Вязкопластичность

Теория механики сплошной среды

Рисунок 1. Элементы, используемые в одномерных моделях вязкопластических материалов.

Вязкопластичность — это теория в механике сплошной среды , которая описывает зависящее от скорости неупругое поведение твердых тел. Зависимость от скорости в этом контексте означает, что деформация материала зависит от скорости приложения нагрузок . ^[1] Неупругое поведение, являющееся предметом вязкопластичности, — это пластическая деформация , которая означает, что материал претерпевает необратимые деформации при достижении уровня нагрузки. Зависимая от скорости пластичность важна для расчетов переходной пластичности. Основное различие между моделями пластичных и вязкопластичных материалов, не зависящими от скорости, заключается в том, что последние демонстрируют не только постоянные деформации после приложения нагрузок, но и продолжают испытывать ползучесть как функцию времени под воздействием приложенной нагрузки.

Упругий отклик вязкопластичных материалов может быть представлен в одномерном виде с помощью пружинных элементов Гука . Зависимость от скорости может быть представлена ​​нелинейными элементами демпфера способом, аналогичным вязкоупругости . Пластичность может быть учтена путем добавления скользящих фрикционных элементов, как показано на рисунке 1. ^[2] На рисунке — модуль упругости , — параметр вязкости , — параметр степенного типа, который представляет нелинейный демпфер . Скользящий элемент может иметь предел текучести ( ), который зависит от скорости деформации или даже постоянен, как показано на рисунке 1c. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N}]}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Вязкопластичность обычно моделируется в трех измерениях с использованием моделей перенапряжения типа Perzyna или Duvaut-Lions. ^[3] В этих моделях напряжение может увеличиваться за пределы поверхности текучести , независимой от скорости , при приложении нагрузки, а затем со временем может релаксировать обратно к поверхности текучести. Обычно предполагается, что поверхность текучести не зависит от скорости в таких моделях. Альтернативный подход заключается в добавлении зависимости скорости деформации к пределу текучести и использовании методов пластичности, независимой от скорости, для расчета реакции материала. ^[4]

Для металлов и сплавов вязкопластичность — это макроскопическое поведение, вызванное механизмом, связанным с движением дислокаций в зернах , с наложенными эффектами межкристаллического скольжения. Механизм обычно становится доминирующим при температурах, превышающих примерно одну треть абсолютной температуры плавления. Однако некоторые сплавы проявляют вязкопластичность при комнатной температуре (300 К). Для полимеров , древесины и битума теория вязкопластичности требуется для описания поведения за пределами упругости или вязкоупругости .

В целом теории вязкопластичности полезны в таких областях, как:

• расчет остаточных деформаций,
• прогнозирование пластического разрушения конструкций,
• исследование устойчивости,
• симуляции аварий,
• системы, подвергающиеся воздействию высоких температур, такие как турбины в двигателях, например, электростанции,
• динамические проблемы и системы, подверженные высоким скоростям деформации.

История

Исследования теорий пластичности начались в 1864 году с работы Анри Трески ^[5] , Сен-Венана (1870) и Леви (1871) ^[6] по максимальному критерию сдвига . ^[7] Улучшенная модель пластичности была представлена ​​в 1913 году фон Мизесом ^[8], который сейчас называется критерием текучести фон Мизеса . В вязкопластичности разработка математической модели восходит к 1910 году с представлением первичной ползучести законом Андраде. ^[9] В 1929 году Нортон ^[10] разработал одномерную модель амортизатора, которая связала скорость вторичной ползучести с напряжением. В 1934 году Одквист ^[11] обобщил закон Нортона на многоосный случай.

Такие концепции, как нормальность пластического течения к поверхности текучести и правила течения для пластичности, были введены Прандтлем ( 1924) ^{[12] [ полная ссылка необходима ]} и Ройссом (1930). ^[13] В 1932 году Хоэнемсер и Прагер ^[14] предложили первую модель для медленного вязкопластического течения. Эта модель предоставила связь между девиаторным напряжением и скоростью деформации для несжимаемого твердого тела Бингама ^[15] Однако применение этих теорий началось только в 1950 году, когда были открыты предельные теоремы.

В 1960 году первый симпозиум IUTAM «Ползучесть в конструкциях», организованный Хоффом ^[16], обеспечил значительное развитие вязкопластичности с работами Хоффа, Работнова, Перзины, Хульта и Леметра по законам изотропного упрочнения , а также работами Кратохвила, Малинини и Хаджинского, Понтера и Леки и Шабоша по законам кинематического упрочнения . В 1963 году Перзина ввел коэффициент вязкости, зависящий от температуры и времени. ^[17] Сформулированные модели были подкреплены термодинамикой необратимых процессов и феноменологической точкой зрения. Идеи, представленные в этих работах, стали основой для большинства последующих исследований пластичности, зависящей от скорости.

Феноменология

Для качественного анализа проводится несколько характерных тестов, описывающих феноменологию вязкопластических материалов. Вот некоторые примеры таких тестов ^[9]

1. испытания на упрочнение при постоянном напряжении или скорости деформации,
2. испытания на ползучесть при постоянной силе, и
3. релаксация напряжений при постоянном удлинении.

Испытание на деформационное упрочнение

Рисунок 2. Реакция напряжения-деформации вязкопластичного материала при различных скоростях деформации. Пунктирные линии показывают реакцию, если скорость деформации остается постоянной. Синяя линия показывает реакцию, когда скорость деформации резко изменяется.

Одним из последствий текучести является то, что по мере продолжения пластической деформации требуется увеличение напряжения для создания дополнительной деформации . Это явление известно как деформационное упрочнение . ^[18] Для вязкопластичного материала кривые упрочнения не сильно отличаются от кривых упрочнения пластичного материала, не зависящего от скорости. Тем не менее, можно наблюдать три существенных различия.

1. При одинаковой деформации, чем выше скорость деформации, тем выше напряжение
2. Изменение скорости деформации во время испытания приводит к немедленному изменению кривой напряжение-деформация.
3. Понятие предела текучести пластика больше не является строго применимым.

Гипотеза разделения деформаций путем разделения упругой и пластической частей по-прежнему применима там, где деформации малы, ^[3] , т. е.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$$

где — упругая деформация, а — вязкопластическая деформация. Чтобы получить поведение напряжение-деформация, показанное синим цветом на рисунке, материал изначально нагружается со скоростью деформации 0,1/с. Затем скорость деформации мгновенно увеличивается до 100/с и удерживается постоянной на этом значении в течение некоторого времени. В конце этого периода времени скорость деформации мгновенно уменьшается обратно до 0,1/с, и цикл продолжается для увеличивающихся значений деформации. Очевидно, что существует задержка между изменением скорости деформации и реакцией на напряжение. Эта задержка довольно точно моделируется моделями перенапряжения (такими как модель Perzyna), но не моделями пластичности, независимой от скорости, которые имеют предел текучести, зависящий от скорости. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

Испытание на ползучесть

Рисунок 3а. Испытание на ползучесть

Рисунок 3б. Деформация как функция времени при испытании на ползучесть

Ползучесть — это тенденция твердого материала медленно перемещаться или деформироваться постоянно под постоянными напряжениями. Испытания на ползучесть измеряют реакцию деформации, вызванную постоянным напряжением, как показано на рисунке 3. Классическая кривая ползучести представляет собой эволюцию деформации как функцию времени в материале, подвергнутом одноосному напряжению при постоянной температуре. Испытание на ползучесть, например, выполняется путем приложения постоянной силы/напряжения и анализа реакции деформации системы. В общем, как показано на рисунке 3b, эта кривая обычно показывает три фазы или периода поведения: ^[9]

1. Первичная стадия ползучести , также известная как переходная ползучесть, является начальной стадией, на которой затвердевание материала приводит к снижению скорости течения, которая изначально очень высока . ${\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}$
2. Вторичная стадия ползучести , также известная как установившееся состояние, — это стадия, когда скорость деформации постоянна . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}$
3. Третичная фаза ползучести , в которой происходит увеличение скорости деформации вплоть до деформации разрушения . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}$

Тест на релаксацию

Рисунок 4. а) Приложенная деформация в испытании на релаксацию и б) индуцированное напряжение как функции времени в течение короткого периода для вязкопластичного материала.

