Визуальное исчисление , изобретенное Мамиконом Мнацаканяном (известным как Мамикон), представляет собой подход к решению различных задач интегрального исчисления . [1] Многие задачи, которые в противном случае казались бы довольно сложными, поддаются этому методу с едва ли не первой строкой вычислений. Мамикон сотрудничал с Томом Апостолом в книге 2013 года « Новые горизонты в геометрии», описывающей эту тему.
Мамикон разработал свой метод в 1959 году, будучи студентом, и впервые применил его к известной геометрической задаче: найти площадь кольца ( annulus ), зная длину хорды, касательной к внутренней окружности. Возможно, это удивительно, но никакой дополнительной информации не требуется; решение не зависит от внутренних и внешних размеров кольца.
Традиционный подход включает в себя алгебру и применение теоремы Пифагора . Однако метод Мамикона предполагает альтернативное построение кольца: сначала рисуется только внутренняя окружность, затем по ее окружности проводится касательная постоянной длины, «выметающая» кольцо по мере его движения.
Теперь, если все касательные (постоянной длины), используемые при построении кольца, перенести так, чтобы их точки касания совпали, результатом будет круговой диск известного радиуса (и легко вычисляемой площади). Действительно, поскольку радиус внутреннего круга не имеет значения, можно было бы с тем же успехом начать с круга с радиусом ноль (точки) — и выметание кольца вокруг круга с радиусом ноль неотличимо от простого вращения отрезка линии вокруг одной из его конечных точек и выметания диска.
Прозрение Мамикона состояло в том, чтобы распознать эквивалентность двух конструкций; и поскольку они эквивалентны, они дают равные площади. Более того, две начальные кривые не обязательно должны быть круговыми — открытие, которое нелегко доказать более традиционными геометрическими методами. Это дает теорему Мамикона :
Площадь циклоиды можно вычислить, рассмотрев площадь между ней и охватывающим прямоугольником. Все эти касательные можно сгруппировать, чтобы образовать окружность. Если окружность, образующая циклоиду, имеет радиус r , то эта окружность также имеет радиус r и площадь π r 2 . Площадь прямоугольника равна 2 r × 2π r = 4π r 2 . Следовательно, площадь циклоиды равна 3π r 2 : она в 3 раза больше площади образующей окружности.
Касательный кластер можно рассматривать как окружность, поскольку циклоида порождается окружностью, а касательная к циклоиде будет находиться под прямым углом к линии, соединяющей точку образования с точкой качения. Таким образом, касательная и линия, соединяющая точку контакта, образуют прямоугольный треугольник в образующей окружности. Это означает, что, сгруппированные вместе, касательные будут описывать форму образующей окружности. [3]