Обратный предел

Конструкция в теории категорий

В математике обратный предел (также называемый проективным пределом ) — это конструкция, которая позволяет «склеивать» несколько связанных объектов , причем точный процесс склеивания задается морфизмами между объектами. Таким образом, обратные пределы могут быть определены в любой категории, хотя их существование зависит от рассматриваемой категории. Они являются частным случаем понятия предела в теории категорий.

Работая в двойственной категории , то есть меняя стрелки местами, обратный предел становится прямым пределом или индуктивным пределом , а предел становится копределом .

Формальное определение

Алгебраические объекты

Начнем с определения обратной системы (или проективной системы) групп и гомоморфизмов . Пусть будет направленным частично упорядоченным множеством (не все авторы требуют, чтобы I было направленным). Пусть ( A _i ) _{i ∈ I} будет семейством групп и предположим, что у нас есть семейство гомоморфизмов для всех (обратите внимание на порядок) со следующими свойствами: ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$является идентичностью на , ${\displaystyle A_{i}}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{for all }}i\leq j\leq k.}$

Тогда пара называется обратной системой групп и морфизмов над , а морфизмы называются морфизмами перехода системы. ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

Определим обратный предел обратной системы как частную подгруппу прямого произведения ' s: ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.}$

Обратный предел оснащен естественными проекциями π _i : A → A _i , которые выбирают i -й компонент прямого произведения для каждого в . Обратный предел и естественные проекции удовлетворяют универсальному свойству, описанному в следующем разделе. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

Эту же конструкцию можно осуществить, если ' являются множествами , ^[1] полугруппами , ^[1] топологическими пространствами , ^[1] кольцами , модулями (над фиксированным кольцом), алгебрами (над фиксированным кольцом) и т. д., а гомоморфизмы являются морфизмами в соответствующей категории . Обратный предел также будет принадлежать этой категории. ${\displaystyle A_{i}}$

Общее определение

Обратный предел может быть определен абстрактно в произвольной категории с помощью универсального свойства . Пусть будет обратной системой объектов и морфизмов в категории C (то же определение, что и выше). Обратный предел этой системы — это объект X в C вместе с морфизмами π _i : X → X _i (называемые проекциями ), удовлетворяющими π _i = ∘ π _j для всех i ≤ j . Пара ( X , π _i ) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары ( Y , ψ _i ) существует единственный морфизм u : Y → X такой, что диаграмма ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

коммутирует для всех i ≤ j . Обратный предел часто обозначается

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

при этом обратная система и канонические проекции понятны. ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$

В некоторых категориях обратный предел определенных обратных систем не существует. Однако, если он существует, он уникален в сильном смысле: для любых двух обратных пределов X и X' обратной системы существует единственный изоморфизм X ′ → X, коммутирующий с проекционными отображениями.

Обратные системы и обратные пределы в категории C допускают альтернативное описание в терминах функторов . Любое частично упорядоченное множество I можно рассматривать как малую категорию , где морфизмы состоят из стрелок i → j тогда и только тогда, когда i ≤ j . Обратная система тогда является просто контравариантным функтором I → C . Пусть — категория этих функторов (с естественными преобразованиями в качестве морфизмов). Объект X из C можно считать тривиальной обратной системой, где все объекты равны X , а все стрелки являются тождествами X . Это определяет «тривиальный функтор» из C в Обратный предел, если он существует, определяется как правый сопряженный этого тривиального функтора. ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$

Примеры

• Кольцо p -адических целых чисел является обратным пределом колец (см. модульную арифметику ) с множеством индексов, являющимся натуральными числами в обычном порядке, и морфизмами, являющимися "взять остаток". То есть, рассматриваются последовательности целых чисел, такие, что каждый элемент последовательности "проецируется" на предыдущие, а именно, что всякий раз, когда Естественная топология на p -адических целых числах подразумевается здесь, а именно топология произведения с цилиндрическими множествами в качестве открытых множеств. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$ ${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$
• P - адический соленоид является обратным пределом топологических групп с множеством индексов, являющимся натуральными числами в обычном порядке, и морфизмами, являющимися «взять остаток». То есть, рассматриваются последовательности действительных чисел, такие, что каждый элемент последовательности «проецируется» вниз на предыдущие, а именно, что всякий раз, когда Его элементы имеют в точности вид , где — p-адическое целое число, а — «остаток». ${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$ ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle n+r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in [0,1)}$
• Кольцо формальных степенных рядов над коммутативным кольцом R можно рассматривать как обратный предел колец , индексированных натуральными числами в обычном порядке, с морфизмами из в , заданными естественной проекцией. ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• Проконечные группы определяются как обратные пределы (дискретных) конечных групп.
• Пусть индексное множество I обратной системы ( X _i , ) имеет наибольший элемент m . Тогда естественная проекция π _m : X → X _m является изоморфизмом. ${\displaystyle f_{ij}}$
• В категории множеств каждая обратная система имеет обратный предел, который может быть построен элементарным образом как подмножество произведения множеств, образующих обратную систему. Обратный предел любой обратной системы непустых конечных множеств непуст. Это обобщение леммы Кёнига в теории графов и может быть доказано с помощью теоремы Тихонова , рассматривая конечные множества как компактные дискретные пространства, а затем применяя свойство конечного пересечения, характеризующее компактность.
• В категории топологических пространств каждая обратная система имеет обратный предел. Она строится путем помещения исходной топологии на базовый теоретико-множественный обратный предел. Это известно как предельная топология .
  • Множество бесконечных струн является обратным пределом множества конечных струн и, таким образом, наделено топологией предела. Поскольку исходные пространства дискретны , предельное пространство полностью несвязно . Это один из способов реализации p -адических чисел и множества Кантора (как бесконечных струн).