Как показано на рисунке 4, релаксационный тест ^[19] определяется как реакция напряжения, вызванная постоянной деформацией в течение определенного периода времени. В вязкопластичных материалах релаксационные тесты демонстрируют релаксацию напряжения при одноосной нагрузке при постоянной деформации. Фактически, эти тесты характеризуют вязкость и могут быть использованы для определения связи, которая существует между напряжением и скоростью вязкопластической деформации. Разложение скорости деформации имеет вид

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}$$

Упругая часть скорости деформации определяется выражением

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$$

Для плоской области кривой деформации-времени общая скорость деформации равна нулю. Следовательно, имеем,

$${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$$

Таким образом, кривая релаксации может быть использована для определения скорости вязкопластической деформации и, следовательно, вязкости амортизатора в одномерной модели вязкопластического материала. Остаточное значение, которое достигается, когда напряжение выходит на плато в конце релаксационного теста, соответствует верхнему пределу упругости. Для некоторых материалов, таких как каменная соль, такой верхний предел упругости возникает при очень малом значении напряжения, и релаксационные тесты могут продолжаться более года без какого-либо наблюдаемого плато в напряжении.

Важно отметить, что релаксационные тесты крайне сложно проводить, поскольку поддержание состояния в ходе теста требует значительной деликатности. ^[20] ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}$

Реологические модели вязкопластичности

Одномерные конститутивные модели для вязкопластичности, основанные на элементах пружина-амортизатор-ползунок, включают ^[3] идеально вязкопластичное твердое тело, упругое идеально вязкопластичное твердое тело и упруговязкопластичное упрочняющееся твердое тело. Элементы могут быть соединены последовательно или параллельно . В моделях, где элементы соединены последовательно, деформация является аддитивной, а напряжение одинаково в каждом элементе. В параллельных соединениях напряжение является аддитивным, а деформация одинакова в каждом элементе. Многие из этих одномерных моделей могут быть обобщены на три измерения для режима малых деформаций. В последующем обсуждении временные скорости деформации и напряжения записываются как и , соответственно. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$

Идеально вязкопластичное тело (модель Нортона-Хоффа)

Рисунок 5. Модель Нортона-Хоффа для идеально вязкопластичного твердого тела

В идеально вязкопластичном твердом теле, также называемом моделью вязкопластичности Нортона-Хоффа, напряжение (как и для вязких жидкостей) является функцией скорости постоянной деформации. Эффект упругости в модели не учитывается, т.е., и, следовательно, начальный предел текучести отсутствует, т.е., . Вязкий демпфер имеет отклик, заданный выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{y}=0}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}$$

где - вязкость демпфера. В модели Нортона-Хоффа вязкость является нелинейной функцией приложенного напряжения и определяется как ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}}$$

где — подгоночный параметр, λ — кинематическая вязкость материала и . Тогда скорость вязкопластической деформации определяется соотношением ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}$

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}}$$

В одномерной форме модель Нортона-Хоффа можно выразить как

$${\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}$$

Когда твердое тело является вязкоупругим . ${\displaystyle N=1.0}$

Если предположить, что пластическое течение является изохорным (сохраняющим объем), то указанное выше соотношение можно выразить в более привычной форме ^[21]

$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}$$

где — тензор девиаторных напряжений , — эквивалентная скорость деформации по Мизесу, — параметры материала. Эквивалентная скорость деформации определяется как ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle K,m}$

$${\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}$$

Эти модели могут применяться в металлах и сплавах при температурах выше двух третей ^[21] их абсолютной точки плавления (в кельвинах) и полимерах/асфальтах при повышенной температуре. Реакции на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксационные испытания такого материала показаны на рисунке 6.

Рисунок 6: Реакция идеально вязкопластичного твердого тела на испытания на упрочнение, ползучесть и релаксацию

Упругое идеально вязкопластичное тело (модель Бингама–Нортона)

Рисунок 7. Упругий идеально вязкопластичный материал.

