В теории вероятности и статистике задача об урне — это идеализированное умственное упражнение , в котором некоторые объекты, представляющие реальный интерес (например, атомы, люди, автомобили и т. д.), представлены в виде цветных шаров в урне или другом контейнере. Кто-то делает вид, что вынимает из урны один или несколько шаров; цель — определить вероятность рисования того или иного цвета или каких-то других свойств. Ниже описан ряд важных вариаций.
Модель урны — это либо набор вероятностей, описывающих события в задаче с урной, либо распределение вероятностей или семейство таких распределений случайных величин , связанных с задачами с урной. [1]
История
В «Ars Conjectandi» (1713) Якоб Бернулли рассмотрел проблему определения пропорций разноцветных камешков внутри урны по количеству камешков, извлеченных из урны. Эта проблема была известна как проблема обратной вероятности и была темой исследований в восемнадцатом веке, привлекая внимание Авраама де Муавра и Томаса Байеса .
Бернулли использовал латинское слово urna , которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но это также термин, используемый в Древнем Риме для обозначения любого сосуда для сбора бюллетеней или жребия; Современное итальянское или испанское слово, обозначающее урну для голосования, по-прежнему — urna . Источником вдохновения для Бернулли, возможно, были лотереи , выборы или азартные игры , которые включали вытягивание шаров из контейнера, и утверждалось, что выборы в средневековой и ренессансной Венеции , в том числе выборы дожа , часто включали выбор избирателей по жребию , используя шарики разных цветов, извлеченные из урны. [2]
Базовая модель урны
В этой базовой модели урны в теории вероятностей урна содержит x белых и y черных шаров, хорошо перемешанных друг с другом. Из урны случайным образом вынимают один шар и наблюдают за его цветом; Затем его помещают обратно в урну (или нет), и процесс выбора повторяется. [3]
Возможные вопросы, на которые можно ответить в этой модели:
Могу ли я вывести соотношение белых и черных шаров на основе n наблюдений? С какой степенью уверенности?
Зная x и y , какова вероятность нарисовать определенную последовательность (например, один белый, а затем один черный)?
Если я наблюдаю только n шаров, насколько я могу быть уверен, что черных шаров нет? (Вариант как на первый, так и на второй вопрос)
Примеры проблем с урной
бета-биномиальное распределение : как указано выше, за исключением того, что каждый раз, когда наблюдается шар, в урну добавляется дополнительный шар того же цвета. Следовательно, общее количество шаров в урне растет. См. модель урны Pólya .
биномиальное распределение : распределение количества успешных розыгрышей (испытаний), т.е. извлечение белых шаров при заданных n розыгрышах с заменой в урне черными и белыми шарами. [3]
Урна Хоппе : урна Полиа с дополнительным шаром, называемым мутатором . Когда мутатор нарисован, он заменяется дополнительным шаром совершенно нового цвета.
гипергеометрическое распределение : шары не возвращаются в урну после извлечения. Следовательно, общее количество шариков в урне уменьшается. Это называется «рисованием без замены» в отличие от «рисования с заменой».
геометрическое распределение : количество розыгрышей до первого успешного (правильно окрашенного) розыгрыша. [3]
Смешанная замена/незамена: в урне черные и белые шары. Если черные шары после розыгрыша (незамены) откладываются в сторону, то белые шары после ничьей (замены) возвращаются в урну. Как распределяется количество вытянутых черных шаров после m розыгрышей?
полиномиальное распределение : существуют шары более двух цветов. Каждый раз, когда шар извлекается, он возвращается перед тем, как вытащить другой шар. [3] Это также известно как « Шарики в контейнеры ».
