В функциональном анализе , разделе математики , операторная алгебра — это алгебра непрерывных линейных операторов в топологическом векторном пространстве , в которой умножение задается композицией отображений .
Результаты, полученные при изучении операторных алгебр, часто формулируются в алгебраических терминах, в то время как используемые методы часто являются высокоаналитическими . [ 1] Хотя изучение операторных алгебр обычно классифицируется как раздел функционального анализа, оно имеет прямые приложения к теории представлений , дифференциальной геометрии , квантовой статистической механике , квантовой информации и квантовой теории поля .
Операторные алгебры могут быть использованы для изучения произвольных наборов операторов с небольшим алгебраическим отношением одновременно . С этой точки зрения операторные алгебры можно рассматривать как обобщение спектральной теории одного оператора. В общем случае операторные алгебры являются некоммутативными кольцами .
Обычно требуется, чтобы операторная алгебра была замкнута в указанной операторной топологии внутри всей алгебры непрерывных линейных операторов. В частности, это набор операторов, обладающих как алгебраическими, так и топологическими свойствами замкнутости. В некоторых дисциплинах такие свойства аксиоматизируются , и алгебры с определенной топологической структурой становятся предметом исследования.
Хотя алгебры операторов изучаются в различных контекстах (например, алгебры псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах распределений ), термин операторная алгебра обычно используется по отношению к алгебрам ограниченных операторов в банаховом пространстве или, еще более конкретно, по отношению к алгебрам операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , наделенном топологией операторной нормы .
В случае операторов в гильбертовом пространстве эрмитово сопряженное отображение на операторах дает естественную инволюцию , которая обеспечивает дополнительную алгебраическую структуру, которая может быть наложена на алгебру. В этом контексте наиболее изученными примерами являются самосопряженные операторные алгебры, что означает, что они замкнуты относительно взятия сопряженных. К ним относятся C*-алгебры , алгебры фон Неймана и AW*-алгебры . C*-алгебры можно легко охарактеризовать абстрактно с помощью условия, связывающего норму, инволюцию и умножение. Такие абстрактно определенные C*-алгебры можно отождествить с некоторой замкнутой подалгеброй алгебры непрерывных линейных операторов в подходящем гильбертовом пространстве. Аналогичный результат справедлив для алгебр фон Неймана.
Коммутативные самосопряженные операторные алгебры можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций на локально компактном пространстве или как алгебру измеримых функций на стандартном измеримом пространстве . Таким образом, общие операторные алгебры часто рассматриваются как некоммутативные обобщения этих алгебр или как структура базового пространства , на котором определены функции. Эта точка зрения разрабатывается как философия некоммутативной геометрии , которая пытается изучать различные неклассические и/или патологические объекты с помощью некоммутативных операторных алгебр.
Примеры операторных алгебр, которые не являются самосопряженными, включают: