Принесите радикальные

Действительный корень многочлена x^5+x+a

Сюжет фильма «Приведи радикала к настоящему аргументу»

В алгебре радикал или ультрарадикал Бринга действительного числа a — это единственный действительный корень многочлена  $${\displaystyle x^{5}+x+a.}$$

Радикал Бринга комплексного числа a — это либо любой из пяти корней указанного выше многочлена (таким образом, он многозначен ), либо определенный корень, который обычно выбирается таким образом, чтобы радикал Бринга был действительным для действительного a и был аналитической функцией в окрестности действительной прямой. Из-за существования четырех точек ветвления радикал Бринга не может быть определен как функция, непрерывная на всей комплексной плоскости , и его область непрерывности должна исключать четыре разреза ветвления .

Джордж Джеррард показал, что некоторые уравнения пятой степени можно решить в замкнутой форме с использованием радикалов и радикалов Бринга, которые были введены Эрландом Брингом .

В этой статье радикал Бринга числа a обозначается Для действительного аргумента он нечетен, монотонно убывает и неограничен, с асимптотическим поведением при больших . ${\displaystyle \operatorname {BR} (a).}$ ${\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}$ ${\displaystyle a}$

Нормальные формы

Уравнение пятой степени довольно сложно решить напрямую, с пятью независимыми коэффициентами в его наиболее общем виде: $${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$

Различные методы решения квинтики, которые были разработаны, как правило, пытаются упростить квинтику, используя преобразования Чирнхауза для уменьшения количества независимых коэффициентов.

Основная форма пятой степени

Общую квинтику можно свести к так называемой основной квинтической форме , исключив члены четвертой и третьей степени: $${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

Если корни общей квинтики и главной квинтики связаны квадратичным преобразованием Чирнгауза, то коэффициенты и могут быть определены с помощью результирующего , или с помощью степенных сумм корней и тождеств Ньютона . Это приводит к системе уравнений в и , состоящей из квадратного и линейного уравнения, и любой из двух наборов решений может быть использован для получения соответствующих трех коэффициентов главной квинтики. ^[1] $${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Эта форма используется в решении квинтики Феликса Клейна . ^[2]

Нормальная форма Бринга–Джеррарда

Можно еще больше упростить квинтику и исключить квадратичный член, получив нормальную форму Бринга–Джеррарда : Повторное использование формул степенной суммы с кубическим преобразованием, как это пытался сделать Чирнхаус , не работает, поскольку полученная система уравнений приводит к уравнению шестой степени. Но в 1796 году Бринг нашел способ обойти это, используя преобразование квартики Чирнхауса, чтобы связать корни главной квинтики с корнями квинтики Бринга–Джеррарда: $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$ $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

Дополнительный параметр, который дает это преобразование четвертого порядка, позволил Брингу уменьшить степени других параметров. Это приводит к системе из пяти уравнений с шестью неизвестными, которая затем требует решения кубического и квадратного уравнения. Этот метод также был открыт Джеррардом в 1852 году, ^[3], но, вероятно, он не знал о предыдущей работе Бринга в этой области. ^{[1] (стр. 92–93)} Полное преобразование можно легко выполнить с помощью пакета компьютерной алгебры, такого как Mathematica ^[4] или Maple . ^[5] Как и следовало ожидать из-за сложности этих преобразований, полученные выражения могут быть огромными, особенно по сравнению с решениями в радикалах для уравнений более низкой степени, занимая много мегабайт памяти для общей квинтики с символическими коэффициентами. ^[4]

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения включают две переменные, d ₁ и d ₀ ; однако, сведение фактически является алгебраической функцией одной переменной, очень похожей на решение в радикалах, поскольку мы можем дополнительно свести форму Бринга–Джеррарда. Если мы, например, положим , то мы сводим уравнение к форме , которая включает z как алгебраическую функцию одной переменной , где . Эта форма требуется методом Эрмита–Кронекера–Бриоски, методом Глассера и методом дифференциальных резольвент Кокла–Харли, описанным ниже. $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$

Альтернативная форма получается путем установки так, что где . Эта форма используется для определения радикала Бринга ниже. ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ ${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$

Нормальная форма Бриоски

Существует еще одна однопараметрическая нормальная форма для уравнения квинтики, известная как нормальная форма Бриоски , которая может быть получена с помощью рационального преобразования Чирнхауза для связи корней общей квинтики с квинтикой Бриоски. Значения параметров и могут быть получены с помощью полиэдральных функций на сфере Римана и связаны с разбиением объекта икосаэдрической симметрии на пять объектов тетраэдрической симметрии . ^[6] $${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Это преобразование Чирнхауса гораздо проще, чем сложное преобразование, используемое для преобразования главной квинтики в форму Бринга–Джеррарда. Эта нормальная форма используется методом итерации Дойла–МакМаллена и методом Киперта.