Для построения упруго-идеально вязкопластического режима можно использовать два типа элементарных подходов. В первой ситуации элемент трения скольжения и демпфер располагаются параллельно, а затем последовательно соединяются с упругой пружиной, как показано на рисунке 7. Эта модель называется моделью Бингама–Максвелла (по аналогии с моделью Максвелла и моделью Бингама ) или моделью Бингама–Нортона . ^[22] Во второй ситуации все три элемента располагаются параллельно. Такая модель называется моделью Бингама–Кельвина по аналогии с моделью Кельвина .

Для упруго-идеально вязкопластичных материалов упругая деформация больше не считается пренебрежимо малой, но скорость пластической деформации является только функцией начального предела текучести, и нет никакого влияния упрочнения. Скользящий элемент представляет собой постоянное напряжение текучести, когда предел упругости превышен независимо от деформации. Модель может быть выражена как

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$$

где - вязкость элемента dashpot. Если элемент dashpot имеет ответ, который имеет форму Нортона ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}$$

мы получаем модель Бингама–Нортона

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$$

Другие выражения для скорости деформации можно также наблюдать в литературе ^[22] в общем виде

$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$$

Реакции такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 8.

Рисунок 8. Реакция упругого идеально вязкопластичного твердого тела на испытания на упрочнение, ползучесть и релаксацию.

Упруговязкопластическое затвердевание твердого тела

Упруговязкопластический материал с деформационным упрочнением описывается уравнениями, аналогичными уравнениям для упруговязкопластического материала с идеальной пластичностью. Однако в этом случае напряжение зависит как от скорости пластической деформации, так и от самой пластической деформации. Для упруговязкопластического материала напряжение, превысив предел текучести, продолжает расти за пределами начального предела текучести. Это означает, что предел текучести в скользящем элементе увеличивается с деформацией, и модель может быть выражена в общих чертах как

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$$

Эта модель применяется, когда металлы и сплавы находятся при средних и высоких температурах, а древесина — при высоких нагрузках. Реакции на испытания на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию такого материала показаны на рисунке 9.

Рисунок 9. Реакция упруговязкопластического упрочняющегося твердого тела на испытания на упрочнение, ползучесть и релаксацию.

Модели пластичности, зависящие от скорости деформации

Классические феноменологические модели вязкопластичности для малых деформаций обычно подразделяются на два типа: ^{[3] [ необходима полная ссылка ]}

• формулировка Perzyna
• формула Дюво–Лайонса

Формула препарата Перзина

В формулировке Перзины предполагается, что скорость пластической деформации задается определяющим соотношением вида

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}}$

где — функция текучести , — напряжение Коши , — набор внутренних переменных (таких как пластическая деформация ), — время релаксации. Обозначение обозначает скобки Маколея . Правило потока, используемое в различных версиях модели Шабоша, является частным случаем правила потока Перзины ^[23] и имеет вид ${\displaystyle f(.,.)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}sign({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}$$

где — квазистатическое значение, а — обратное напряжение . Несколько моделей обратного напряжения также известны под названием модель Шабоша . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}$

Формула Дюво–Лайонса

Формулировка Дюво–Лайонса эквивалентна формулировке Перзины и может быть выражена как

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}}$$

где - тензор упругой жесткости, - ближайшая точечная проекция напряженного состояния на границу области, которая ограничивает все возможные упругие напряженные состояния. Величина обычно находится из решения задачи пластичности, не зависящего от скорости. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

Модели напряжения течения

Величина представляет собой эволюцию поверхности текучести . Функция текучести часто выражается в виде уравнения, состоящего из некоторого инварианта напряжения и модели для предела текучести (или напряжения пластического течения). Примером является фон Мизес или пластичность. В этих ситуациях скорость пластической деформации рассчитывается таким же образом, как и в пластичности, независимой от скорости. В других ситуациях модель предела текучести обеспечивает прямое средство вычисления скорости пластической деформации. ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Многочисленные эмпирические и полуэмпирические модели напряжения течения используются для вычислительной пластичности. Следующие модели, зависящие от температуры и скорости деформации, представляют собой выборку моделей, используемых в настоящее время:

1. модель Джонсона–Кука
2. Модель Стейнберга–Кохрана–Гинана–Лунда.
3. Модель Зерилли–Армстронга.
4. Модель механического порогового напряжения.
5. Модель Престона–Тонкса–Уоллеса.

