Когомологии Де Рама

Когомологии с действительными коэффициентами, вычисленными с использованием дифференциальных форм

Векторное поле, соответствующее замкнутой, но не точной дифференциальной форме на проколотой плоскости , показывающее, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математике Когомологии де Рама (названные в честь Жоржа де Рама ) — инструмент, принадлежащий как к алгебраической топологии , так и к дифференциальной топологии , способный выражать основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме, особенно приспособленной для вычислений и конкретного представления классов когомологий . Это теория когомологий , основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами.

На любом гладком многообразии каждая точная форма замкнута, но обратное может не выполняться. Грубо говоря, эта неудача связана с возможным существованием «дырок» в многообразии, а группы когомологий де Рама составляют набор топологических инвариантов гладких многообразий, которые точно количественно определяют это соотношение. ^[1]

Понятие интегрирования по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из наиболее важных примеров когомологий , а именно когомологии де Рама , которые (грубо говоря) точно измеряют степень, в которой фундаментальная теорема исчисление терпит неудачу в более высоких измерениях и на общих многообразиях.
-  Теренс Тао , Дифференциальные формы и интеграция ^[2]

Определение

Комплекс де Рама — это коцепный комплекс дифференциальных форм на некотором гладком многообразии M с внешней производной в качестве дифференциала:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

где Ω0 ⁽ M ) — пространство гладких функций на M , Ω1 ( M ) ^— пространство 1 -форм и т.д. Формы, являющиеся образом других форм относительно внешней производной плюс функция константы 0 в Ω ⁰ ( M ) , называются точными , а формы, внешняя производная которых равна 0 , называются закрытыми (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); тогда соотношение d ² = 0 говорит о том, что точные формы замкнуты.

Напротив, закрытые формы не обязательно точны. Наглядным примером является круг как многообразие и 1 -форма, соответствующая производной угла от опорной точки в его центре, обычно записываемая как dθ (описанная в разделе «Закрытые и точные дифференциальные формы »). Не существует функции θ, определенной на всей окружности, такой, что dθ является ее производной; увеличение 2 π при одиночном обходе круга в положительном направлении подразумевает многозначную функцию θ . Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.

Одним из ярких примеров того, когда все замкнутые формы точны, является ситуация, когда лежащее в основе пространство сжимается до точки, т. е. оно просто связно (условие отсутствия дыр). В этом случае внешняя производная, ограниченная замкнутыми формами, имеет локальный обратный оператор, называемый гомотопическим оператором . ^{[3] [4]} Поскольку он также нильпотентен , ^[3] он образует двойственный цепной комплекс с перевернутыми стрелками ^[5] по сравнению с комплексом де Рама. Именно такая ситуация описана в лемме Пуанкаре . ${\displaystyle d}$

Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Две замкнутые формы α , β ∈ Ωk ⁽ M ) классифицируются как когомологичные, если они отличаются точной формой, т. е. если α − β точна. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности в пространстве замкнутых форм ^в Ωk ( M ) . Затем определяют k -ю группу когомологий ^де Рама как множество классов эквивалентности, то есть множество замкнутых форм в Ωk ( M ) по модулю точных форм. ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

Заметим, что для любого многообразия M, состоящего из m несвязных компонент, каждая из которых связна , имеем

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

Это следует из того, что любая гладкая функция на M , имеющая всюду нулевую производную, отдельно постоянна на каждой из компонент связности M .

Вычислены когомологии Де Рама

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя приведенный выше факт о нулевых когомологиях и последовательности Майера–Вьеториса . Еще один полезный факт состоит в том, что когомологии де Рама являются гомотопическими инвариантами. Хотя вычисления не приводятся, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых распространенных топологических объектов:

n -сфера​

Для n -сферы , , а также вместе с произведением открытых интервалов имеем следующее. Пусть n > 0, m ≥ 0 и I — открытый вещественный интервал. Затем ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}}$

n -тор​

-тор является декартовым произведением: . Аналогично, учитывая здесь, получаем ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

Мы также можем найти явные генераторы когомологий де Рама тора непосредственно, используя дифференциальные формы. Учитывая фактор-многообразие и дифференциальную форму, мы можем сказать, что -инвариантно , если задан любой диффеоморфизм, индуцированный , мы имеем . В частности, откат любой формы на -инвариантен . Кроме того, обратный образ является инъективным морфизмом. В нашем случае дифференциальные формы -инвариантны , так как . Но обратите внимание, что for не является инвариантной -формой. Это с учетом инъективности означает, что ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot g:X\to X}$ ${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Поскольку кольцо когомологий тора порождается , взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама тора. ${\displaystyle H^{1}}$

Проколотое евклидово пространство

Проколотое евклидово пространство — это просто удаление начала координат. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

Лента Мёбиуса

Из того факта, что ленту Мёбиуса M можно деформировать, втягивая в 1 -сферу (т.е. вещественную единичную окружность), мы можем сделать вывод, что:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

Теорема Де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей . В нем говорится, что спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования дает гомоморфизм когомологий де Рама в группы сингулярных когомологий. Теорема Де Рама , доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что для гладкого многообразия M это отображение фактически является изоморфизм . ​ ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$

Точнее рассмотрим карту

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

определяется следующим образом: для любого пусть I ( ω ) будет элементом, который действует следующим образом: ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

Внешний продукт придает прямой сумме этих групп кольцевую структуру . Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичное произведение на сингулярных когомологиях является чашечным произведением .