Представление серии

Ряд Тейлора для радикалов Бринга, а также представление в терминах гипергеометрических функций можно вывести следующим образом. Уравнение можно переписать как Задав искомое решение как , так как нечетно. ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$ ${\displaystyle x^{5}+x=-a.}$ ${\displaystyle f(x)=x^{5}+x,}$ ${\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ряд для затем может быть получен путем обращения ряда Тейлора для (который просто ), давая где абсолютные значения коэффициентов образуют последовательность A002294 в OEIS . Радиус сходимости ряда равен ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x+x^{5}}$ $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.}$

В гипергеометрической форме радикал Бринга можно записать как ^[4] $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$$

Может быть интересно сравнить с гипергеометрическими функциями, которые возникают ниже в выводе Глассера и методе дифференциальных резольвент.

Решение общей квинтики

Корни многочлена могут быть выражены в терминах радикала Бринга как и его четырех сопряженных . ^{[ требуется ссылка ]} Теперь задача сводится к форме Бринга–Джеррарда в терминах разрешимых полиномиальных уравнений и с использованием преобразований, включающих полиномиальные выражения в корнях только до четвертой степени, что означает, что обращение преобразования может быть выполнено путем нахождения корней многочлена, разрешимого в радикалах. Эта процедура дает посторонние решения, но когда правильные были найдены численными средствами, корни квинтики могут быть записаны в терминах квадратных корней, кубических корней и радикала Бринга, который, следовательно, является алгебраическим решением в терминах алгебраических функций (определенных в широком смысле, чтобы включать радикалы Бринга) одной переменной — алгебраическое решение общей квинтики. $${\displaystyle x^{5}+px+q}$$ $${\displaystyle {\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)}$$

Другие характеристики

Было разработано много других характеристик радикала Бринга, первая из которых была дана в терминах «эллиптических трансцендентов» (связанных с эллиптическими и модулярными функциями) Шарлем Эрмитом в 1858 году, а также дополнительные методы, разработанные позднее другими математиками.

Характеристика Эрмита–Кронекера–Бриоски

В 1858 году Шарль Эрмит ^[7] опубликовал первое известное решение общего уравнения квинтики в терминах «эллиптических трансцендентов», и примерно в то же время Франческо Бриоски ^[8] и Леопольд Кронекер ^[9] пришли к эквивалентным решениям. Эрмит пришел к этому решению, обобщив известное решение кубического уравнения в терминах тригонометрических функций , и находит решение квинтики в форме Бринга–Джеррарда: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

в которое любое уравнение пятой степени может быть сведено посредством преобразований Чирнхауза, как было показано. Он заметил, что эллиптические функции играют аналогичную роль в решении уравнения пятой степени Бринга–Джеррарда, какую тригонометрические функции играли для кубической степени. Для и запишите их как полные эллиптические интегралы первого рода : где Определим два «эллиптических трансцендента»: ^{[примечание 1]} Их можно эквивалентно определить бесконечными рядами: ^{[примечание 2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K',}$ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ $${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

Если n — простое число , мы можем определить два значения и следующим образом: и ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

Когда n — нечетное простое число, параметры и связаны уравнением степени n  + 1 в , ^{[примечание 3]} , известным как модульное уравнение , корни которого в задаются формулой: ^{[10] [примечание 4]} и где равно 1 или −1 в зависимости от того, является ли 2 квадратичным вычетом по модулю n или нет, соответственно, ^{[примечание 5]} и . Для n  = 5 мы имеем модульное уравнение: ^[11] с шестью корнями в , как показано выше. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ $${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ ${\displaystyle u}$

Модульное уравнение с может быть связано с квинтикой Бринга – Джеррарда с помощью следующей функции шести корней модульного уравнения (В книге Эрмита Sur la theorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré первый фактор неверно дано как ): ^[12] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

В качестве альтернативы, формула ^[13] полезна для численной оценки . Согласно Эрмиту, коэффициент в разложении равен нулю для каждого . ^[14] $${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$ ${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$