Модель Джонсона–Кука (JC) ^[24] является чисто эмпирической и наиболее широко используемой из пяти. Однако эта модель демонстрирует нереалистично малую зависимость от скорости деформации при высоких температурах. Модель Стейнберга–Кохрана–Гинана–Лунда (SCGL) ^{[25] [26]} является полуэмпирической. Модель является чисто эмпирической и не зависит от скорости деформации при высоких скоростях деформации. Расширение на основе дислокаций, основанное на ^[27] , используется при низких скоростях деформации. Модель SCGL широко используется сообществом физиков ударных волн. Модель Зерилли–Армстронга (ZA) ^[28] является простой физически обоснованной моделью, которая широко использовалась. Более сложной моделью, основанной на идеях динамики дислокаций, является модель механического порогового напряжения (MTS). ^[29] Эта модель использовалась для моделирования пластической деформации меди, тантала, ^[30] сплавов стали, ^{[31] [32]} и алюминиевых сплавов. ^[33] Однако модель MTS ограничена скоростями деформации менее 10 ⁷ /с. Модель Престона–Тонкса–Уоллеса (PTW) ^[34] также физически обоснована и имеет форму, похожую на модель MTS. Однако модель PTW имеет компоненты, которые могут моделировать пластическую деформацию в режиме перегруженного удара (скорости деформации более 10 ⁷ /с). Следовательно, эта модель действительна для самого большого диапазона скоростей деформации среди пяти моделей напряжения течения.

Модель напряжения течения Джонсона-Кука

Модель Джонсона–Кука (JC) ^[24] является чисто эмпирической и дает следующее соотношение для напряжения течения ( ) ${\displaystyle \sigma _{y}}$

$${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}$$

где — эквивалентная пластическая деформация , — скорость пластической деформации , — константы материала. ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle A,B,C,n,m}$

Нормализованная скорость деформации и температура в уравнении (1) определяются как

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}}$$

где - эффективная скорость пластической деформации квазистатического испытания, используемая для определения параметров текучести и упрочнения A, B и n. Это не просто параметр, как часто думают, чтобы сделать его безразмерным. ^[35] - опорная температура, а - опорная температура расплава . Для условий, когда , мы предполагаем, что . ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T^{*}<0}$ ${\displaystyle m=1}$

Модель напряжения течения Стайнберга-Кохрана-Гинана-Лунда

Модель Стейнберга-Кохрана-Гинана-Лунда (SCGL) представляет собой полуэмпирическую модель, разработанную Стейнбергом и др. ^[25] для ситуаций с высокой скоростью деформации и распространенную на ситуации с низкой скоростью деформации и ОЦК-материалы Стейнбергом и Лундом ^[26] . Напряжение течения в этой модели определяется выражением

$${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$$

где — атермическая составляющая напряжения течения, — функция, представляющая деформационное упрочнение, — термически активированная составляющая напряжения течения, — модуль сдвига, зависящий от давления и температуры, — модуль сдвига при стандартной температуре и давлении. Значение насыщения атермического напряжения равно . Насыщение термически активированного напряжения — напряжение Пайерлса ( ). Модуль сдвига для этой модели обычно вычисляется с помощью модели модуля сдвига Стейнберга–Кохрана–Гинана . ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \mu (p,T)}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

Функция деформационного упрочнения ( ) имеет вид ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}}$$

где — параметры упрочнения, — начальная эквивалентная пластическая деформация. ${\displaystyle \beta ,n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}i}$

Тепловой компонент ( ) вычисляется с использованием алгоритма деления пополам из следующего уравнения. ^{[26] [27]} ${\displaystyle \sigma _{t}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$$

