Двусторонний дисперсионный анализ

Статистический тест, проверяющий влияние двух категориальных переменных на одну непрерывную переменную

В статистике двухфакторный дисперсионный анализ ( ANOVA ) является расширением однофакторного ANOVA , который изучает влияние двух различных категориальных независимых переменных на одну непрерывную зависимую переменную . Двухфакторный ANOVA направлен не только на оценку основного эффекта каждой независимой переменной, но и на то, есть ли между ними какое-либо взаимодействие .

История

В 1925 году Рональд Фишер упоминает двухфакторный ANOVA в своей знаменитой книге «Статистические методы для научных работников» (главы 7 и 8). В 1934 году Фрэнк Йейтс опубликовал процедуры для несбалансированного случая. ^[1] С тех пор была создана обширная литература. Тема была рассмотрена в 1993 году Ясунори Фудзикоши. ^[2] В 2005 году Эндрю Гельман предложил другой подход ANOVA, рассматриваемый как многоуровневая модель . ^[3]

Набор данных

Давайте представим набор данных , для которого зависимая переменная может находиться под влиянием двух факторов , которые являются потенциальными источниками вариации. Первый фактор имеет уровни ( ) , а второй имеет уровни ( ) . Каждая комбинация определяет обработку , для общего количества обработок. Мы представляем число повторов для обработки как , и пусть будет индексом повтора в этой обработке ( ) . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,I\}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,J\}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle n_{ij}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n_{ij}\}}$

По этим данным можно построить таблицу сопряженности , где и , а общее количество повторений равно . ${\displaystyle n_{i+}=\sum _{j=1}^{J}n_{ij}}$ ${\displaystyle n_{+j}=\sum _{i=1}^{I}n_{ij}}$ ${\displaystyle n=\sum _{i,j}n_{ij}=\sum _{i}n_{i+}=\sum _{j}n_{+j}}$

Экспериментальный план сбалансирован , если каждое лечение имеет одинаковое количество повторений, . В таком случае план также называется ортогональным , что позволяет полностью различать эффекты обоих факторов. Следовательно, мы можем записать , и . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}=K}$ ${\displaystyle \forall i,j\;n_{ij}={\frac {n_{i+}\cdot n_{+j}}{n}}}$

Модель

При наблюдении вариации среди всех точек данных, например, с помощью гистограммы , « вероятность может быть использована для описания такой вариации». ^[4] Давайте, следовательно, обозначим случайную величину , наблюдаемое значение которой является -й мерой для обработки . Двухфакторный ANOVA моделирует все эти переменные как изменяющиеся независимо и нормально вокруг среднего значения, , с постоянной дисперсией, ( гомоскедастичность ): ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{ijk}}$ ${\displaystyle y_{ijk}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle Y_{ijk}\,|\,\mu _{ij},\sigma ^{2}\;{\overset {\mathrm {i.i.d.} }{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\mu _{ij},\sigma ^{2})}$.

В частности, среднее значение переменной отклика моделируется как линейная комбинация объясняющих переменных:

${\displaystyle \mu _{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\gamma _{ij}}$,

где — общее среднее, — аддитивный главный эффект уровня от первого фактора ( i -я строка в таблице сопряженности), — аддитивный главный эффект уровня от второго фактора ( j -й столбец в таблице сопряженности) и — неаддитивный эффект взаимодействия обработки для образцов от обоих факторов (ячейка в строке i и столбце j в таблице сопряженности). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle k=1,...,n_{ij}}$

Другой эквивалентный способ описания двухфакторного ANOVA — это упоминание того, что помимо вариации, объясняемой факторами, остается некоторый статистический шум . Это количество необъяснимой вариации обрабатывается путем введения одной случайной величины на точку данных, называемой ошибкой . Эти случайные величины рассматриваются как отклонения от средних значений и считаются независимыми и нормально распределенными: ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Y_{ijk}=\mu _{ij}+\epsilon _{ijk}{\text{ with }}\epsilon _{ijk}{\overset {\mathrm {i.i.d.} }{\sim }}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$.

Предположения

Согласно Гельману и Хиллу , предположения дисперсионного анализа и, в более общем плане, общей линейной модели , следующие (в порядке убывания важности): ^[5]

1. точки данных имеют отношение к исследуемому научному вопросу;
2. среднее значение переменной отклика аддитивно (если не через член взаимодействия) и линейно зависит от факторов;
3. ошибки независимы;
4. ошибки имеют одинаковую дисперсию;
5. Ошибки распределены нормально.

Оценка параметров

Для обеспечения идентифицируемости параметров можно добавить следующие ограничения «суммы с нулем»:

${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}=\sum _{j}\beta _{j}=\sum _{i}\gamma _{ij}=\sum _{j}\gamma _{ij}=0}$

Проверка гипотез

В классическом подходе проверка нулевых гипотез (о том, что факторы не оказывают никакого влияния) достигается посредством их значимости , что требует вычисления сумм квадратов .

Проверка значимости члена взаимодействия может быть затруднена из-за потенциально большого числа степеней свободы . ^[6]

Пример

В следующем гипотетическом примере показана урожайность 15 растений, подвергавшихся воздействию двух различных условий окружающей среды и трех различных удобрений.

Рассчитывается пять сумм квадратов:

Наконец, можно рассчитать суммы квадратов отклонений, необходимые для дисперсионного анализа .

Смотрите также

• Анализ дисперсии
• F-тест ( включает пример однофакторного дисперсионного анализа )
• Смешанная модель
• Многомерный дисперсионный анализ (MANOVA)
• Однофакторный дисперсионный анализ
• Повторные измерения ANOVA
• Тест Тьюки на аддитивность

Примечания

1. Йейтс, Фрэнк (март 1934 г.). «Анализ множественных классификаций с неравными числами в разных классах». Журнал Американской статистической ассоциации . 29 (185): 51–66. doi :10.1080/01621459.1934.10502686. JSTOR  2278459.
2. Фудзикоши, Ясунори (1993). «Двухфакторные модели ANOVA с несбалансированными данными». Дискретная математика . 116 (1): 315–334. doi : 10.1016/0012-365X(93)90410-U .
3. Гельман, Эндрю (февраль 2005 г.). «Дисперсионный анализ? почему он важнее, чем когда-либо». Анналы статистики . 33 (1): 1–53. arXiv : math/0504499 . doi :10.1214/009053604000001048. S2CID  125025956.
4. Касс, Роберт Э. (1 февраля 2011 г.). «Статистический вывод: общая картина». Статистическая наука . 26 (1): 1–9. arXiv : 1106.2895 . doi : 10.1214/10-sts337. PMC 3153074. PMID  21841892. 
5. Гельман, Эндрю; Хилл, Дженнифер (18 декабря 2006 г.). Анализ данных с использованием регрессии и многоуровневых/иерархических моделей. Cambridge University Press . стр. 45–46. ISBN 978-0521867061.
6. Yi-An Ko; et al. (сентябрь 2013 г.). «Новые тесты отношения правдоподобия для скрининга взаимодействий ген-ген и ген-окружающая среда с несбалансированными данными повторных измерений». Genetic Epidemiology . 37 (6): 581–591. doi :10.1002/gepi.21744. PMC 4009698 . PMID  23798480. 

Ссылки

• Джордж Каселла (18 апреля 2008 г.). Статистический дизайн. Springer Texts in Statistics. Springer . ISBN 978-0-387-75965-4.