Векторная оптимизация

Векторная оптимизация - это подобласть математической оптимизации , в которой задачи оптимизации с векторными целевыми функциями оптимизируются относительно заданного частичного порядка и с учетом определенных ограничений. Задача многокритериальной оптимизации является частным случаем задачи векторной оптимизации: целевое пространство представляет собой конечномерное евклидово пространство , частично упорядоченное покомпонентным порядком «меньше или равно».

Постановка проблемы

В математических терминах задачу векторной оптимизации можно записать так:

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

где для частично упорядоченного векторного пространства . Частичный порядок индуцируется конусом . является произвольным множеством и называется допустимым множеством. ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\subseteq Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

Концепции решения

Существуют разные понятия минимальности, среди них:

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$является слабо эффективной точкой (слабый минимизатор), если для каждой имеется . ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$является эффективной точкой (минимайзером), если для каждой имеется . ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$является собственно эффективной точкой (собственным минимизатором), если является слабо эффективной точкой относительно замкнутого заостренного выпуклого конуса, где . ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}}$

Каждый правильный минимизатор является минимизатором. И каждый минимизатор является слабым минимизатором. ^[1]

Современные концепции решения не только состоят из понятий минимальности, но также учитывают достижение минимальной границы . ^[2]

Методы решения

• Алгоритм Бенсона для задач линейной векторной оптимизации. ^[2]

Связь с многокритериальной оптимизацией

Любую задачу многокритериальной оптимизации можно записать как

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

где и является неотрицательным ортантом . Таким образом, минимизатором этой задачи векторной оптимизации являются точки, эффективные по Парето . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Рекомендации

1. Гинчев, И.; Герраджио, А.; Рокка, М. (2006). «От скалярной к векторной оптимизации» (PDF) . Приложения математики . 51 : 5–36. дои : 10.1007/s10492-006-0002-1. hdl : 10338.dmlcz/134627 . S2CID  121346159.
2. Андреас Лёне (2011). Векторная оптимизация с помощью инфимума и супремума . Спрингер. ISBN 9783642183508.