Представление оси-угла

Параметризация вращения на единичный вектор и угол

Угол θ и единичный вектор оси e определяют вращение, кратко представленное вектором вращения θ e .

В математике представление оси -угла параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве двумя величинами: единичным вектором e , указывающим направление (геометрию) оси вращения , и углом поворота θ , описывающим величину и смысл ( например, по часовой стрелке ) вращения вокруг оси . Для определения направления единичного вектора e , имеющего начало координат, необходимы только два числа, а не три, поскольку величина e ограничена. Например, углов возвышения и азимута e достаточно, чтобы найти его в любой конкретной декартовой системе координат.

По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правилом правой руки .

Ось вращения иногда называют осью Эйлера . Представление оси-угла основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.

Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях .

Вектор вращения

Представление оси-угла эквивалентно более краткому вектору вращения , также называемому вектором Эйлера . В этом случае и ось вращения, и угол представляются вектором, сонаправленным оси вращения, длина которого равна углу поворота θ ,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

экспоненциальныхлогарифмических

Многие векторы вращения соответствуют одному и тому же вращению. В частности, вектор вращения длиной θ + 2 πM для любого целого числа M кодирует точно такое же вращение, что и вектор вращения длины θ . Таким образом, любому повороту соответствует по крайней мере счетная бесконечность векторов вращения. Более того, все повороты на 2 πM — это то же самое, что отсутствие вращения вообще, поэтому для данного целого числа M все векторы вращения длиной 2 πM во всех направлениях составляют двухпараметрическую несчетную бесконечность векторов вращения, кодирующих одно и то же вращение. как нулевой вектор. Эти факты необходимо учитывать при обращении экспоненциального отображения, то есть при нахождении вектора вращения, соответствующего заданной матрице вращения. Экспоненциальное отображение соответствует , но не является взаимно однозначным .

Пример

Предположим, вы стоите на земле и выбираете направление силы тяжести как отрицательное направление z . Затем, если вы повернетесь налево, вы повернетесь-π/2радианы (или -90° ) относительно оси -z . Если рассматривать представление оси-угла как упорядоченную пару , это будет

$${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

Приведенный выше пример можно представить как вектор вращения с величинойπ/2указывая в направлении z ,

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Использование

Представление «ось-угол» удобно при работе с динамикой твердого тела . Это полезно как для характеристики вращения , так и для преобразования между различными представлениями движения твердого тела , такими как однородные преобразования ^{[ необходимы пояснения ]} и повороты.

Когда твердое тело вращается вокруг фиксированной оси , данные его оси и угла представляют собой постоянную ось вращения, а угол поворота постоянно зависит от времени .

Подстановка трех собственных значений 1 и e ^{± iθ} и связанных с ними трех ортогональных осей в декартовом представлении в теорему Мерсера является удобной конструкцией декартова представления матрицы вращения в трех измерениях.

Вращение вектора

Формула вращения Родригеса , названная в честь Олинде Родригеса , представляет собой эффективный алгоритм вращения евклидова вектора с учетом оси вращения и угла поворота. Другими словами, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциального отображения SO (3) без вычисления полной матричной экспоненты. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Если v — вектор в R ^{3 ,} а e — единичный вектор с корнем в начале координат, описывающий ось вращения, вокруг которой v поворачивается на угол θ , формула вращения Родригеса для получения повернутого вектора имеет вид

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.}$$

Для вращения одного вектора это может быть более эффективно, чем преобразование e и θ в матрицу вращения для вращения вектора.

Отношения с другими представлениями

Существует несколько способов представления вращения. Полезно понимать, как различные представления связаны друг с другом и как выполнять преобразования между ними. Здесь единичный вектор обозначается ω вместо e .

Экспоненциальное отображение от 𝔰𝔬(3) до SO(3)

Экспоненциальная карта осуществляет преобразование представления вращения по оси и углу в матрицы вращения .

$${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

По сути, используя разложение Тейлора, можно получить связь в замкнутой форме между этими двумя представлениями. Учитывая единичный вектор , представляющий единичную ось вращения, и угол θ ∈ R , эквивалентная матрица вращения R задается следующим образом, где K — матрица векторного произведения ω , то есть Kv = ω × v для всех векторов v € р ³ , ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Поскольку K кососимметричен, а сумма квадратов его вышедиагональных элементов равна 1, характеристический многочлен P ( t ) для K равен P ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + т ) . Поскольку по теореме Кэли – Гамильтона P ( K ) = 0, отсюда следует, что

$${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

К ⁴ = – К ²К ⁵ = КК ⁶ = К ²К ⁷ = – К

Этот циклический паттерн продолжается бесконечно, и поэтому все высшие степени K могут быть выражены через K и K ² . Таким образом, из приведенного выше уравнения следует, что

$${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

$${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

по формуле ряда Тейлора для тригонометрических функций .

Это лиевско-алгебраический вывод, в отличие от геометрического в статье Формула вращения Родригеса . ^[1]

Из-за существования вышеупомянутого экспоненциального отображения единичный вектор ω , представляющий ось вращения, и угол θ иногда называют экспоненциальными координатами матрицы вращения R .

Карта журналов от SO(3) до 𝔰𝔬(3)

Пусть K продолжит обозначать матрицу 3 × 3, которая влияет на векторное произведение с осью вращения ω : K ( v ) = ω × v для всех векторов v в дальнейшем.

Чтобы получить представление оси-угла матрицы вращения , вычислите угол вращения по следу матрицы вращения :

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

где – компонент матрицы вращения , в -ой строке и -м столбце. ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Представление оси-угла не является уникальным, поскольку вращение примерно такое же, как и вращение примерно . ${\displaystyle -\theta }$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Приведенный выше расчет осевого вектора не работает , если R симметричен. В общем случае их можно найти, используя нулевое пространство RI , см. матрицу вращения#Определение оси . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Матричный логарифм матрицы вращения R равен

$${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

Исключение возникает, когда R имеет собственные значения , равные −1 . В этом случае журнал не уникален. Однако даже в случае θ = π норма Фробениуса журнала равна

$${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$

AB

$${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

Для небольших вращений приведенное выше вычисление θ может быть неточным численно, поскольку производная arccos стремится к бесконечности при θ → 0 . В этом случае внеосевые члены фактически дадут лучшую информацию о θ , поскольку для малых углов R ≈ I + θ K. (Это потому, что это первые два члена ряда Тейлора для exp( θ K ) .)

Эта формулировка также имеет численные проблемы при θ = π , где внеосевые члены не дают информации об оси вращения (которая все еще определена с точностью до неоднозначности знака). В этом случае мы должны пересмотреть приведенную выше формулу.

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$

θ = π

$${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$

$${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

BωB

Единичные кватернионы

следующее выражение преобразует координаты ось-угол в версоры (единичные кватернионы ):

$${\displaystyle Q=\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

Учитывая версор q = s + x , представленный скаляром s и вектором x , координаты ось-угол можно извлечь, используя следующее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos s\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {x} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Более численно стабильное выражение угла поворота использует функцию atan2 :

$${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {x} |,s)\,,}$$

| х |евклидова нормаx

Смотрите также

• Однородные координаты
• Псевдовектор
• Ротации без матрицы
• Теория винтов , представление движений и скоростей твердого тела с использованием концепций скручиваний, винтов и гаечных ключей.

Рекомендации

1. Это справедливо для триплетного представления группы вращения, т. е. спина 1. О представлениях/спинах более высоких размерностей см. Curtright, TL ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». СИГМА . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C. дои : 10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.