где - энергия образования пары перегиба в сегменте дислокации длиной , - постоянная Больцмана , - напряжение Пайерлса . Константы задаются соотношениями ${\displaystyle 2U_{k}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

$${\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}$$

где — плотность дислокаций , — длина сегмента дислокации, — расстояние между долинами Пайерлса, — величина вектора Бюргерса , — частота Дебая , — ширина петли изгиба , — коэффициент сопротивления . ${\displaystyle \rho _{d}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle D}$

Модель напряжения течения Зерилли–Армстронга

Модель Зерилли–Армстронга (ZA) ^{[28] [36] [37]} основана на упрощенной механике дислокаций. Общая форма уравнения для напряжения течения имеет вид

$${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.}$$В этой модели атермическая составляющая напряжения течения определяется выражением ${\displaystyle \sigma _{a}}$

$${\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},}$$

где — вклад, обусловленный растворенными веществами и начальной плотностью дислокаций, — интенсивность микроструктурных напряжений, — средний диаметр зерна, — ноль для ГЦК-материалов, — материальные константы. ${\displaystyle \sigma _{g}}$ ${\displaystyle k_{h}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B,B_{0}}$

В термически активированных терминах функциональные формы показателей и имеют вид ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});}$$

где — параметры материала, зависящие от типа материала (ГЦК, ОЦК, ГПУ, сплавы). Модель Зерилли–Армстронга была модифицирована ^[38] для лучшей производительности при высоких температурах. ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}$

Модель механического порогового напряжения течения

Модель механического порогового напряжения (MTS) ^{[29] [39] [40]} имеет вид

$${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}$$

где — атермическая составляющая порогового механического напряжения, — составляющая напряжения течения, обусловленная внутренними барьерами для термически активированного движения дислокаций и взаимодействий дислокаций и дислокаций, — составляющая напряжения течения, обусловленная микроструктурной эволюцией с ростом деформации (деформационным упрочнением), ( ) — масштабные коэффициенты, зависящие от температуры и скорости деформации, — модуль сдвига при 0 К и давлении окружающей среды. ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle S_{i},S_{e}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Коэффициенты масштабирования принимают форму Аррениуса

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}$$

где — постоянная Больцмана, — величина вектора Бюргерса, ( ) — нормированные энергии активации, ( ) — скорость деформации и опорная скорость деформации, а ( ) — константы. ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g_{0i},g_{0e}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}}$ ${\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}$

Компонент деформационного упрочнения механического порогового напряжения ( ) определяется эмпирическим модифицированным законом Воче ${\displaystyle \sigma _{e}}$

$${\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})}$$

где

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}}$$

и — упрочнение за счет накопления дислокаций, — вклад за счет упрочнения на стадии IV, ( ) — константы, — напряжение при нулевой скорости деформационного упрочнения, — пороговое напряжение насыщения для деформации при 0 К, — константа, — максимальная скорость деформации. Обратите внимание, что максимальная скорость деформации обычно ограничена примерно / с. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{IV}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{es}}$ ${\displaystyle \sigma _{0es}}$ ${\displaystyle g_{0es}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle 10^{7}}$

Модель напряжения течения Престона–Тонкса–Уоллеса

Модель Престона–Тонкса–Уоллеса (PTW) ^[34] пытается предоставить модель для напряжения течения для экстремальных скоростей деформации (до 10 ¹¹ / с) и температур вплоть до плавления. В модели используется линейный закон упрочнения Воуса. Напряжение течения PTW определяется как

$${\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}$$

с

$${\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1}$$

где — нормализованное напряжение насыщения при упрочнении, — значение при 0К, — нормализованный предел текучести, — константа упрочнения в законе упрочнения Воче, — безразмерный параметр материала, который изменяет закон упрочнения Воче. ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

Напряжение насыщения и предел текучести определяются по формуле

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}}$$

где — значение вблизи температуры расплава, ( ) — значения при 0 К и вблизи температуры расплава соответственно, — материальные константы, , ( ) — материальные параметры для режима высокой скорости деформации, и ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle y_{0},y_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle (\kappa ,\gamma )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}$ ${\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}$

$${\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}$$

где — плотность, — атомная масса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Вязкоупругость
• пластик Бингама
• Приборная панель
• Ползучесть (деформация)
• Пластичность (физика)
• Механика сплошной среды
• Квазитвердый

