Постоянная связка

В математике постоянный пучок топологического пространства , связанный с набором, представляет собой пучок множеств, на всех стеблях которого все равны . Обозначается или . Постоянный предпучок со значением — это предварительный пучок , который присваивает каждому открытому подмножеству значение , и все карты ограничений которого являются картой идентичности . Постоянный пучок, связанный с, является слоением постоянного предпучка, связанного с . Этот пучок отождествляется с пучком локально константных функций на . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

В определенных случаях множество может быть заменено объектом из некоторой категории (например, когда это категория абелевых групп или коммутативных колец ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$

Постоянные пучки абелевых групп появляются, в частности, как коэффициенты пучковых когомологий .

Основы

Пусть – топологическое пространство и множество. Сечения постоянного пучка над открытым множеством можно интерпретировать как непрерывные функции , где задана дискретная топология . Если связано , то эти локально постоянные функции постоянны. Если – единственное отображение в одноточечное пространство и рассматривается как пучок на , то прообраз – постоянный пучок на . Пучковое пространство — это карта проекции (где задана дискретная топология). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:X\to \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle f^{-1}A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\times A\to X}$

Подробный пример

Постоянный предпучок на двухточечном дискретном пространстве

Двухточечное дискретное топологическое пространство

Пусть – топологическое пространство, состоящее из двух точек и с дискретной топологией . имеет четыре открытых набора: . Пять нетривиальных включений открытых множеств показаны на схеме. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}}$ ${\displaystyle X}$

Предварительный пучок выбирает набор для каждого из четырех открытых наборов и карту ограничений для каждого включения (с тождественной картой для ). Постоянный предпучок со значением , обозначенный , является предпучком, где все четыре набора равны , целые числа и все карты ограничений являются тождественными. является функтором на диаграмме включений (предпучком), поскольку он постоянен. Он удовлетворяет аксиоме склейки, но не является пучком, поскольку не соответствует аксиоме локальной идентичности на пустом множестве. Это происходит потому, что пустое множество покрывается пустым семейством множеств и, по сути, любые две части в нем равны, если они ограничены любым набором из пустого семейства . Таким образом, аксиома локальной идентичности будет подразумевать, что любые две секции равны, что неверно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset U}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varnothing =\bigcup \nolimits _{U\in \{\}}U}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$ ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$

Чтобы преобразовать это в предпучок , который удовлетворяет аксиоме локальной идентичности, пусть , одноэлементный набор, и задайте значение для всех непустых наборов. Пусть для каждого включения открытых множеств ограничением является уникальное отображение в 0, если меньшее множество пусто, или тождественное отображение в противном случае. Обратите внимание, что это обусловлено аксиомой локальной идентичности. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$

Промежуточный шаг для постоянного пучка

Теперь представляет собой отделенный предпучок (удовлетворяющий локальной идентичности), но в отличие от него не соответствует аксиоме склейки. Действительно , несвязно , покрыто непересекающимися открытыми множествами и . Выберите отдельные разделы в более и соответственно. Поскольку и ограничивается одним и тем же элементом 0 over , аксиома склейки гарантировала бы существование уникального раздела on , который ограничивается on и on ; но карты ограничений являются тождественными, дающими , что неверно. Интуитивно понятно, что он слишком мал, чтобы нести информацию как о подключенных компонентах, так и о . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m=s=n}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$

Постоянный пучок в двухточечном топологическом пространстве.

Внося дальнейшие изменения для удовлетворения аксиомы склейки, пусть

${\displaystyle H(\{p,q\})=\mathrm {Fun} (\{p,q\},\mathbf {Z} )\cong \mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} }$,

-значные функции на , и определяют карты ограничения как естественное ограничение функций на и , с нулевым отображением, ограничивающим . Тогда это пучок, называемый постоянным пучком со значением . Поскольку все отображения ограничений являются гомоморфизмами колец, является пучком коммутативных колец. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle H}$

Смотрите также

• Локально постоянный пучок

Рекомендации

1. "Имеет ли расширение постоянного пучка нулевым пучком какое-нибудь хорошее описание?" Математический обмен стеками . Проверено 8 июля 2022 г.

• Раздел II.1 Хартсхорна, Робина (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Раздел 2.4.6 Теннисона, BR (1975), Теория пучков , ISBN 978-0-521-20784-3