Пять величин , , , , являются корнями уравнения пятой степени с коэффициентами, рациональными в : ^[15] которые можно легко преобразовать в форму Бринга–Джеррарда путем подстановки: что приводит к уравнению пятой степени Бринга–Джеррарда: где ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$ ${\displaystyle \varphi (\tau )}$ $${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$ $${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

Метод Эрмита–Кронекера–Бриоски тогда сводится к нахождению значения для , которое соответствует значению , а затем использованию этого значения для получения корней соответствующего модульного уравнения. Мы можем использовать алгоритмы нахождения корней для нахождения из уравнения (*) (т.е. вычислить частичное обратное для ). Возведение в квадрат (*) дает квартику исключительно в (используя ). Каждое решение (в ) (*) является решением квартики, но не каждое решение квартики является решением (*). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$ ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Корни квинтики Бринга–Джеррарда тогда определяются как: для . $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

Альтернативный, «интегральный» подход заключается в следующем:

Рассмотрим , где Тогда есть решение, где ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

Корни уравнения (**) следующие: где ^[13] (обратите внимание, что некоторые важные ссылки ошибочно приводят его как ^{[6] [7]} ). Один из этих корней можно использовать в качестве эллиптического модуля . $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ ${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$ ${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$ ${\displaystyle k}$

Корни квинтики Бринга–Джеррарда тогда определяются как: для . $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

Можно видеть, что этот процесс использует обобщение корня n-й степени , которое может быть выражено как: или, точнее, как Метод Эрмита–Кронекера–Бриоски по сути заменяет экспоненту на «эллиптический трансцендент», а интеграл (или обратный на действительной прямой) на эллиптический интеграл (или на частично обратный «эллиптический трансцендент»). Кронекер считал, что это обобщение является частным случаем еще более общей теоремы, которая будет применима к уравнениям произвольно высокой степени. Эта теорема, известная как формула Томае , была полностью выражена Хироши Умемурой ^[16] в 1984 году, который использовал модулярные формы Зигеля вместо экспоненциальных/эллиптических трансцендент и заменил интеграл на гиперэллиптическим интегралом . $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ ${\displaystyle \exp }$

Вывод Глассера

Этот вывод, предложенный М. Лоуренсом Глассером ^[17], обобщает метод рядов, представленный ранее в этой статье, для нахождения решения любого трехчленного уравнения вида: $${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

В частности, уравнение пятой степени можно свести к этой форме с помощью преобразований Чирнхауза, как показано выше. Пусть , общая форма становится: где ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

Формула Лагранжа утверждает , что для любой аналитической функции в окрестности корня преобразованного в терминах общего уравнения выше можно выразить в виде бесконечного ряда : ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle \zeta \,}$ $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

Если ввести эту формулу, то можно найти корень: ${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$ $${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

Используя теорему Гаусса об умножении, бесконечный ряд выше можно разбить на конечный ряд гипергеометрических функций : $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

и трехчлен формы имеет корни $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$ $${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

Корень уравнения, таким образом, может быть выражен как сумма не более чем гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной квинтике Бринга–Джеррарда, определите следующие функции: которые являются гипергеометрическими функциями, которые появляются в формуле ряда выше. Корни квинтики, таким образом, следующие: ${\displaystyle N-1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

По сути, это тот же результат, что и полученный следующим методом.

Метод дифференциальных резольвент

Джеймс Кокл ^[18] и Роберт Харли ^[19] разработали в 1860 году метод решения квинтики с помощью дифференциальных уравнений. Они рассматривают корни как функции коэффициентов и вычисляют дифференциальную резольвенту на основе этих уравнений. Квинтика Бринга–Джеррарда выражается как функция: и функция должна быть определена таким образом, что: $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ ${\displaystyle \,\phi (a)\,}$ $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

Функция также должна удовлетворять следующим четырем дифференциальным уравнениям: ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

Разлагая их и объединяя вместе, получаем дифференциальную резольвенту: $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

Решение дифференциальной резольвенты, будучи обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка, зависит от четырех констант интегрирования , которые должны быть выбраны так, чтобы удовлетворять исходной квинтике. Это фуксово обыкновенное дифференциальное уравнение гипергеометрического типа, ^[20] решение которого оказывается идентичным ряду гипергеометрических функций, возникших в выводе Глассера выше. ^[5]