Ссылки

1. Пержина, П. (1966), «Фундаментальные проблемы вязкопластичности», Успехи в прикладной механике , 9 (2): 244–368
2. Лемэтр, Ж. и Шабош, Ж. Л. (2002), Механика твердых материалов , Cambridge University Press
3. Simo, JC и Hughes, TJR (1998), Вычислительная неэластичность
4. Батра, RC и Ким, CH (1990), «Влияние правил вязкопластического течения на зарождение и рост полос сдвига при высоких скоростях деформации», Журнал механики и физики твердого тела , 38 (6): 859–874, Bibcode : 1990JMPSo..38..859B, doi : 10.1016/0022-5096(90)90043-4
5. Треска, Х. (1864), «Sur l'écoulement des Corps Solides soumis à des fortes pressions», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (на французском языке), 59 : 754–756
6. Леви, М. (1871), «Extrait du mémoire sur les уравнений générales des Mouvements intérieures des Corps Solides ductiles au dela des limites ou l'elasticité pourrait les ramener à leur premier état», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке) ), 16 : 369–372
7. Kojic, M. и Bathe, KJ. ​​(2006), Неупругий анализ твердых тел и конструкций , Elsevier
8. фон Мизес, Р. (1913), «Mechanik der festen Körper im plastisch deformablen Zustand», Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке): 582–592
9. Беттен, Дж. (2005), Механика ползучести (2-е изд.), Springer
10. Нортон, Ф. Х. (1929), Ползучесть стали при высоких температурах , Нью-Йорк: McGraw-Hill
11. Одквист, Ф.К.Г. (1934), «Напряжения ползучести во вращающемся диске», Труды Четвертого международного конгресса по прикладной механике , Кембридж: 228
12. Прандтль, Л. (1924), Труды 1-го Международного конгресса по прикладной механике, Дельфт
13. Ройсс, А. (1930), "Berücksichtigung der elastischen Formänderung in der Plastizitätstheorie", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (на немецком языке), 10 (3): 266–274, Бибкод : 1930ZaMM...10..266R, дои :10.1002/zamm.19300100308
14. Хоэнемзер, К. и Прагер, В. (1932), «Основные уравнения и определения, касающиеся механики изотропных сплошных сред», Журнал реологии , 3 (1): 16, Bibcode : 1932JRheo...3...16H, doi : 10.1122/1.2116434
15. Бингем, EC (1922), Текучесть и пластичность , Нью-Йорк: McGraw-Hill
16. Хофф, ред. (1962), Коллоквиум IUTAM по ползучести в конструкциях; 1-й , Стэнфорд: Springer
17. Люблинер, Дж. (1990), Теория пластичности , Нью-Йорк: Macmillan
18. Янг; Майнднесс; Грей; и Бентур (1998), Наука и технология материалов гражданского строительства , Нью-Джерси: Prentice Hall
19. Франсуа, Д.; Пино, А.; и Зауи, А. (1993), Механическое поведение материалов , т. II: Вязкопластичность, повреждение, трещины и контактная механика, Kluwer Academic
20. Кристеску, Н. и Джода, Г. (1994), Вязкопластическое поведение геоматериалов , Международный центр механических наук
21. Rappaz, M.; Bellet, M.; и Deville, M. (1998), Численное моделирование в материаловедении и машиностроении , Springer
22. Irgens, F. (2008), Continuum Mechanics , Springer
23. Люблинер, Якоб (1990), Теория пластичности, Macmillan, ISBN 978-0-02-372161-8, получено 6 декабря 2012 г.
24. Johnson, GR и Cook, WH (1983), «Конститутивная модель и данные для металлов, подверженных большим деформациям, высоким скоростям деформации и высоким» (PDF) , Труды 7-го Международного симпозиума по баллистике : 541–547 , получено 13 мая 2009 г.