Теоретико-пучковый изоморфизм де Рама

Для любого гладкого многообразия M пусть – постоянный пучок на M, ассоциированный с абелевой группой ; другими словами, является пучком локально постоянных вещественных функций на M. Тогда мы имеем естественный изоморфизм ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

между когомологиями де Рама и пучковыми когомологиями . (Обратите внимание, что это показывает, что когомологии де Рама также могут быть вычислены в терминах когомологий Чеха ; действительно, поскольку каждое гладкое многообразие паракомпактно по Хаусдорфу, мы имеем, что пучковые когомологии изоморфны когомологиям Чеха для любого хорошего покрытия M .) ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ ${\textstyle {\mathcal {U}}}$

Доказательство

Стандартное доказательство продолжается, показывая, что комплекс де Рама, если рассматривать его как комплекс пучков, является ациклическим разрешением . Более подробно, пусть m — размерность M и обозначает пучок ростков -форм на M (с пучком функций на M ). По лемме Пуанкаре точна следующая последовательность пучков (в абелевой категории пучков): ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Эта длинная точная последовательность теперь разбивается на короткие точные последовательности пучков.

${\displaystyle 0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,}$

где по точности мы имеем изоморфизмы для всех k . Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность когомологий. Так как пучок функций на М допускает разбиения единицы , то любой -модуль является тонким пучком ; в частности со шкивами все в порядке. Следовательно, группы пучковых когомологий исчезают, поскольку все тонкие пучки в паракомпактных пространствах ацикличны. Таким образом, сами длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге распадаются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепи находятся когомологии пучка , а на другом — когомологии де Рама. ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$ ${\textstyle i>0}$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

Похожие идеи

Когомологии де Рама вдохновили множество математических идей, включая когомологии Дольбо , теорию Ходжа и теорему об индексе Атьи-Зингера . Однако даже в более классическом контексте эта теорема вдохновила на ряд разработок. Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это основано на соответствующем определении гармонических форм и теореме Ходжа. Более подробную информацию см. в теории Ходжа .

Гармонические формы

Если M — компактное риманово многообразие , то каждый класс эквивалентности в содержит ровно одну гармоническую форму . То есть каждый член данного класса эквивалентности замкнутых форм можно записать как ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

где точно и является гармоническим: . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

Любая гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный представительный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологично эквивалентных форм на многообразии. Например, на 2 - торе можно представить постоянную 1 -форму как форму, в которой все «волосы» аккуратно зачесаны в одном направлении (и все «волосы» имеют одинаковую длину). В этом случае имеются два когомологически различных расчесывания; все остальные представляют собой линейные комбинации. В частности, это означает, что 1-е число Бетти 2 -тора равно двум. В более общем смысле, на -мерном торе можно рассматривать различные комбинации -форм на торе. Есть выбор таких причесок, которые можно использовать для формирования базисных векторов для ; Таким образом , -е число Бетти для группы когомологий де Рама для -тора равно . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Точнее, для дифференциального многообразия M можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой . Тогда лапласиан определяется формулой ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

с внешней производной и кодифференциалом .​ Лапласиан — однородный (по градуировке ) линейный дифференциальный оператор , действующий на внешнюю алгебру дифференциальных форм : мы можем рассматривать его действие на каждую компоненту степени отдельно. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

Если компактен и ориентирован , то размерность ядра лапласиана , действующего на пространство k -форм , равна (по теории Ходжа ) размерности группы когомологий де Рама по степени : лапласиан выделяет единственную гармоническую форму в каждый класс когомологий замкнутых форм . В частности, пространство всех гармонических -форм на изоморфно. Размерность каждого такого пространства конечна и задается --м числом Бетти . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle k}$

Разложение Ходжа

Пусть – компактное ориентированное риманово многообразие . Разложение Ходжа утверждает, что любая -форма на однозначно распадается на сумму трех ^{компонентов} L2 : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

где точно, соточно и гармонично. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

Говорят, что форма является козамкнутой, если и соточной, если для некоторой формы , и это гармонически, если лапласиан равен нулю, . Это следует из того, что точные и соточные формы ортогональны; ортогональное дополнение тогда состоит из форм, которые являются одновременно замкнутыми и созамкнутыми, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется по отношению к скалярному произведению L 2 на : ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta \beta =0}$ ${\displaystyle \beta =\delta \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

Используя пространства или распределения Соболева , разложение можно расширить, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия. ^[6]

Смотрите также

• Теория Ходжа
• Интегрирование по слоям (для когомологий де Рама продвижение вперед задается интегрированием )
• Теория снопа
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-лемма для уточнения точных дифференциальных форм в случае компактных кэлеровых многообразий .

Цитаты

1. Ли 2013, с. 440.
2. Тао, Теренс (2007) «Дифференциальные формы и интеграция», Princeton Companion to Mathematics, 2008. Тимоти Гауэрс, изд.
3. Эделен, Доминик ГБ (2011). Прикладное внешнее исчисление (пересмотренная ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43871-9. OCLC  56347718.
4. Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90894-3. ОСЛК  9683855.
5. Киция, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор». Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN  1422-6383. S2CID  199472766.
6. Жан-Пьер Демайи, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия, глава VIII, § 3.

Рекомендации

• Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, МР  1288523
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

• Идея когомологий Де Рама в проекте Мэтифолда
• «Когомологии Де Рама», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]