Нутация

Нутация сферы анимация

Нутация (от лат. nūtātiō 'кивать, покачиваться') — качательное, покачивающееся или кивательное движение вокруг оси вращения в значительной степени аксиально-симметричного объекта, такого как гироскоп , планета или пуля в полете , или как предполагаемое поведение механизма. В соответствующей системе отсчета его можно определить как изменение второго угла Эйлера . Если оно не вызвано внешними по отношению к телу силами, оно называется свободной нутацией или нутацией Эйлера . ^[1] Чистая нутация — это движение оси вращения таким образом, что первый угол Эйлера постоянен. ^[^{требуется цитирование}^] Поэтому можно видеть, что круговая красная стрелка на диаграмме указывает на комбинированные эффекты прецессии и нутации, в то время как нутация при отсутствии прецессии изменила бы только наклон от вертикали (второй угол Эйлера). Однако в динамике космических аппаратов прецессию (изменение первого угла Эйлера) иногда называют нутацией. ^[2]

В твердом теле

Если волчок наклонить на горизонтальную поверхность и быстро вращать, его ось вращения начнет прецессировать вокруг вертикали. Через короткий промежуток времени волчок придет в движение, в котором каждая точка на его оси вращения будет следовать по круговой траектории. Вертикальная сила тяжести создает горизонтальный крутящий момент $τ$ вокруг точки контакта с поверхностью; волчок вращается в направлении этого крутящего момента с угловой скоростью $Ω,$ такой что в любой момент

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,

(векторное векторное произведение )

где $L$ — мгновенный угловой момент волчка. ^[3]

Однако изначально прецессии нет, и верхняя часть волчка падает вбок и вниз, тем самым наклоняясь. Это приводит к дисбалансу моментов, который начинает прецессию. Падая, волчок превышает величину наклона, при которой он бы прецессировал устойчиво, а затем колеблется около этого уровня. Это колебание называется нутацией . Если движение затухает, колебания будут затухать, пока движение не станет устойчивой прецессией. ^[3]^[4]

Физику нутации в волчках и гироскопах можно исследовать, используя модель тяжелого симметричного волчка с фиксированным кончиком. (Симметричный волчок — это волчок с вращательной симметрией или, в более общем смысле, волчок, в котором два из трех главных моментов инерции равны.) Первоначально эффект трения игнорируется. Движение волчка можно описать тремя углами Эйлера : углом наклона $θ$ между осью симметрии волчка и вертикалью (второй угол Эйлера); азимутом φ $волчка$ относительно вертикали (первый угол Эйлера); и углом поворота $ψ$ волчка вокруг собственной оси (третий угол Эйлера). Таким образом, прецессия — это изменение $φ$ , а нутация — это изменение $θ$ . ^[5]

Если волчок имеет массу $M$ и его центр масс находится на расстоянии $l$ от точки опоры, то его гравитационный потенциал относительно плоскости опоры равен

V=Mgl\cos(\theta).

В системе координат, где ось $z$ является осью симметрии, волчок имеет угловые скорости $ω 1, ω 2, ω 3$ и моменты инерции $I 1, I 2, I 3$ относительно осей $x, y$ , и $z$ . Поскольку мы берем симметричный волчок, то $I 1$ = $I 2$ . Кинетическая энергия равна

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.

В терминах углов Эйлера это

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.

Если для этой системы решить уравнения Эйлера–Лагранжа , то окажется, что движение зависит от двух констант $a$ и $b$ (каждая из которых связана с константой движения ). Скорость прецессии связана с наклоном соотношением

{\dot {\phi }}={\frac {ba\cos(\theta)}{\sin ^{2}(\theta)}}.

Наклон определяется дифференциальным уравнением для $u = cos(θ)$ вида

{\dot {u}}^{2}=f(u)

где $f$ — кубический полином , зависящий от параметров $a$ и $b$ $,$ а также констант, связанных с энергией и гравитационным моментом. Корни $f$ — косинусы углов, при которых скорость изменения θ равна нулю. Один из них не связан с физическим углом; два других определяют верхнюю и нижнюю границы угла наклона, между которыми колеблется гироскоп. ^[6]

Астрономия

Нутация планеты происходит из-за того, что гравитационное воздействие других тел заставляет скорость ее осевой прецессии меняться со временем, так что эта скорость не является постоянной. Английский астроном Джеймс Брэдли открыл нутацию земной оси в 1728 году.

Земля

Нутация незначительно изменяет наклон оси Земли относительно плоскости эклиптики , смещая основные круги широты , которые определяются наклоном Земли ( тропические круги и полярные круги ).

В случае Земли основными источниками приливной силы являются Солнце и Луна , которые непрерывно меняют свое местоположение относительно друг друга и, таким образом, вызывают нутацию земной оси. Самый большой компонент нутации Земли имеет период 18,6 лет, такой же, как и период прецессии орбитальных узлов Луны . ^[1] Однако существуют и другие важные периодические члены, которые необходимо учитывать в зависимости от желаемой точности результата. Математическое описание (набор уравнений), представляющее нутацию, называется ^{[ кем? ]} «теорией нутации». ^{[ нужна цитата ]} В теории параметры корректируются более или менее специальным методом для получения наилучшего соответствия данным. Простая динамика твердого тела не дает наилучшей теории; необходимо учитывать деформации Земли, включая неупругость мантии и изменения на границе ядро-мантия . ^[7]

Основной член нутации обусловлен регрессией узловой линии Луны и имеет тот же период 6798 дней (18,61 года). Он достигает плюс или минус 17″ по долготе и 9,2″ по наклонению . ^[8] Все остальные члены намного меньше; следующий по величине, с периодом 183 дня (0,5 года), имеет амплитуды 1,3″ и 0,6″ соответственно. Периоды всех членов, больших 0,0001″ (примерно настолько точно, насколько позволяет измерить имеющаяся технология), лежат между 5,5 и 6798 днями; по какой-то причине (как и в случае с периодами приливов и отливов в океане) они, по-видимому, избегают диапазона от 34,8 до 91 дня, поэтому принято ^{[ по мнению кого? ]} разделять нутацию на долгопериодические и короткопериодические члены. Долгопериодные термины рассчитываются и упоминаются в альманахах, тогда как дополнительная поправка из-за короткопериодных терминов обычно берется из таблицы. Они также могут быть рассчитаны из юлианского дня согласно методологии IAU 2000B. ^[9]

В популярной культуре

В фильме-катастрофе 1961 года « День, когда Земля загорелась » почти одновременный взрыв двух сверхводородных бомб вблизи полюсов вызывает изменение нутации Земли, а также смещение наклона оси на 11° и изменение орбиты Земли вокруг Солнца.

В сериале «Звездный путь: Следующее поколение » быстрая «циклизация» или «изменение» «нутации щита» часто упоминается как способ задержать антагониста в его попытках прорвать оборону и разграбить «Энтерпрайз» или другой космический корабль.

Смотрите также

Примечания

^ ab Лоури, Уильям (2007). Основы геофизики (2-е изд.). Кембридж [ua]: Cambridge University Press . стр. 58–59. ISBN 9780521675963.
^ Kasdin, N. Jeremy; Paley, Derek A. (2010). Инженерная динамика: всеобъемлющее введение . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . С. 526–527. ISBN 9780691135373.
^ ab Feynman, Leighton & Sands 2011, стр. 20–7 ^{[, необходимы пояснения ],}
^ Гольдштейн 1980, стр. 220
^ Гольдштейн 1980, стр. 217
↑ Гольдштейн 1980, стр. 213–217.
^ "Резолюция 83 о теории нежесткой нутации Земли". Международная служба вращения Земли и систем отсчета . Федеральное агентство картографии и геодезии. 2 апреля 2009 г. Получено 2012-08-06 .
^ "Основы космического полета, Глава 2". Лаборатория реактивного движения /НАСА. 28 августа 2013 г. Получено 26.03.2015 г.
^ «NeoProgrammics — Научные вычисления».

Ссылки

Фейнмановские лекции по физике, том I, гл. 20: Вращение в пространстве
Голдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0201029189.
Ламбек, Курт (2005). Переменное вращение Земли: геофизические причины и последствия (Цифровая печать 1-го издания). Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 9780521673303.
Мунк, Уолтер Х.; Макдональд, Гордон Дж. Ф. (1975). Вращение Земли: геофизическое обсуждение . Переиздание с корр. Кембридж, англ.: Cambridge University Press. ISBN 9780521207782.