25. Steinberg, DJ; Cochran, SG; и Guinan, MW (1980), "Конститутивная модель для металлов, применимая при высокой скорости деформации", Journal of Applied Physics , 51 (3): 1498, Bibcode : 1980JAP....51.1498S, doi : 10.1063/1.327799
26. Steinberg, DJ и Lund, CM (1988), "Конститутивная модель для скоростей деформации от 10−4 до 106 с−1", Journal de Physique. Colloques , 49 (3): 3 , получено 13 мая 2009 г.
27. Хоге, КГ и Мукерджи, АК (1977), «Зависимость напряжения течения тантала от температуры и скорости деформации», Журнал материаловедения , 12 (8): 1666–1672, Bibcode : 1977JMatS..12.1666H, doi : 10.1007/BF00542818, S2CID  136966107
28. Zerilli, FJ и Armstrong, RW (1987), "Основные соотношения на основе механики дислокаций для расчетов динамики материалов", Журнал прикладной физики , 61 (5): 1816, Bibcode : 1987JAP....61.1816Z, doi : 10.1063/1.338024
29. Follansbee, PS и Kocks, UF (1988), «Конститутивное описание деформации меди на основе использования механического порога», Acta Metallurgica , 36 (1): 81–93, doi :10.1016/0001-6160(88)90030-2
30. Чен, SR и Грей, GT (1996), «Основное поведение тантала и сплавов тантала с вольфрамом», Metallurgical and Materials Transactions A , 27 (10): 2994–3006, Bibcode : 1996MMTA...27.2994C, doi : 10.1007/BF02663849, S2CID  136695336
31. Гото, Д.М.; Гарретт, Р.К.; Бингерт, Дж.Ф.; Чен, С.Р.; и Грей, Г.Т. (2000), «Описание модели прочности стали HY-100 на основе механического порогового напряжения», Metallurgical and Materials Transactions A , 31 (8): 1985–1996, Bibcode : 2000MMTA...31.1985G, doi : 10.1007/s11661-000-0226-8, S2CID  136118687
32. Банерджи, Б. (2007), «Модель механического порогового напряжения для различных состояний стали AISI 4340», International Journal of Solids and Structures , 44 (3–4): 834–859, arXiv : cond-mat/0510330 , doi : 10.1016/j.ijsolstr.2006.05.022, S2CID  2166303
33. Пучи-Кабрера, ES; Вильялобос-Гутьеррес, C.; и Кастро-Фаринас, G. (2001), «О механическом пороговом напряжении алюминия: влияние содержания легирующих элементов», Журнал инженерных материалов и технологий , 123 (2): 155, doi :10.1115/1.1354990
34. Preston, DL; Tonks, DL; и Wallace, DC (2003), "Модель пластической деформации для экстремальных условий нагрузки", Journal of Applied Physics , 93 (1): 211–220, Bibcode : 2003JAP....93..211P, doi : 10.1063/1.1524706
35. Швер http://www.dynalook.com/european-conf-2007/optional-strain-rate-forms-for-the-johnson-cook.pdf
36. Зерилли, Ф. Дж. и Армстронг, Р. В. (1994), «Определяющие соотношения для пластической деформации металлов», Труды конференции AIP , 309 (1): 989–992, Bibcode : 1994AIPC..309..989Z, doi : 10.1063/1.46201
37. Zerilli, FJ (2004), «Основные уравнения на основе механики дислокаций», Metallurgical and Materials Transactions A , 35 (9): 2547–2555, doi :10.1007/s11661-004-0201-x, S2CID  137397027
38. Абед, Ф. Х. и Войяджис, Г. З. (2005), «Последовательная модифицированная модель напряжения течения Зерилли–Армстронга для металлов с ОЦК и ГЦК при повышенных температурах», Acta Mechanica , 175 (1): 1–18, doi :10.1007/s00707-004-0203-1, S2CID  121579147
39. Гото, Д.М.; Бингерт, Дж.Ф.; Рид, В.Р.; и Гарретт-младший, Р.К. (2000), «Моделирование прочности MTS с поправкой на анизотропию в стали HY-100», Scripta Materialia , 42 (12): 1125–1131, doi :10.1016/S1359-6462(00)00347-X
40. Kocks, UF (2001), «Реалистичные определяющие соотношения для пластичности металла», Materials Science and Engineering: A , 317 (1–2): 181–187, doi :10.1016/S0921-5093(01)01174-1