=p/\hbar }$ $${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

Неопределенности положения и импульса ( и ) определяются как равные квадратному корню их соответствующих дисперсий, так что: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

Это произведение увеличивается с ростом n , достигая минимума при n = 1. Значение этого произведения при n = 1 примерно равно 0,568 , что подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга , который гласит, что произведение будет больше или равно . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

Другой мерой неопределенности положения является информационная энтропия распределения вероятностей H _x : ^[8] где x ₀ — произвольная опорная длина. $${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

Другой мерой неопределенности импульса является информационная энтропия распределения вероятностей H _p : где γ — постоянная Эйлера . Квантово-механический энтропийный принцип неопределенности утверждает, что для ( nats ) $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$ ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

Для сумма энтропий положения и импульса дает: где единицей измерения является nat , и что удовлетворяет квантовому энтропийному принципу неопределенности. ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

Уровни энергии

Энергия частицы в ящике (черные круги) и свободной частицы (серая линия) зависят от волнового числа одинаково. Однако частица в ящике может иметь только определенные, дискретные уровни энергии.

Энергии, соответствующие каждому из разрешенных волновых чисел, можно записать как ^[9] Уровни энергии увеличиваются с , что означает, что высокие уровни энергии отделены друг от друга на большую величину, чем низкие уровни энергии. Наименьшая возможная энергия для частицы (ее нулевая энергия ) находится в состоянии 1, которое задается как ^[10] Таким образом, частица всегда имеет положительную энергию. Это контрастирует с классическими системами, где частица может иметь нулевую энергию, покоясь неподвижно. Это можно объяснить с точки зрения принципа неопределенности , который гласит, что произведение неопределенностей положения и импульса частицы ограничено Можно показать, что неопределенность положения частицы пропорциональна ширине ящика. ^[11] Таким образом, неопределенность импульса примерно обратно пропорциональна ширине ящика. ^[10] Кинетическая энергия частицы определяется как , и, следовательно, минимальная кинетическая энергия частицы в ящике обратно пропорциональна массе и квадрату ширины ямы, что качественно согласуется с расчетом выше. ^[10] $${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ ${\displaystyle n^{2}}$ $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

Многомерные коробки

(Гипер-)прямоугольные стены

Волновая функция двумерной ямы с n _x =4 и n _y =4

Если частица заперта в двумерном ящике, она может свободно перемещаться в и -направлениях между барьерами, разделенными длинами и соответственно. Для центрированного ящика волновая функция положения может быть записана с учетом длины ящика как . Используя аналогичный подход к одномерному ящику, можно показать, что волновые функции и энергии для центрированного ящика соответственно задаются как , где двумерный волновой вектор задается как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$ $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

Для трехмерного ящика решения имеют вид: трехмерный волновой вектор определяется как: $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .}$$

В общем случае для n -мерного ящика решения следующие: $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

Аналогично , n -мерные волновые функции импульса могут быть представлены следующим образом : тогда волновая функция импульса для n -мерного центрированного ящика будет иметь вид: ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$ $${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

Интересной особенностью приведенных выше решений является то, что когда две или более длин одинаковы (например, ), существует несколько волновых функций, соответствующих одной и той же полной энергии. Например, волновая функция с имеет ту же энергию, что и волновая функция с . Такая ситуация называется вырождением , а в случае, когда ровно две вырожденные волновые функции имеют одинаковую энергию, уровень энергии называется дважды вырожденным . Вырождение является результатом симметрии в системе. Для приведенного выше случая две длины равны, поэтому система симметрична относительно поворота на 90°. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$ ${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

Более сложные формы стен

Волновая функция квантово-механической частицы в ящике, стенки которого имеют произвольную форму, задается уравнением Гельмгольца при граничном условии, что волновая функция обращается в нуль на стенках. Эти системы изучаются в области квантового хаоса для форм стенок, соответствующие динамические бильярдные столы которых неинтегрируемы.

