Равнораспределенная последовательность

В математике последовательность ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) действительных чисел называется равнораспределенной или равномерно распределенной , если доля членов, попадающих в подынтервал, пропорциональна длине этого подынтервала. Такие последовательности изучаются в теории диофантовых приближений и имеют приложения к интегрированию Монте -Карло .

Определение

Последовательность ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) действительных чисел называется равномерно распределенной на невырожденном интервале [ a , b ], если для каждого подинтервала [ c , d  ] интервала [ a , b ] выполняется соотношение

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.}$

(Здесь запись |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d  ]| обозначает количество элементов из первых n элементов последовательности, которые находятся между c и d .)

Например, если последовательность равномерно распределена в [0, 2], поскольку интервал [0,5, 0,9] занимает 1/5 длины интервала [0, 2], то по мере того, как n становится большим, доля первых n членов последовательности, которые попадают между 0,5 и 0,9, должна приближаться к 1/5. Грубо говоря, можно сказать, что каждый член последовательности с равной вероятностью попадет в любое место в своем диапазоне. Однако это не означает, что ( s _n ) является последовательностью случайных величин ; скорее, это определенная последовательность действительных чисел.

Несоответствие

Определим расхождение D _N для последовательности ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) относительно интервала [ a ,  b ] как

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .}$

Таким образом, последовательность является равномерно распределенной, если расхождение DN стремится к нулю, когда _N стремится к бесконечности.

Равнораспределение — довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент, не оставляя пробелов. Например, рисунки случайной величины, равномерно распределенной по сегменту, будут равномерно распределены в сегменте, но будут иметь большие пробелы по сравнению с последовательностью, которая сначала перечисляет кратные ε в сегменте для некоторого малого ε соответствующим образом выбранным способом, а затем продолжает делать это для все меньших и меньших значений ε. Для более сильных критериев и для конструкций последовательностей, которые распределены более равномерно, см. последовательность с низким расхождением .

Интегральный критерий Римана для равнораспределения

Напомним, что если f — функция, имеющая интеграл Римана в интервале [ a , b ], то ее интеграл — это предел сумм Римана, взятых путем выборки функции f в наборе точек, выбранных из тонкого разбиения интервала. Поэтому, если некоторая последовательность равномерно распределена в [ a , b ], ожидается, что эта последовательность может быть использована для вычисления интеграла функции, интегрируемой по Риману. Это приводит к следующему критерию ^[1] для равномерно распределенной последовательности:

Предположим, что ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) — последовательность, содержащаяся в интервале [ a , b ]. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. Последовательность равномерно распределена на [ a , b ].
2. Для каждой интегрируемой по Риману ( комплекснозначной ) функции f  : [ a , b ] → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ имеет место следующий предел:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Этот критерий приводит к идее интегрирования по методу Монте-Карло , где интегралы вычисляются путем выборки функции по последовательности случайных величин, равномерно распределенных в интервале.

Невозможно обобщить интегральный критерий на класс функций, больший, чем просто интегрируемые по Риману. Например, если рассматривается интеграл Лебега и f берется из L 1 , то этот критерий не выполняется. В качестве контрпримера возьмем f как индикаторную функцию некоторой равномерно распределенной последовательности. Тогда в критерии левая часть всегда равна 1, тогда как правая часть равна нулю, поскольку последовательность счетна , поэтому f равна нулю почти везде .

Фактически, теорема де Брейна–Поста утверждает обратное утверждение к вышеуказанному критерию: если f — функция, такая что вышеуказанный критерий выполняется для любой равномерно распределенной последовательности в [ a , b ], то f интегрируема по Риману в [ a , b ]. ^[2]

Равнораспределение по модулю 1

Последовательность ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...) действительных чисел называется равномерно распределенной по модулю 1 или равномерно распределенной по модулю 1, если последовательность дробных частей числа a _n , обозначаемая как ( a _n ) или как a _n  − ⌊ a _n ⌋, равномерно распределена в интервале [0, 1].

Примеры

Иллюстрация заполнения единичного интервала ( ось x ) с использованием первых n членов последовательности Ван дер Корпута для n от 0 до 999 ( ось y ). Градация цвета обусловлена ​​наложением.