Производные функторы обратного предела

Для абелевой категории C обратный предельный функтор

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

является левым точным . Если I упорядочено (а не просто частично упорядочено) и счетно , а C является категорией Ab абелевых групп, условие Миттаг-Леффлера является условием на морфизмы перехода f _ij , которое обеспечивает точность . В частности, Эйленберг построил функтор ${\displaystyle \varprojlim }$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

(произносится как «лим один»), такой что если ( A _i , f _ij ), ( B _i , g _ij ) и ( C _i , h _ij ) — три обратные системы абелевых групп, и

${\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0}$

представляет собой короткую точную последовательность обратных систем, тогда

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}$

является точной последовательностью в Ab .

Состояние Миттаг-Леффлера

Если области значений морфизмов обратной системы абелевых групп ( A _i , f _ij ) стационарны , то есть для каждого k существует j ≥ k такое, что для всех i ≥ j  : говорят, что система удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера . ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$

Название «Миттаг-Леффлер» для этого условия было дано Бурбаки в их главе о равномерных структурах для аналогичного результата об обратных пределах полных хаусдорфовых равномерных пространств. Миттаг-Леффлер использовал аналогичный аргумент в доказательстве теоремы Миттаг-Леффлера .

Следующие ситуации являются примерами, когда выполняется условие Миттаг-Леффлера:

• система, в которой морфизмы f _ij сюръективны
• система конечномерных векторных пространств или конечных абелевых групп или модулей конечной длины или артиновых модулей.

Пример, где не равно нулю, получается, если взять I как неотрицательные целые числа , положив A _i = p ⁱ Z , B _i = Z и C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Z . Тогда ${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

где Z _p обозначает p-адические целые числа .

Дальнейшие результаты

В более общем случае, если C — произвольная абелева категория, имеющая достаточно инъективных элементов , то и C ^I тоже , и правые производные функторы обратного предельного функтора могут быть определены таким образом. n- й правый производный функтор обозначается

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

В случае, когда C удовлетворяет аксиоме Гротендика ( AB4*) , Ян-Эрик Роос обобщил функтор lim ¹ на Ab ^I до ряда функторов lim ⁿ таких, что

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

Почти 40 лет считалось, что Роос доказал (в Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. ), что lim ¹ A _i = 0 для ( A _i , f _ij ) обратной системы с сюръективными морфизмами перехода и I множества неотрицательных целых чисел (такие обратные системы часто называют « последовательностями Миттаг-Леффлера »). Однако в 2002 году Амнон Ниман и Пьер Делинь построили пример такой системы в категории, удовлетворяющей (AB4) (в дополнение к (AB4*)) с lim ¹ A _i ≠ 0. С тех пор Роос показал (в «Derived functors of inverse limits revisited»), что его результат верен, если C имеет набор генераторов (в дополнение к удовлетворению (AB3) и (AB4*)).

Барри Митчелл показал (в работе «Когомологическая размерность направленного множества»), что если I имеет мощность ( d- й бесконечный кардинал ), то R ⁿ lim равен нулю для всех n ≥ d + 2. Это применимо к диаграммам с индексом I в категории R -модулей, где R — коммутативное кольцо; это не обязательно верно в произвольной абелевой категории (см. статью Рооса «Пересмотр производных функторов обратных пределов» для примеров абелевых категорий, в которых lim ⁿ на диаграммах, индексированных счетным множеством, не равен нулю для  n  > 1). ${\displaystyle \aleph _{d}}$

Связанные концепции и обобщения

Категориальный дуал обратного предела — прямой предел (или индуктивный предел). Более общие понятия — пределы и копределы теории категорий. Терминология несколько запутанна: обратные пределы — это класс пределов, а прямые пределы — это класс копределов.

Примечания

1. Джон Родс и Бенджамин Стейнберг. Q-теория конечных полугрупп. стр. 133. ISBN  978-0-387-09780-0 .

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), Алгебра I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC  40551484
• Бурбаки, Николя (1989), Общая топология: Главы 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC  40551485
• Mac Lane, Saunders (сентябрь 1998 г.), Категории для работающих математиков (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Митчелл, Барри (1972), «Кольца с несколькими объектами», Advances in Mathematics , 8 : 1–161, doi : 10.1016/0001-8708(72)90002-3 , MR  0294454
• Ниман, Амнон (2002), «Контрпример к «теореме» 1961 года в гомологической алгебре (с приложением Пьера Делиня)», Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397–420, doi : 10.1007/s002220100197, MR  1906154
• Роос, Ян-Эрик (1961), «Sur les fonteurs dérivés de lim. Applications», CR Acad. наук. Париж , 252 : 3702–3704, MR  0132091.
• Роос, Ян-Эрик (2006), «Повторный взгляд на производные функторы обратных пределов», J. London Math. Soc. , Серия 2, 73 (1): 65–83, doi :10.1112/S0024610705022416, MR  2197371
• Раздел 3.5 Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.