Приложения

Из-за своей математической простоты модель «частица в ящике» используется для поиска приближенных решений для более сложных физических систем, в которых частица оказывается запертой в узкой области низкого электрического потенциала между двумя высокими потенциальными барьерами. Эти системы квантовых ям особенно важны в оптоэлектронике и используются в таких устройствах, как лазер на квантовых ямах , инфракрасный фотодетектор на квантовых ямах и квантово-ограниченный модулятор эффекта Штарка . Она также используется для моделирования решетки в модели Кронига–Пенни и для конечного металла с приближением свободных электронов.

Сопряженные полиены

β-каротин — это сопряженный полиен.

Сопряженные полиеновые системы можно моделировать с помощью частицы в ящике. ^[12] Сопряженную систему электронов можно моделировать как одномерный ящик с длиной, равной общему расстоянию связи от одного конца полиена до другого. В этом случае каждая пара электронов в каждой π-связи соответствует своему уровню энергии. Разница энергий между двумя уровнями энергии, n _f и n _i, равна: $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

Разница между энергией основного состояния, n, и первого возбужденного состояния, n+1, соответствует энергии, необходимой для возбуждения системы. Эта энергия имеет определенную длину волны, а следовательно, и цвет света, связанный соотношением: $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

Типичным примером этого явления является β-каротин . ^{[ требуется ссылка ]} β-каротин (C ₄₀ H ₅₆ ) ^[13] представляет собой сопряженный полиен оранжевого цвета с длиной молекулы приблизительно 3,8 нм (хотя длина его цепи составляет всего приблизительно 2,4 нм). ^{[14] Из-за высокого уровня} сопряжения β-каротина электроны распределены по всей длине молекулы, что позволяет моделировать ее как одномерную частицу в коробке. β-каротин имеет 11 углерод -углеродных двойных связей в сопряжении; ^[13] каждая из этих двойных связей содержит два π-электрона, поэтому β-каротин имеет 22 π-электрона. С двумя электронами на энергетический уровень β-каротин можно рассматривать как частицу в коробке на энергетическом уровне n = 11. ^[14] Таким образом, минимальная энергия, необходимая для возбуждения электрона на следующий энергетический уровень, может быть рассчитана, n = 12, следующим образом ^[14] (напоминая, что масса электрона составляет 9,109 × 10−31 ^кг [ ^15] ): $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

Используя предыдущую связь длины волны с энергией, вспоминая как постоянную Планка h , так и скорость света c : $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

Это указывает на то, что β-каротин в первую очередь поглощает свет в инфракрасном спектре, поэтому он будет казаться белым для человеческого глаза. Однако наблюдаемая длина волны составляет 450 нм, ^[16] указывая на то, что частица в коробке не является идеальной моделью для этой системы.

Лазер с квантовой ямой

Модель частицы в коробке может быть применена к лазерам с квантовыми ямами , которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одного полупроводникового материала «ямы», зажатого между двумя другими полупроводниковыми слоями из другого материала. Поскольку слои этого сэндвича очень тонкие (средний слой обычно имеет толщину около 100 Å), можно наблюдать эффекты квантового ограничения . ^[17] Идея о том, что квантовые эффекты могут быть использованы для создания лучших лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Лазер с квантовыми ямами был запатентован в 1976 году Р. Динглом и К. Х. Генри. ^[18]

В частности, поведение квантовых ям может быть представлено частицей в модели конечной ямы. Необходимо выбрать два граничных условия. Первое заключается в том, что волновая функция должна быть непрерывной. Часто второе граничное условие выбирается таким образом, чтобы производная волновой функции была непрерывной по всей границе, но в случае квантовой ямы массы различны по обе стороны границы. Вместо этого второе граничное условие выбирается таким образом, чтобы поток частиц сохранялся как , что согласуется с экспериментом. Решение для частицы конечной ямы в ящике должно быть решено численно, что приводит к волновым функциям, которые являются синусоидальными функциями внутри квантовой ямы и экспоненциально затухающими функциями в барьерах. ^[19] Такое квантование энергетических уровней электронов позволяет лазеру на квантовой яме излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры. ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

Из-за своего малого размера квантовые точки не демонстрируют объемные свойства указанного полупроводника, а скорее демонстрируют квантованные энергетические состояния. ^[20] Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, таким как лазер с квантовой ямой. ^[20]