Этот метод может быть также обобщен на уравнения произвольно высокой степени с дифференциальными резольвентами, которые являются частными дифференциальными уравнениями , решения которых включают гипергеометрические функции нескольких переменных. ^{[21] [22]} Общая формула для дифференциальных резольвент произвольных одномерных полиномов дается формулой степенной суммы Нахая. ^{[23] [24]}

Итерация Дойла-МакМаллена

В 1989 году Питер Дойл и Курт МакМаллен вывели итерационный метод ^[25] , который решает квинтику в нормальной форме Бриоски: Итерационный алгоритм работает следующим образом: $${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$

1. Набор ${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. Вычислите рациональную функцию , где — полиномиальная функция, указанная ниже, а — производная по отношению к $${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle w}$
3. Итерировать случайную начальную догадку, пока она не сойдется. Назвать предельную точку и пусть . ${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
4. Вычислите , где — полиномиальная функция, заданная ниже. Сделайте это для обоих и . $${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$ ${\displaystyle h(Z,w)}$ ${\displaystyle w_{1}\,}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
5. Наконец, вычислим для i = 1, 2. Это два корня квинтики Бриоски. $${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$

Две полиномиальные функции и имеют следующий вид: ${\displaystyle g(Z,w)\,}$ ${\displaystyle h(Z,w)\,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

Этот метод итерации производит два корня квинтики. Оставшиеся три корня можно получить, используя синтетическое деление для разделения двух корней, производя кубическое уравнение. Из-за того, как сформулирована итерация, этот метод, кажется, всегда находит два комплексно-сопряженных корня квинтики, даже когда все коэффициенты квинтики действительны и начальное предположение действительно. Этот метод итерации выведен из симметрий икосаэдра и тесно связан с методом, который Феликс Клейн описывает в своей книге. ^[2]

Смотрите также

• Теория уравнений
• Преобразование Адамчика

Ссылки

Примечания

1. и Эти функции связаны с тета-функциями Якоби с помощью и ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \psi (\tau )=\varphi (-1/\tau ).}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}(\tau )=\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau )}$ ${\displaystyle \psi ^{2}(\tau )=\vartheta _{01}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ).}$
2. Коэффициенты разложений в ряд Фурье задаются следующим образом: Если и , то и где , , , , , , , , , а последовательности и являются -периодическими. ${\textstyle \varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle \psi (\tau )=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}'e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle c_{n}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}\right)c_{n-k}\right)}$ ${\textstyle c_{n}'={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}'+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}'\right)c_{n-k}'\right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle c_{0}=c_{0}'=1}$ ${\displaystyle a_{1}=-1}$ ${\displaystyle a_{2}=2}$ ${\displaystyle a_{3}=-1}$ ${\displaystyle a_{4}=0}$ ${\displaystyle a_{1}'=-2}$ ${\displaystyle a_{2}'=1}$ ${\displaystyle a_{3}'=-2}$ ${\displaystyle a_{4}'=0}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle (a')}$ ${\displaystyle 4}$
3. При n = 2 параметры связаны уравнением 8-й степени . ${\displaystyle u}$
4. Некоторые ссылки определяют и Тогда модульное уравнение решается вместо этого и имеет корни и ${\displaystyle u=\varphi (\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi (n\tau ).}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=\varepsilon (n)\varphi (n\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi [(\tau +16m)/n].}$
5. Эквивалентно, (по закону квадратичной взаимности ). ${\displaystyle \varepsilon (n)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}}$