• Теорема о равнораспределении : последовательность всех кратных иррациональному числу α ,

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

равномерно распределено по модулю 1. ^[3]

• В более общем случае, если p — многочлен , имеющий хотя бы один коэффициент, отличный от постоянного иррационального члена, то последовательность p ( n ) равномерно распределена по модулю 1.

Это было доказано Вейлем и является применением разностной теоремы Ван дер Корпута. ^[4]

• Последовательность log( n ) неравномерно распределена по модулю 1. ^[3] Этот факт связан с законом Бенфорда .
• Последовательность всех кратных иррационального числа α последовательными простыми числами ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

равномерно распределена по модулю 1. Это известная теорема аналитической теории чисел , опубликованная И.М. Виноградовым в 1948 году. ^[5]

• Последовательность Ван дер Корпута является равномерно распределенной. ^[6]

Критерий Вейля

Критерий Вейля утверждает, что последовательность a _n равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех ненулевых целых чисел ℓ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

Критерий назван в честь Германа Вейля и был впервые сформулирован им . ^[7] Он позволяет свести вопросы равнораспределения к границам показательных сумм , фундаментальному и общему методу.

Обобщения

• Количественная форма критерия Вейля задается неравенством Эрдёша–Турана .
• Критерий Вейля естественным образом распространяется на более высокие размерности , предполагая естественное обобщение определения равнораспределения по модулю 1:

Последовательность v _n векторов в R ^k равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для любого ненулевого вектора ℓ ∈  Z ^k ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

Пример использования

Критерий Вейля можно использовать для легкого доказательства теоремы о равнораспределении , утверждающей, что последовательность кратных 0, α , 2 α , 3 α , ... некоторого действительного числа α равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда α иррационально. ^[3]

Предположим, что α иррационально и обозначим нашу последовательность как a _j  =  jα (где j начинается с 0, чтобы упростить формулу позже). Пусть ℓ  ≠ 0 будет целым числом. Поскольку α иррационально, ℓα никогда не может быть целым числом, поэтому никогда не может быть 1. Используя формулу для суммы конечной геометрической прогрессии , ${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},}$

конечная граница, которая не зависит от n . Поэтому после деления на n и стремления n к бесконечности левая часть стремится к нулю, и критерий Вейля выполняется.

И наоборот, обратите внимание, что если α рационально , то эта последовательность не является равномерно распределенной по модулю 1, поскольку существует только конечное число вариантов для дробной части a _j  =  jα .

Полное равномерное распределение

Последовательность действительных чисел называется k-равномерно распределенной по модулю 1, если не только последовательность дробных частей равномерно распределена в , но и последовательность , где определяется как , равномерно распределена в . ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$ ${\displaystyle [0,1]^{k}}$

Говорят, что последовательность действительных чисел полностью равномерно распределена по модулю 1, если она равномерно распределена для каждого натурального числа . ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Например, последовательность равномерно распределена по модулю 1 (или 1-равномерно распределена) для любого иррационального числа , но никогда не распределена даже 2-равномерно. Напротив, последовательность полностью равномерно распределена почти для всех (т. е. для всех, за исключением набора меры 0). ${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha }$

разностная теорема Ван дер Корпута

Теорема Иоганнеса ван дер Корпута ^[8] гласит, что если для каждого h последовательность s _{n + h} − s _n равномерно распределена по модулю 1, то так же распределена и s _n . ^{[9] [10] [11]}

Множество Ван дер Корпута — это множество H целых чисел, такое, что если для каждого h из H последовательность s _{n + h} − s _n равномерно распределена по модулю 1, то и s _n также равномерно распределена . ^{[10] [11]}

Метрические теоремы

Метрические теоремы описывают поведение параметризованной последовательности для почти всех значений некоторого параметра α : то есть для значений α, не лежащих в некотором исключительном множестве меры Лебега, равной нулю.

• Для любой последовательности различных целых чисел b _n , последовательность ( b _n α ) равномерно распределена по модулю 1 для почти всех значений α . ^[12]
• Последовательность ( α ⁿ ) равномерно распределена по модулю 1 почти для всех значений α > 1. ^[13]

Неизвестно, являются ли последовательности ( ^en ) ^или ( πn ) равномерно распределенными по модулю 1. Однако известно, что последовательность ( αn ) не является равномерно распределенной по модулю 1, если ^α является числом PV .