Исследователи из Принстонского университета недавно построили лазер с квантовой ямой, который не больше рисового зерна. ^[21] Лазер питается от одного электрона, который проходит через две квантовые точки; двойную квантовую точку. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, испуская фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, создавая луч света; лазер. ^[21]

Квантовый лазер в значительной степени основан на взаимодействии света и электронов. Это отношение является ключевым компонентом в квантово-механических теориях, которые включают в себя дебройлевскую длину волны и частицу в коробке. Двойная квантовая точка позволяет ученым получить полный контроль над движением электрона, что в результате приводит к созданию лазерного луча. ^[21]

Квантовые точки

Квантовые точки — это чрезвычайно маленькие полупроводники (в масштабе нанометров). ^[22] Они демонстрируют квантовое ограничение , поскольку электроны не могут покинуть «точку», что позволяет использовать приближения «частица в ящике». ^[23] Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии «частица в ящике». ^[23]

Энергетическая щель квантовой точки — это энергетическая щель между ее валентной зоной и зоной проводимости . Эта энергетическая щель равна щели объемного материала плюс уравнение энергии, полученное из уравнения «частица-в-ящике», которое дает энергию для электронов и дырок . ^[23] Это можно увидеть в следующем уравнении, где и — эффективные массы электрона и дырки, — радиус точки, а — постоянная Планка: ^[23] ${\displaystyle \Delta E(r)}$ ${\displaystyle E_{\text{gap}}}$ ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

Следовательно, энергетическая щель квантовой точки обратно пропорциональна квадрату «длины ящика», т.е. радиусу квантовой точки. ^[23]

Манипулирование шириной запрещенной зоны позволяет поглощать и испускать определенные длины волн света, поскольку энергия обратно пропорциональна длине волны. ^[22] Чем меньше квантовая точка, тем больше ширина запрещенной зоны и, следовательно, тем короче поглощаемая длина волны. ^{[22] [24]}

Различные полупроводниковые материалы используются для синтеза квантовых точек разных размеров и, следовательно, излучают разные длины волн света. ^[24] Материалы, которые обычно излучают свет в видимой области, часто используются, и их размеры точно настраиваются таким образом, чтобы излучались определенные цвета. ^[22] Типичные вещества, используемые для синтеза квантовых точек, — это кадмий (Cd) и селен (Se). ^{[22] [24]} Например, когда электроны двухнанометровых квантовых точек CdSe релаксируют после возбуждения , излучается синий свет. Аналогично, красный свет излучается в четырехнанометровых квантовых точках CdSe. ^{[25] [22]}

Квантовые точки имеют множество функций, включая, помимо прочего, флуоресцентные красители, транзисторы , светодиоды , солнечные элементы и медицинскую визуализацию с помощью оптических зондов. ^{[22] [23]}

Одной из функций квантовых точек является их использование в картировании лимфатических узлов, что возможно благодаря их уникальной способности излучать свет в ближнем инфракрасном (БИК) диапазоне. Картирование лимфатических узлов позволяет хирургам отслеживать, существуют ли раковые клетки и где они находятся. ^[26]

Квантовые точки полезны для этих функций из-за их излучения более яркого света, возбуждения широким спектром длин волн и более высокой устойчивости к свету, чем другие вещества. ^{[26] [22]}

Смотрите также

• История квантовой механики
• Конечная потенциальная яма
• Дельта-функция потенциала
• Газ в коробке
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Полукруглая потенциальная яма
• Конфигурационный интеграл (статистическая механика)
• Теорема Блоха

