В геометрии секущая — это линия , которая пересекает кривую как минимум в двух различных точках . [1] Слово секущая происходит от латинского слова secare , что означает разрезать . [2] В случае окружности секущая пересекает окружность ровно в двух точках. Хорда — это отрезок прямой, определяемый двумя точками, то есть интервал на секущей, концы которого являются двумя точками. [3]
Прямая линия может пересекать окружность в нуле, одной или двух точках. Линия с пересечением в двух точках называется секущей линией , в одной точке — касательной линией , а ни в одной точке — внешней линией . Хорда — это отрезок прямой, соединяющий две различные точки окружности. Таким образом, хорда содержится в единственной секущей линии, и каждая секущая линия определяет единственную хорду.
В строгих современных трактовках планиметрии результаты, которые кажутся очевидными и которые предполагались (без утверждения) Евклидом в его трактовке , обычно доказываются.
Например, Теорема (Элементарная круговая непрерывность) : [4] Если — окружность и прямая, содержащая точку A , которая находится внутри , и точку B , которая находится снаружи, то — секущая для .
В некоторых ситуациях формулировка результатов в терминах секущих линий вместо хорд может помочь объединить высказывания. В качестве примера рассмотрим результат: [5]
Если точка P лежит внутри круга, то это Евклид III.35, но если точка находится вне круга, результат не содержится в Элементах. Однако Роберт Симсон , следуя за Кристофером Клавиусом, продемонстрировал этот результат, иногда называемый теоремой о пересекающихся секущих , в своих комментариях к Евклиду. [6]
Для кривых, более сложных, чем простые окружности, возникает возможность того, что линия пересекает кривую более чем в двух различных точках. Некоторые авторы определяют секущую линию кривой как линию, пересекающую кривую в двух различных точках. Это определение оставляет открытой возможность того, что линия может иметь другие точки пересечения с кривой. При такой формулировке определения секущей линии для окружностей и кривых идентичны, и возможность дополнительных точек пересечения просто не возникает для окружности.
Секущие могут использоваться для аппроксимации касательной к кривой в некоторой точке P , если она существует. Определим секущую к кривой по двум точкам P и Q , где P фиксирована, а Q переменна. По мере того, как Q приближается к P вдоль кривой, если наклон секущей приближается к предельному значению , то этот предел определяет наклон касательной в точке P. [1] Секущие линии PQ являются аппроксимациями касательной. В исчислении эта идея является геометрическим определением производной .
Касательная линия к кривой в точке P может быть секущей линией к этой кривой, если она пересекает кривую хотя бы в одной точке, отличной от P. Другой способ взглянуть на это — понять, что быть касательной линией в точке P — это локальное свойство, зависящее только от кривой в непосредственной близости от P , в то время как быть секущей линией — это глобальное свойство, поскольку необходимо исследовать всю область определения функции, создающей кривую.
Понятие секущей линии может быть применено в более общей обстановке, чем евклидово пространство. Пусть K будет конечным набором из k точек в некоторой геометрической обстановке. Прямая будет называться n -секущей K , если она содержит ровно n точек K. [7] Например , если K - набор из 50 точек, расположенных на окружности в евклидовой плоскости, то линия, соединяющая две из них, будет 2-секущей (или бисекущей ), а линия, проходящая только через одну из них, будет 1-секущей (или односекущей ). Односекущая в этом примере не обязательно должна быть касательной к окружности.
Эта терминология часто используется в геометрии инцидентности и дискретной геометрии . Например, теорема Сильвестра–Галлаи геометрии инцидентности гласит, что если n точек евклидовой геометрии не коллинеарны, то должна существовать 2-секущая из них. А исходная задача о посадке фруктового сада дискретной геометрии требует ограничения на количество 3-секущих конечного набора точек.
Конечность множества точек не является существенной в этом определении, поскольку каждая линия может пересекать множество только в конечном числе точек.