Хорошо распределенная последовательность

Последовательность ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) действительных чисел называется хорошо распределенной на [ a , b ], если для любого подынтервала [ c , d  ] из [ a , b ] имеем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}}$

равномерно по k . Очевидно, что каждая хорошо распределенная последовательность равномерно распределена, но обратное неверно. Определение хорошо распределенного по модулю 1 аналогично.

Последовательности, равномерно распределенные относительно произвольной меры

Для произвольного пространства вероятностных мер последовательность точек называется равномерно распределенной относительно , ​​если среднее значение точечных мер слабо сходится к : ^[14] ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .}$

В любой борелевской вероятностной мере на сепарабельном метризуемом пространстве существует равнораспределенная последовательность относительно меры; действительно, это немедленно следует из того факта, что такое пространство является стандартным .

Общее явление равнораспределения часто встречается в динамических системах, связанных с группами Ли , например, в решении Маргулис гипотезы Оппенгейма .

Смотрите также

• Теорема о равнораспределении
• Последовательность с низким расхождением
• Неравенство Эрдеша–Турана

Примечания

1. Kuipers & Niederreiter (2006), стр. 2–3.
2. http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Теорема 8
3. Kuipers & Niederreiter (2006), стр. 8
4. Kuipers & Niederreiter (2006), с. 27
5. Kuipers & Niederreiter (2006), с. 129
6. Kuipers & Niederreiter (2006), с. 127
7. Вейль, Х. (сентябрь 1916 г.). «Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins» [О распределении чисел по модулю один] (PDF) . Математика. Энн. (на немецком языке). 77 (3): 313–352. дои : 10.1007/BF01475864. S2CID  123470919.
8. ван дер Корпут, Дж. (1931), «Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins», Acta Mathematica , 56 , Springer Нидерланды: 373–456, doi : 10.1007/BF02545780 , ISSN  0001-5962, JFM  57.0230.05, Збл  0001.20102
9. Kuipers & Niederreiter (2006), с. 26
10. Монтгомери (1994) стр. 18
11. Монтгомери, Хью Л. (2001). "Гармонический анализ, найденный в аналитической теории чисел" (PDF) . В Бирнс, Джеймс С. (ред.). Гармонический анализ двадцатого века–празднование. Труды Института передовых исследований НАТО, Иль Чиокко, Италия, 2–15 июля 2000 г. NATO Sci. Ser. II, Math. Phys. Chem. Vol. 33. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 271–293. doi :10.1007/978-94-010-0662-0_13. ISBN 978-0-7923-7169-4. Збл  1001.11001.
12. См . Бернштейн, Феликс (1911), «Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen Herrührendes Issue», Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi : 10.1007/BF01456856, S2CID  119558177.
13. Коксма, Дж. Ф. (1935), «Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins», Compositio Mathematica , 2 : 250–258, JFM  61.0205.01, Zbl  0012.01401
14. Kuipers & Niederreiter (2006), с. 171

Ссылки

• Койперс, Л.; Нидеррайтер, Х. (2006) [1974]. Равномерное распределение последовательностей . Дуврские публикации. ISBN 0-486-45019-8.
• Койперс, Л.; Нидеррайтер, Х. (1974). Равномерное распределение последовательностей . ISBN John Wiley & Sons Inc. 0-471-51045-9. Збл  0281.10001.
• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0737-4. Збл  0814.11001.

Дальнейшее чтение

• Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Равнораспределение в теории чисел, введение. Труды Института передовых исследований НАТО по равнораспределению в теории чисел, Монреаль, Канада, 11–22 июля 2005 г. Научная серия НАТО II: Математика, физика и химия. Том 237. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-5403-7. Збл  1121.11004.
• Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка. Graduate Studies in Mathematics . Vol. 142. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8986-2. Збл  1277.11010.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равнораспределенная последовательность». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Вейля». MathWorld .
• Критерий Вейля на PlanetMath .
• Конспект лекций Чарльза Уокдена с доказательством критерия Вейля