Кривая, заполняющая пространство

Кривая, диапазон которой содержит единичный квадрат

Три итерации построения кривой Пеано , пределом которой является заполняющая пространство кривая.

В математическом анализе кривая , заполняющая пространство , — это кривая , диапазон которой достигает каждой точки в области более высокого измерения, обычно единичного квадрата (или, в более общем смысле, n -мерного единичного гиперкуба ). Поскольку Джузеппе Пеано (1858–1932) был первым, кто ее открыл, кривые, заполняющие пространство в двумерной плоскости, иногда называют кривыми Пеано , но эта фраза также относится к кривой Пеано , конкретному примеру кривой, заполняющей пространство, найденной Пеано.

Тесно связанные кривые FASS (приблизительно заполняющие пространство, самоизбегающие, простые и самоподобные кривые) можно рассматривать как конечные аппроксимации определенного типа заполняющих пространство кривых. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Определение

Интуитивно, кривая в двух или трех (или более) измерениях может рассматриваться как путь непрерывно движущейся точки. Чтобы устранить присущую этому понятию неопределенность, в 1887 году Джордан ввел следующее строгое определение, которое с тех пор было принято как точное описание понятия кривой :

Кривая (с конечными точками) представляет собой непрерывную функцию , областью определения которой является единичный интервал [0, 1] .

В самом общем виде область значений такой функции может лежать в произвольном топологическом пространстве , но в наиболее часто изучаемых случаях область значений будет лежать в евклидовом пространстве, таком как двумерная плоскость ( плоская кривая ) или трехмерное пространство ( пространственная кривая ).

Иногда кривая отождествляется с изображением функции (множеством всех возможных значений функции), а не с самой функцией. Также возможно определить кривые без конечных точек как непрерывную функцию на действительной прямой (или на открытом единичном интервале  (0, 1) ).

История

В 1890 году Джузеппе Пеано открыл непрерывную кривую, теперь называемую кривой Пеано , которая проходит через каждую точку единичного квадрата. ^[7] Его целью было построить непрерывное отображение из единичного интервала на единичный квадрат . Пеано был мотивирован более ранним контринтуитивным результатом Георга Кантора о том, что бесконечное число точек в единичном интервале имеет ту же мощность, что и бесконечное число точек в любом конечномерном многообразии , таком как единичный квадрат. Проблема, которую решил Пеано, заключалась в том, может ли такое отображение быть непрерывным; т. е. кривой, заполняющей пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывного взаимно-однозначного соответствия между единичным интервалом и единичным квадратом, и действительно такого соответствия не существует (см. § Свойства ниже).

Было принято связывать неопределенные понятия тонкости и одномерности с кривыми; все обычно встречающиеся кривые были кусочно- дифференцируемыми (то есть имели кусочно-непрерывные производные), и такие кривые не могли заполнить весь единичный квадрат. Поэтому заполняющая пространство кривая Пеано оказалась крайне контринтуитивной.

Из примера Пеано было легко вывести непрерывные кривые, диапазоны которых содержали n -мерный гиперкуб (для любого положительного целого числа n ). Также было легко расширить пример Пеано на непрерывные кривые без конечных точек, которые заполняли все n -мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любому другому положительному целому числу).

Большинство известных кривых заполнения пространства строятся итеративно как предел последовательности кусочно-линейных непрерывных кривых, каждая из которых все точнее приближается к пределу заполнения пространства.

Новаторская статья Пеано не содержала иллюстраций его конструкции, которая определяется в терминах троичных расширений и оператора зеркального отображения. Но графическая конструкция была ему совершенно ясна — он сделал декоративную мозаику, показывающую изображение кривой в своем доме в Турине. Статья Пеано также заканчивается замечанием, что эта техника может быть, очевидно, распространена на другие нечетные основания, помимо основания 3. Его выбор избегать любого обращения к графической визуализации был мотивирован желанием получить полностью строгое доказательство, ничем не обязанное рисункам. В то время (начало основания общей топологии) графические аргументы все еще включались в доказательства, но становились помехой для понимания часто контринтуитивных результатов.

Год спустя Дэвид Гильберт опубликовал в том же журнале вариант конструкции Пеано. ^[8] Статья Гильберта была первой, включавшей рисунок, помогающий визуализировать технику построения, по сути, тот же, что проиллюстрирован здесь. Аналитическая форма кривой Гильберта , однако, сложнее, чем у Пеано.

Шесть итераций построения кривой Гильберта, предельная кривая заполнения пространства которой была разработана математиком Давидом Гильбертом .

Схема построения кривой, заполняющей пространство

Обозначим через пространство Кантора . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$

Начнем с непрерывной функции из пространства Кантора на весь единичный интервал . (Ограничение функции Кантора на множество Кантора является примером такой функции.) Из нее мы получаем непрерывную функцию из топологического произведения на весь единичный квадрат , положив ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$

$${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$$

Поскольку множество Кантора гомеоморфно произведению , существует непрерывная биекция из множества Кантора на . Композиция и является непрерывной функцией , отображающей множество Кантора на весь единичный квадрат. (В качестве альтернативы мы могли бы использовать теорему о том, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора, чтобы получить функцию .) ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Наконец, можно расширить до непрерывной функции, областью определения которой является весь единичный интервал . Это можно сделать либо с помощью теоремы о расширении Титце на каждом из компонентов , либо просто расширив «линейно» (то есть на каждом удаленном открытом интервале в построении множества Кантора мы определяем часть расширения на как отрезок прямой внутри единичного квадрата, соединяющий значения и ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,\,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (a,\,b)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

Характеристики

Кривые Мортона и Гильберта уровня 6 (4 ⁵ =1024 ячеек в рекурсивном квадратном разбиении ), отображающие каждый адрес как отдельный цвет в стандарте RGB и использующие метки Geohash . Соседства имеют схожие цвета, но каждая кривая предлагает разную схему группировки схожих элементов в меньших масштабах.

Если кривая не является инъективной, то можно найти две пересекающиеся подкривые кривой, каждая из которых получена путем рассмотрения образов двух непересекающихся сегментов из области определения кривой (единичного отрезка прямой). Две подкривые пересекаются, если пересечение двух образов непустое . Можно было бы подумать, что смысл пересечения кривых заключается в том, что они обязательно пересекают друг друга, как точка пересечения двух непараллельных прямых, с одной стороны на другую. Однако две кривые (или две подкривые одной кривой) могут соприкасаться друг с другом, не пересекаясь, как, например, это делает прямая, касательная к окружности.

Несамопересекающаяся непрерывная кривая не может заполнить единичный квадрат, потому что это сделает кривую гомеоморфизмом единичного интервала на единичный квадрат (любая непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом). Но единичный квадрат не имеет точки сочленения , и поэтому не может быть гомеоморфен единичному интервалу, в котором все точки, кроме конечных точек, являются точками сочленения. Существуют несамопересекающиеся кривые ненулевой площади, кривые Осгуда , но по теореме Нетто они не являются заполняющими пространство. ^[9]

Для классических кривых Пеано и Гильберта, заполняющих пространство, где пересекаются две подкривые (в техническом смысле), существует самокасание без самопересечения. Кривая, заполняющая пространство, может быть (везде) самопересекающейся, если ее аппроксимационные кривые являются самопересекающимися. Аппроксимации кривой, заполняющей пространство, могут быть самоизбегающими, как иллюстрируют рисунки выше. В 3 измерениях самоизбегающие аппроксимационные кривые могут даже содержать узлы . Аппроксимационные кривые остаются в пределах ограниченной части n -мерного пространства, но их длины неограниченно увеличиваются.

Кривые, заполняющие пространство, являются частными случаями фрактальных кривых . Не может существовать дифференцируемой кривой, заполняющей пространство. Грубо говоря, дифференцируемость накладывает ограничение на то, как быстро кривая может поворачиваться. Михал Морейн доказал, что гипотеза континуума эквивалентна существованию кривой Пеано, такой, что в каждой точке действительной прямой по крайней мере один из ее компонентов дифференцируем. ^[10]

Теорема Хана–Мазуркевича.

Теорема Хана – Мазуркевича представляет собой следующую характеристику пространств, являющихся непрерывным образом кривых:

Непустое хаусдорфово топологическое пространство является непрерывным образом единичного интервала тогда и только тогда, когда оно является компактным, связным , локально связным , вторично-счетным пространством .

Пространства, являющиеся непрерывным образом единичного интервала, иногда называют пространствами Пеано .

Во многих формулировках теоремы Хана–Мазуркевича счетность второго порядка заменяется счетностью второго порядка . Эти две формулировки эквивалентны. В одном направлении компактное хаусдорфово пространство является нормальным пространством , и по теореме Урысона о метризации счет второго порядка влечет счетность второго порядка. И наоборот, компактное метрическое пространство счетно второго порядка.

Кляйнианские группы

Существует множество естественных примеров заполняющих пространство или, скорее, сферических кривых в теории дважды вырожденных клейновых групп . Например, Кэннон и Терстон (2007) показали, что окружность на бесконечности универсального покрытия слоя тора отображения псевдоаносовского отображения является заполняющей сферу кривой. (Здесь сфера является сферой на бесконечности гиперболического 3-пространства .)

Интеграция

Винер в своей книге «Интеграл Фурье и некоторые его приложения» указал , что заполняющие пространство кривые можно использовать для сведения интегрирования Лебега в высших измерениях к интегрированию Лебега в одном измерении.

Смотрите также

• Кривая дракона
• Кривая Госпера
• кривая Гильберта
• кривая Коха
• кривая Мура
• полигон Мюррея
• кривая Серпинского
• Дерево, заполняющее пространство
• Пространственный индекс
• Гильбертово R-дерево
• B ^x -дерево
• Z-порядок (кривая) (порядок Мортона)
• Карта Кэннона–Терстона
• Самоизбегающая прогулка (все, что есть SFC)
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Примечания

1. Пшемыслав Прусинкевич и Аристид Линденмайер. «Алгоритмическая красота растений». 2012. стр. 12
2. Джеффри Вентрелла. «Brainfilling Curves — A Fractal Bestiary». 2011. стр. 43
3. Марсия Эшер. «Математика в других местах: исследование идей в разных культурах». 2018. стр. 179.
4. «Фракталы в фундаментальных и прикладных науках». 1991. С. 341-343.
5. Пшемыслав Прусинкевич; Аристид Линденмайер; Ф. Дэвид Фраккиа. «Синтез заполняющих пространство кривых на квадратной сетке». 1989.
6. "FASS-curve". Д. Фреттлех, Э. Харрис, Ф. Гелер: Энциклопедия мозаик, https://tilings.math.uni-bielefeld.de/
7. Пеано 1890.
8. Гильберт 1891.
9. Саган 1994, стр. 131.
10. Морейн, Михал (1987). «О дифференцируемости функций типа Пеано». Коллоквиум Математикум . 53 (1): 129–132. дои : 10,4064/см-53-1-129-132 . ISSN  0010-1354.

Ссылки

• Кэннон, Джеймс У.; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], «Групповые инвариантные кривые Пеано», Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060, MR  2326947
• Гильберт, Д. (1891), «Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück», Mathematische Annalen (на немецком языке), 38 (3): 459–460, doi : 10.1007/BF01199431, S2CID  123643081
• Мандельброт, Б.Б. (1982), «Гл. 7: Использование чудовищных кривых Пеано», Фрактальная геометрия природы , У.Х. Фримен.
• Маккенна, Дуглас М. (1994), «SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid», в Гай, Ричард К.; Вудро, Роберт Э. (ред.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Mathematical Association of America , стр. 49–73, ISBN 978-0-88385-516-4.
• Пеано, Г. (1890), «Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane», Mathematische Annalen (на французском языке), 36 (1): 157–160, doi : 10.1007/BF01199438, S2CID  179177780.
• Саган, Ганс (1994), Кривые, заполняющие пространство , Universitext, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, г-н  1299533.

Внешние ссылки

• Многомерные кривые, заполняющие пространство
• Доказательство существования биекции в точке разрезания узла

Java-апплеты:

• Peano Plane Filling Curves в Cut-the-Knot
• Кривые заполнения плоскости Гильберта и Мура в cut-the-knot
• Все кривые заполнения плоскости Пеано на cut-the-knot