Дисперсионный своп

Дисперсионный своп — это внебиржевой финансовый производный инструмент , позволяющий спекулировать или хеджировать риски, связанные с величиной движения, т. е. волатильностью , некоторого базового продукта, например, обменного курса , процентной ставки или фондового индекса .

Одна часть свопа будет выплачивать сумму, основанную на реализованной дисперсии изменений цены базового продукта. Традиционно эти изменения цены будут ежедневными логарифмическими доходами , основанными на наиболее часто используемой цене закрытия. Другая часть свопа будет выплачивать фиксированную сумму, которая является страйком , котируемым в начале сделки. Таким образом, чистая выплата контрагентам будет разницей между этими двумя и будет урегулирована наличными по истечении срока сделки, хотя некоторые денежные выплаты, вероятно, будут сделаны по ходу дела одним или другим контрагентом для поддержания согласованной маржи .

Структура и особенности

Особенности свопа дисперсии включают в себя:

• забастовка дисперсии
• реализованная дисперсия
• условная вега : как и другие свопы , выплата определяется на основе условной суммы , которая никогда не обменивается. Однако в случае свопа дисперсии условная сумма указывается в терминах вега , чтобы преобразовать выплату в долларовый эквивалент.

Выплата по свопу дисперсии рассчитывается следующим образом:

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }(\sigma _{\text{realised}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})}$

где:

• ${\displaystyle N_{\operatorname {var} }}$= условная дисперсия (т.е. единицы дисперсии),
• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}^{2}}$= годовая реализованная дисперсия, и
• ${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}}$= дисперсия страйк. ^[1]

Годовая реализованная дисперсия рассчитывается на основе заранее определенного набора точек выборки за период. Она не всегда совпадает с классическим статистическим определением дисперсии, поскольку условия контракта могут не вычитать среднее значение. Например, предположим, что существуют наблюдаемые цены , где для . Определим натуральный логарифм доходности. Тогда ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$ ${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}^{2}={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}$

где — коэффициент годового перевода, который обычно выбирается приблизительно равным числу точек выборки в году (обычно 252) и устанавливается как срок действия контракта свопа, определяемый числом . Видно, что вычитание средней доходности уменьшит реализованную дисперсию. Если это сделано, то обычно используют в качестве делителя вместо , что соответствует несмещенной оценке дисперсии выборки. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n/A}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

На рынке принято определять количество контрактных единиц следующим образом:

${\displaystyle N_{\operatorname {var} }={\frac {N_{\text{vol}}}{2\sigma _{\text{strike}}}}}$

где — соответствующая условная вега для свопа волатильности . ^[1] Это делает выплату дисперсионного свопа сопоставимой с выплатой свопа волатильности , другого менее популярного инструмента, используемого для торговли волатильностью. ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$

Ценообразование и оценка

Своп дисперсии может быть хеджирован и, следовательно, оценен с использованием портфеля европейских опционов колл и пут с весами, обратно пропорциональными квадрату страйка. ^{[2] [3]}

Любая модель улыбки волатильности , которая оценивает ванильные опционы , может быть использована для оценки свопа дисперсии. Например, используя модель Хестона , можно получить решение в замкнутой форме для справедливой ставки свопа дисперсии. Необходимо проявлять осторожность с поведением модели улыбки в кулисах, поскольку это может оказать непропорциональное влияние на цену.

Мы можем вывести выплату дисперсионного свопа, используя лемму Ито . Сначала предположим, что базовая акция описывается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ =\mu \,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

Применяя формулу Ито, получаем:

${\displaystyle d(\log S_{t})=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ \right)\,dt+\sigma \,dZ_{t}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ -d(\log S_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ dt}$

Взяв интегралы, получим следующую общую дисперсию:

${\displaystyle {\text{Variance}}={\frac {1}{T}}\ \int \limits _{0}^{T}\sigma ^{2}\,dt\ ={\frac {2}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{T}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ \ -\ln \left({\frac {S_{T}}{S_{0}}}\ \right)\right)}$

Мы видим, что общая дисперсия состоит из ребалансированного хеджа и короткого контракта логарифма. Используя аргумент статической репликации , ^[4] , т. е. любой дважды непрерывно дифференцируемый контракт может быть воспроизведен с использованием облигации, фьючерса и бесконечного числа путов и коллов, мы можем показать, что короткая позиция по контракту логарифма эквивалентна короткому фьючерсному контракту и набору путов и коллов: ${\displaystyle {\frac {1}{S_{t}}}\ }$

${\displaystyle -\ln \left({\frac {S_{T}}{S^{*}}}\ \right)=-{\frac {S_{T}-S^{*}}{S^{*}}}\ +\int \limits _{K\leq S^{*}}(K-S_{T})^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ +\int \limits _{K\geq S^{*}}(S_{T}-K)^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ }$

Принимая ожидания и устанавливая значение дисперсионного свопа равным нулю, мы можем переписать формулу для решения для справедливого страйка дисперсионного свопа:

${\displaystyle K_{\text{var}}={\frac {2}{T}}\ \left(rT-\left({\frac {S_{0}}{S^{*}}}\ e^{rT}-1\right)-\ln \left({\frac {S^{*}}{S_{0}}}\ \right)+e^{rT}\int \limits _{0}^{S^{*}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+e^{rT}\int \limits _{S^{*}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}C(K)\,dK\right)}$

где:

${\displaystyle S_{0}}$это начальная цена базовой ценной бумаги,

${\displaystyle S^{*}>0}$является произвольным отсечением,

${\displaystyle K}$это страйк каждого варианта в наборе используемых вариантов.