Другой

1. Adamchik, Victor (2003). "Polynomial Transformations of Tschirnhaus, Bring, and Jerrard" (PDF) . ACM SIGSAM Bulletin . 37 (3): 91. CiteSeerX 10.1.1.10.9463 . doi :10.1145/990353.990371. S2CID  53229404. Архивировано из оригинала (PDF) 26.02.2009. 
2. Klein, Felix (1888). Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Trübner & Co. ISBN 978-0-486-49528-6.
3. Джеррард, Джордж Бирч (1859). Эссе о разрешении уравнений. Лондон, Великобритания: Taylor & Francis .
4. "Решение квинтики с помощью Mathematica". Wolfram Research . Архивировано из оригинала 1 июля 2014 г.
5. Drociuk, Richard J. (2000). «О полном решении наиболее общего полинома пятой степени». arXiv : math.GM/0005026 .
6. King, R. Bruce (1996). Beyond the Quartic Equation . Биркхойзер. С. 131. ISBN 978-3-7643-3776-6.
7. Эрмит, Чарльз (1858). «Сюр-ла-решение о равенстве пяти градусов». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 508–515.
8. Бриоски, Франческо (1858). «Метод Кронекера для расчета уравнений Quinto Grado». Атти Делли. Р. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Я : 275–282.
9. Кронекер, Леопольд (1858). «Sur la resolution de l'equation du cinquième degree, extrait d'une Letter adressée à M. Hermite». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 1150–1152.
10. Борвейн, Джонатан М .; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience . ISBN 0-471-83138-7.стр. 126. Обратите внимание, что если , и если . На странице опечатка: вместо этого должно быть . ${\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=\Omega _{p}(v,u)}$ ${\displaystyle p\equiv \pm 1{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=-\Omega _{p}(v,-u)}$ ${\displaystyle p\equiv \pm 3{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle k=0,2,\ldots ,p-1}$ ${\displaystyle k=0,1,2\ldots ,p-1}$
11. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. стр. 127. ISBN 0-471-83138-7.Таблица дает Приравняв его к нулю и умножив на, получаем уравнение в этой статье. ${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{5}(u,v)=&-u^{6}+4u^{5}v^{5}-5u^{4}v^{2}+5u^{2}v^{4}\\&-4uv+v^{6}.\end{aligned}}}$ ${\displaystyle -1}$
12. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 135
13. Davis, Harold T. (1962). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения . Dover. стр. 173. ISBN 978-0-486-60971-3.
14. Sur la theorie des équations modulaires et la resolution de l'équation du cinquième degree ( 1859), стр. Эрмита. 7
15. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 136
16. Umemura, Hiroshi (2007). «Разрешение алгебраических уравнений с помощью констант тета». В Mumford, David (ред.). Tata Lectures on Theta II . Modern Birkhäuser Classics. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. стр. 261–270. doi :10.1007/978-0-8176-4578-6_18. ISBN 9780817645694.
17. Глассер, М. Лоуренс (1994). «Квадратичная формула стала сложнее: Менее радикальный подход к решению уравнений». arXiv : math.CA/9411224 .
18. Кокл, Джеймс (1860). «Набросок теории трансцендентных корней». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 20 (131): 145–148. doi :10.1080/14786446008642921.
19. Харли, Роберт (1862). «О трансцендентном решении алгебраических уравнений». Quart. J. Pure Appl. Math . 5 : 337–361.
20. Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Cambridge University Press . стр. 42–44. ISBN 978-0-521-06483-5.
21. Биркеланд, Ричард (1927). «Über die Auflösung алгебраишер Gleichungen durch Hypergeometrische Funktionen» [О решении алгебраических уравнений с помощью гипергеометрических функций]. Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 26 : 565–578. дои : 10.1007/BF01475474. S2CID  120762456 . Проверено 1 июля 2017 года .
22. Майр, Карл (1937). «Über die Auflösung алгебраический Gleichungssysteme durch Hypergeometrische Funktionen». Монашефте по математике и физике . 45 : 280–313. дои : 10.1007/BF01707992. S2CID  197662587.
23. Нахай, Джон (2004). «Формула степенной суммы для дифференциальных резольвент». Международный журнал математики и математических наук . 2004 (7): 365–371. doi : 10.1155/S0161171204210602 .
24. Нахай, Джон (2000). Линейные дифференциальные резольвенты (диссертация на степень доктора философии). Пискатауэй, Нью-Джерси: Университет Ратгерса.Ричард М. Кон, советник.
25. Дойл, Питер; МакМаллен, Курт (1989). «Решение квинтики итерацией» (PDF) . Acta Mathematica . 163 : 151–180. doi : 10.1007/BF02392735 . S2CID  14827783.

Источники

• Mirzaei, Raoof (2012). Спиноры и специальные функции для решения уравнения n-й степени . Международный симпозиум Mathematica.
• Клейн, Ф. (1888). Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Перевод Морриса, Джорджа Гэвина. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
• Кинг, Р. Брюс (1996). За пределами уравнения четвертой степени . Биркхойзер. ISBN 3-7643-3776-1.
• Дэвис, Гарольд Т. (1962). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения . Довер. Глава 6, особенно §20 и §21. ISBN 0-486-60971-5.

Внешние ссылки

• Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Преобразование Чирнхаузена», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Форма Бринга–Джеррарда Квинтика». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Приведите форму пятой степени». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ультрарадикал». MathWorld .