Ссылки

1. Дэвис, стр.4
2. На самом деле, любой постоянный, конечный потенциал может быть указан внутри ящика. Это просто сдвигает энергии состояний на . ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$
3. Дэвис, стр. 1
4. Брансден и Иоахейн, с. 157
5. Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ 2019, с. 271.
6. Брансден и Иоахайн, стр.158
7. Alberto, P; Fiolhais, C; Gil, VMS (1996). "Релятивистская частица в коробке" (PDF) . European Journal of Physics . 17 (1): 19–24. Bibcode :1996EJPh...17...19A. doi :10.1088/0143-0807/17/1/004. hdl : 10316/12349 . S2CID  250895519.
8. Majernik, Vladimir; Richterek, Lukas (1997-12-01). "Энтропические соотношения неопределенности для бесконечной ямы". J. Phys. A. 30 ( 4): L49. Bibcode :1997JPhA...30L..49M. doi :10.1088/0305-4470/30/4/002 . Получено 11 февраля 2016 г.
9. Холл 2013, стр. 81.
10. Брансден и Иоахайн, стр. 159
11. Дэвис, стр. 15
12. Аутшбах, Йохен (ноябрь 2007 г.). «Почему модель «частица в коробке» хорошо работает для цианиновых красителей, но не для сопряженных полиенов». Журнал химического образования . 84 (11): 1840. doi :10.1021/ed084p1840. ISSN  0021-9584.
13. Pubchem. "бета-каротин | C40H56 – PubChem". pubchem.ncbi.nlm.nih.gov . Получено 10.11.2016 .
14. Сатиш, РК; Сидхартхан, ПВ; Удаянандан, КМ «Частица в коробке — остров сокровищ для студентов». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
15. PJ Mohr, BN Taylor и DB Newell, "Рекомендуемые значения фундаментальных физических констант CODATA 2014 года". Эта база данных была разработана J. Baker, M. Douma и S. Kotochigova . Доступно: [1]. Национальный институт стандартов и технологий, Гейтерсберг, Мэриленд 20899.
16. β-каротин http://www.sigmaaldrich.com/catalog/product/aldrich/855553?lang=en®ion=us (дата обращения: 8 ноября 2016 г.).
17. Зори, Питер (1993). Квантовые лазеры . Сан-Диего: Academic Press Unlimited.
18. Патент США № 3,982,207, выданный 21 сентября 1976 г., изобретатели Р. Дингл и К. Х. Генри, «Квантовые эффекты в гетероструктурных лазерах», подан 7 марта 1975 г.
19. Миллер, Дэвид (1995). Бурштейн, Элиас; Вайсбух, Клод (ред.). Ограниченные электроны и фотоны: новая физика и приложения . Нью-Йорк: Plenum Press. С. 675–702.
20. Miessler, GL (2013). Неорганическая химия (5-е изд.). Бостон: Pearson. стр. 235–236. ISBN 978-0321811059.
21. Зандонелла, Кэтрин. «Лазер размером с рис, питаемый одним электроном за раз, служит хорошим предзнаменованием для квантовых вычислений». Принстонский университет . Получено 8 ноября 2016 г.
22. Райс, CV; Гриффин, GA (2008). "Простые синтезы квантовых точек CdSe". Журнал химического образования . 85 (6): 842. Bibcode : 2008JChEd..85..842R. doi : 10.1021/ed085p842 . Получено 5 ноября 2016 г.
23. "Квантовые точки: настоящая система "частица в коробке"". PhysicsOpenLab . 20 ноября 2015 г. Получено 5 ноября 2016 г.
24. Overney, René M. "Quantum Confinement" (PDF) . University of Washington. Архивировано из оригинала (PDF) 2 декабря 2016 г. . Получено 5 ноября 2016 г. .
25. Zahn, Dietrich RT "Surface and Interface Properties of Semiconductor Quantum Dots by Raman Spectroscopy" (PDF) . Technische Universität Chemnitz. Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2016 г. Получено 5 ноября 2016 г.
26. Bentolila, Laurent A.; Ebenstein, Yuval (2009). «Квантовые точки для визуализации мелких животных in vivo». Журнал ядерной медицины . 50 (4): 493–496. doi :10.2967/jnumed.108.053561. PMC 3081879. PMID 19289434  . 

Библиография

• Bransden, BH; Joachain, CJ (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Эссекс: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7.
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2019). Квантовая механика, Том 1 . Вайнхайм: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-34553-3.
• Дэвис, Джон Х. (2006). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение (6-е переиздание). Cambridge University Press.
• Холл, BC (2013). Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том 267. Springer. Bibcode :2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8.

Внешние ссылки

• Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. Этот вики-сайт недоступен; см. эту статью в веб-архиве 28 апреля 2012 г.