Часто в качестве точки отсечения выбирается текущая форвардная цена , в этом случае справедливый дисперсионный своп-страйк можно записать в более простой форме: ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=F_{0}=S_{0}e^{rT}}$

${\displaystyle K_{var}={\frac {2e^{rT}}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{F_{0}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+\int \limits _{F_{0}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}\ C(K)\,dK\right)}$

Аналитическое ценообразование дисперсионных свопов с дискретной выборкой

Можно было бы найти дискретную выборку реализованной дисперсии, как определено ранее, более практичной при оценке страйка дисперсии, поскольку в действительности мы можем наблюдать базовую цену только дискретно во времени. Это еще более убедительно, поскольку есть утверждение, которое сходится по вероятности к фактическому по мере увеличения числа наблюдений цены. ^[5] ${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{realized}}^{2}}$

Предположим, что в мире, нейтральном к риску , с мартингейловой мерой цена базового актива решает следующее уравнение SDE: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

где:

• ${\displaystyle T}$устанавливает дату истечения срока действия своп-контракта,
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$является (зависящей от времени) безрисковой процентной ставкой,
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$это (зависящая от времени) волатильность цен, и
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$представляет собой броуновское движение в отфильтрованном вероятностном пространстве, где представляет собой естественную фильтрацию . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle W}$

Учитывая, как определено выше, выплату по истечении срока действия дисперсионных свопов, тогда ее ожидаемое значение в момент времени , обозначенное как ${\displaystyle (\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})\times N_{\text{var}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{var}}.}$

Чтобы избежать возможности арбитража, не должно быть никаких затрат на заключение своп-контракта, то есть это должно быть равно нулю. Таким образом, стоимость справедливой дисперсии страйка просто выражается как ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{strike}}^{2}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

который еще предстоит рассчитать, либо найдя его замкнутую формулу, либо используя численные методы, такие как методы Монте-Карло.

Использует

Многие трейдеры считают свопы дисперсии интересными или полезными из-за их чистоты. Альтернативный способ спекулировать на волатильности — опцион , но если вас интересует только риск волатильности, эта стратегия потребует постоянного дельта-хеджирования , так что риск направления базовой ценной бумаги будет приблизительно устранен. Более того, реплицирующий портфель свопа дисперсии потребует целую полосу опционов, что будет очень дорого для исполнения. Наконец, часто можно обнаружить необходимость регулярного прокручивания всей этой полосы опционов, чтобы она оставалась центрированной на текущей цене базовой ценной бумаги .

Преимущество свопов дисперсии заключается в том, что они обеспечивают чистое воздействие волатильности базовой цены, в отличие от опционов колл и пут, которые могут нести направленный риск (дельта). Прибыль и убыток от свопа дисперсии напрямую зависят от разницы между реализованной и подразумеваемой волатильностью . ^[6]

Другой аспект, который может показаться интересным некоторым спекулянтам, заключается в том, что котируемая цена страйк определяется подразумеваемой улыбкой волатильности на рынке опционов, тогда как окончательная выплата будет основана на фактической реализованной дисперсии. Исторически подразумеваемая дисперсия была выше реализованной дисперсии, ^[7] явление, известное как премия за риск дисперсии , что создает возможность для арбитража волатильности , в данном случае известного как торговля скользящей короткой дисперсией. По той же причине эти свопы могут использоваться для хеджирования опционов на реализованную дисперсию .

Связанные инструменты

К тесно связанным стратегиям относятся стрэддл , своп волатильности , корреляционный своп , гамма-своп, своп условной дисперсии , своп коридорной дисперсии , своп дисперсии с форвардным стартом, опцион на реализованную дисперсию и корреляционную торговлю .

Ссылки

1. "Variance and Volatility Swaps". FinancialCAD ​​Corporation. Архивировано из оригинала 2008-06-30 . Получено 2009-09-29 .
2. Деметерфи, Дерман, Камал, Зоу (1999). «Больше, чем вы когда-либо хотели знать о свопах волатильности» (PDF) . Исследовательские заметки Goldman Sachs Quantitative Strategies. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-09-06.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Боссу, Штрассер, Гишар (2005). "То, что вам нужно знать о свопах дисперсии" (PDF) . Отчет JPMorgan Equity Derivatives. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Карр, Мадан (1998). "К теории торговли волатильностью" (PDF) . В "Волатильность: новые методы оценки для ценообразования деривативов", Р. Джарроу (ред.) RISK Publications, Лондон. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-04-18.
5. Barndorff-Nielsen, Ole E. ; Shephard, Neil (май 2002 г.). «Эконометрический анализ реализованной волатильности и его использование при оценке моделей стохастической волатильности». Журнал Королевского статистического общества, серия B . 64 (2): 253–280. doi : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID  122716443.
6. Curnutt, Dean (февраль 2000 г.). «Искусство свопа дисперсии». Стратегия деривативов. Архивировано из оригинала 2009-08-07 . Получено 2008-09-29 .
7. Карр, Питер; Ву, Лиурен (2007). «Премия за дисперсионный риск». AFA 2005 Philadelphia Meetings. doi :10.2139/ssrn.577222. S2CID  13891424. SSRN  577222. Получено 07.07.2020 . {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )