Модус поненс

Правило логического вывода

В логике высказываний modus ponens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ p oʊ n ɛ n z / ; MP ), также известный как modus ponendo ponens (от латинского  «метод размещения путем размещения»), [ ^1] устранение импликации , или подтверждение антецедента , ^[2] представляет собой дедуктивную форму аргумента и правило вывода . ^[3] Это можно резюмировать так: « P подразумевает Q. P истинно. Следовательно, Q также должно быть истинным».

Modus ponens — это смешанный гипотетический силлогизм , тесно связанный с другой действительной формой аргументации — modus tollens . Оба имеют внешне схожие, но недействительные формы: утверждение последующего и отрицание антецедента . Конструктивная дилемма — это дизъюнктивная версия modus ponens .

История modus ponens уходит корнями в глубокую древность . ^[4] Первым, кто явно описал форму аргумента modus ponens, был Теофраст . ^[5] Это, наряду с modus tollens , является одной из стандартных моделей вывода, которые можно применять для вывода цепочек выводов, ведущих к желаемой цели.

Объяснение

Форма аргументации modus ponens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

1. Если П , то К.
2. П .
3. Следовательно , К.

Первая посылка представляет собой условное утверждение («если – то»), а именно, что P подразумевает Q . Вторая посылка — это утверждение, что P , антецедент условного утверждения, имеет место. Из этих двух посылок можно логически заключить, что Q , следствие условного утверждения, также должно иметь место.

Пример аргумента, который соответствует форме modus ponens :

1. Если сегодня вторник, то Джон пойдет на работу.
2. Сегодня вторник.
3. Поэтому Джон пойдет на работу.

Этот аргумент действителен , но он не имеет никакого отношения к тому, истинно ли какое-либо из утверждений аргумента ; Чтобы modus ponens был обоснованным аргументом, посылки должны быть истинными для любых истинных случаев заключения. Аргумент может быть действительным, но , тем не менее, необоснованным, если одна или несколько посылок ложны; если аргумент действителен и все предпосылки верны, то аргумент обоснован. Например, Джон может пойти на работу в среду. В этом случае доводы в пользу того, что Джон собирается на работу (потому что сегодня среда), необоснованны. Этот аргумент обоснован только по вторникам (когда Джон идет на работу), но действителен в любой день недели. Пропозициональный аргумент, использующий modus ponens , называется дедуктивным .

В секвенционных исчислениях с одним выводом modus ponens — это правило отсечения. Теорема об исключении разреза для исчисления гласит, что каждое доказательство, включающее Cut, может быть преобразовано (вообще, конструктивным методом) в доказательство без Cut, и, следовательно, Cut допустимо .

Соответствие Карри -Ховарда между доказательствами и программами связывает modus ponens с применением функции : если f — функция типа P → Q , а x имеет тип P , то fx имеет тип Q.

В искусственном интеллекте modus ponens часто называют прямой цепочкой .

Формальные обозначения

Правило modus ponens можно записать в последовательных обозначениях как

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

где P , Q и P → Q — утверждения (или предложения) формального языка, а ⊢ — металогический символ, означающий, что Q является синтаксическим следствием P и P → Q в некоторой логической системе .

Обоснование с помощью таблицы истинности

Справедливость modus ponens в классической двузначной логике можно наглядно продемонстрировать с помощью таблицы истинности .

В случаях modus ponens мы предполагаем в качестве предпосылки, что p → q истинно и p истинно. Только одна строка таблицы истинности — первая — удовлетворяет этим двум условиям ( p и p → q ). В этом отношении q также верно. Следовательно, всякий раз, когда p → q истинно и p истинно, q также должно быть истинным.

Положение дел

Хотя modus ponens является одной из наиболее часто используемых форм аргументации в логике, его не следует путать с логическим законом; скорее, это один из общепринятых механизмов построения дедуктивных доказательств, включающий «правило определения» и «правило замены». ^[6] Modus ponens позволяет исключить условное утверждение из логического доказательства или аргумента (антецедентов) и тем самым не переносить эти антецеденты вперед в постоянно удлиняющейся строке символов; по этой причине modus ponens иногда называют правилом отделения ^[7] или законом отделения . ^[8] Эндертон, например, отмечает, что «modus ponens может создавать более короткие формулы из более длинных», ^[9] а Рассел отмечает, что «процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственным свидетельством является появление ⊦q [последовательность] ... вывод — это отказ от истинной посылки; это растворение импликации». ^[10]

Оправданием «доверия к выводу является вера в то, что если два предыдущих утверждения [антецеденты] не ошибочны, то и окончательное утверждение [последующее] не является ошибочным». ^[10] Другими словами: если из одного утверждения или предложения следует второе, и первое утверждение или предложение истинно, то и второе также истинно. Если P подразумевает Q и P истинно, то Q истинно. ^[11]

Соответствие другим математическим основам

Алгебраическая семантика

В математической логике алгебраическая семантика рассматривает каждое предложение как имя элемента в упорядоченном множестве. Обычно набор можно представить в виде решетчатой ​​структуры с одним элементом («всегда-истина») вверху и еще одним элементом («всегда-ложь») внизу. Логическая эквивалентность становится тождественностью, так что когда и , например, эквивалентны (как это принято), то . Логическая импликация становится вопросом относительного положения: логически подразумевается только в случае , т. е. когда либо или иначе лежит ниже и связано с ним восходящим путем. ${\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}}$ ${\displaystyle \neg {P}\vee \neg {Q}}$ ${\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leq Q}$ ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

В этом контексте сказать, что и вместе подразумевать — то есть утвердить modus ponens как действительный — значит сказать, что высшая точка, которая лежит ниже обоих и лежит ниже , т. е. что . ^[a] В семантике базовой логики высказываний алгебра является булевой и интерпретируется как материальный кондиционал : . Подтвердить это несложно, потому что и . При других трактовках семантика становится более сложной, алгебра может быть небулевой, и достоверность modus ponens не может считаться само собой разумеющейся. ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q}$ ${\displaystyle P\wedge Q\leq Q}$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Вероятностное исчисление

Если и , то должно лежать в интервале . ^{[b] [12]} В особых случаях должно равняться . ${\displaystyle \Pr(P\rightarrow Q)=x}$ ${\displaystyle \Pr(P)=y}$ ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle [x+y-1,x]}$ ${\displaystyle x=y=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle 1}$

Субъективная логика

Modus ponens представляет собой экземпляр оператора биномиального вывода в субъективной логике , выраженный как:

$${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,}$$

где обозначает субъективное мнение о том , что высказано источником , а условное мнение обобщает логическое следствие . Выведенное маргинальное мнение о обозначается . Случай, когда абсолютно ВЕРНОЕ мнение о чем -то эквивалентен тому, что источник говорит, что это ПРАВДА, а случай, когда абсолютно ЛОЖНОЕ мнение о чем-то, эквивалентен тому, что источник говорит, что это ЛОЖНО. Оператор дедукции субъективной логики производит абсолютное ИСТИНА выведенное мнение, когда условное мнение является абсолютным ИСТИНА, а предшествующее мнение абсолютно ИСТИНА. Следовательно, субъективная логическая дедукция представляет собой обобщение как modus ponens , так и закона полной вероятности . ^[13] ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circledcirc }$ ${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$

Предполагаемые случаи неудач

Философы и лингвисты выявили множество случаев, когда modus ponens не работает. Ванн МакГи, например, утверждал, что modus ponens может не работать для кондиционалов, последствия которых сами являются кондиционалами. ^[14] Ниже приведен пример:

1. Либо Шекспир , либо Гоббс написали «Гамлета» .
2. Если «Гамлета» написал Шекспир или Гоббс , то если этого не сделал Шекспир, то это сделал Гоббс.
3. Следовательно, если « Гамлета » не написал Шекспир , это написал Гоббс.

Поскольку Шекспир действительно написал «Гамлета» , первая посылка верна. Вторая предпосылка также верна, поскольку, начиная с набора возможных авторов, ограниченного только Шекспиром и Гоббсом, и исключая одного из них, остается только другой. Однако вывод сомнителен, поскольку исключение Шекспира как автора « Гамлета» оставило бы множество возможных кандидатов, многие из которых были бы более правдоподобными альтернативами, чем Гоббс (если «если-то» в выводе читать как материальные условные выражения, вывод окажется верным). просто в силу ложного антецедента (это один из парадоксов материальной импликации ).

Общая форма контрпримеров типа МакГи к modus ponens такова : не обязательно, чтобы это была дизъюнкция, как в приведенном примере. То, что такого рода случаи представляют собой нарушение modus ponens , остается спорным мнением среди логиков, но мнения о том, как следует поступать в таких случаях, расходятся. ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$ ${\displaystyle Q\rightarrow R}$ ${\displaystyle P}$

В деонтической логике некоторые примеры условного обязательства также повышают вероятность отказа modus ponens . Это случаи, когда условная посылка описывает обязательство, основанное на аморальном или неосмотрительном поступке, например: «Если Доу убивает свою мать, он должен делать это осторожно», для чего сомнительным безусловным выводом будет «Доу следует мягко убить свою мать». мать." ^[18] Из этого следует, что если Доу на самом деле мягко убивает свою мать, то modus ponens он делает именно то, что он должен, безоговорочно, делать. И здесь отказ modus ponens не является популярным диагнозом, но иногда его аргументируют. ^[19]

Возможные заблуждения

Ошибочность утверждения консеквента является распространенным неправильным толкованием modus ponens . ^[20]

Смотрите также

• Конденсированная отслойка
• Импорт-Экспорт (логика)  – Принцип классической логики.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Латинские фразы
• Modus tollens  - Правило логического вывода
• Modus vivendi  – Соглашение, позволяющее конфликтующим сторонам мирно сосуществовать.
• Стоическая логика  - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.
• Что черепаха сказала Ахиллесу  - Аллегорический диалог Льюиса Кэрролла

Примечания

1. Самая высокая точка, которая находится ниже обоих и является « встречей » и , обозначается . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\wedge Y}$
2. Поскольку подразумевается , всегда должно быть больше или равно и, следовательно, будет больше или равно . А поскольку всегда должно быть меньше или равно , всегда должно быть меньше или равно . ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-y}$ ${\displaystyle x+y-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+y-1}$ ${\displaystyle x}$

Рекомендации

1. Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Рутледж. п. 60. ИСБН 0-415-91775-1.
2. «Оксфордская ссылка: подтверждение антецедента» . Оксфордский справочник .
3. Эндертон 2001: 110
4. Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47, № 4, 2002.
5. «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens». Стэнфордская энциклопедия философии .
6. Альфред Тарский 1946:47. Также Эндертон 2001:110 и далее.
7. Тарский 1946:47
8. "Modus ponens - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 5 апреля 2018 г.
9. Эндертон 2001: 111
10. Уайтхед и Рассел 1927: 9
11. Джаго, Марк (2007). Формальная логика . ТОО «Humaniities-Ebooks». ISBN 978-1-84760-041-7. {{cite book}}: Внешняя ссылка |publisher=( помощь )
12. Хайльперин, Теодор (1996). Сентенциальная вероятностная логика: происхождение, развитие, современное состояние и технические приложения . Лондон: Издательство Associated University Press. п. 203. ИСБН 0934223459.
13. Аудун Йосанг 2016:92
14. Ванн МакГи (1985). «Контрпример Modus Ponens», Философский журнал 82, 462–471.
15. Синнотт-Армстронг, Мавр и Фогелин (1986). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 83, 296–300.
16. DE Over (1987). «Предположение и предполагаемые контрпримеры к Modus Ponens», Анализ 47, 142–146.
17. Бледин (2015). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 112, 462–471.
18. "Деонтическая логика". 21 апреля 2010 года . Проверено 30 января 2020 г. Стэнфордская энциклопедия философии .
19. Например, Колодный и Макфарлейн (2010). «Если и должно», Философский журнал 107, 115–143.
20. «Заблуждения | Интернет-энциклопедия философии». iep.utm.edu . Проверено 6 марта 2020 г.

Источники

• Герберт Б. Эндертон, 2001, Математическое введение в логику, второе издание , Harcourt Academic Press, Берлингтон, Массачусетс, ISBN 978-0-12-238452-3 . 
• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, 1927 г. , Principia Mathematica - * 56 (второе издание), издание в мягкой обложке, 1962 г., Кембридж, University Press, Лондон, Великобритания. Ни ISBN, ни LCCCN.
• Альфред Тарский, 1946 г. , «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» , 2-е издание, перепечатано Dover Publications, Минеола, штат Нью-Йорк. ISBN 0-486-28462-X (пбк). 

Внешние ссылки

• «Modus ponens», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Modus ponens в PhilPapers
• Modus ponens в Wolfram MathWorld