Противоречие

Логическая несовместимость между двумя или более предложениями

На этой диаграмме показаны противоречивые отношения между категорическими суждениями в квадрате оппозиции аристотелевской логики .

В традиционной логике противоречие возникает, когда предложение противоречит либо самому себе, либо установленному факту . Его часто используют как инструмент для обнаружения неискренних убеждений и предвзятости . Иллюстрируя общую тенденцию в прикладной логике, закон непротиворечия Аристотеля гласит: «Невозможно, чтобы одна и та же вещь могла одновременно принадлежать и не принадлежать одному и тому же объекту и в одном и том же отношении». ^[1]

В современной формальной логике и теории типов этот термин в основном используется вместо этого для одного предложения, часто обозначаемого символом falsum ; предложение является противоречием, если из него можно вывести ложное , используя правила логики. Это предложение, которое безусловно ложно (т. е. противоречивое предложение). ^{[2] [3]} Это можно обобщить до набора предложений, о котором тогда говорят, что оно «содержит» противоречие. ${\displaystyle \bot }$

История

Создавая парадокс , диалог Платона « Евтидем» демонстрирует необходимость понятия противоречия . В последующем диалоге Дионисодор отрицает существование «противоречия», в то время как Сократ ему противоречит:

... Я в изумлении сказал: Что ты имеешь в виду, Дионисодор? Я часто слышал и был поражен, услышав этот твой тезис, который поддерживался и использовался учениками Протагора и другими до них, и который мне кажется совершенно замечательным, и самоубийственным, и разрушительным, и я думаю, что я, скорее всего, услышу правду об этом от тебя. Изречение заключается в том, что нет такой вещи, как ложь; человек должен либо говорить то, что истинно, либо ничего не говорить. Разве это не твоя позиция?

Действительно, Дионисодор соглашается, что «нет такой вещи, как ложное мнение... нет такой вещи, как невежество», и требует от Сократа «Опровергни меня». Сократ отвечает: «Но как я могу опровергнуть тебя, если, как ты говоришь, сказать неправду невозможно?». ^[4]

В формальной логике

В классической логике, особенно в пропозициональной и логике первого порядка , предложение является противоречием тогда и только тогда, когда . Поскольку для противоречивого верно, что для всех (потому что ), можно доказать любое предложение из набора аксиом, содержащего противоречия. Это называется « принципом взрыва », или «ex falso quodlibet» («из ложности следует что угодно»). ^[5] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \vdash \bot }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \vdash \varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \bot \vdash \psi }$

В полной логике формула противоречива тогда и только тогда, когда она невыполнима .

Доказательство от противного

Для набора последовательных посылок и предложения в классической логике верно , что (т. е. доказывает ) тогда и только тогда, когда (т. е. и приводит к противоречию). Следовательно, доказательство , которое также доказывает, что верно при посылках . Использование этого факта составляет основу метода доказательства , называемого доказательством от противного , который математики широко используют для установления действительности широкого спектра теорем. Это применимо только в логике, где закон исключенного третьего принимается как аксиома. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle A\vee \neg A}$

Используя минимальную логику , логику с аксиомами, похожими на аксиомы классической логики, но без ex falso quodlibet и доказательства от противного, мы можем исследовать аксиоматическую силу и свойства различных правил, которые обрабатывают противоречия, рассматривая теоремы классической логики, которые не являются теоремами минимальной логики. ^[6] Каждое из этих расширений приводит к промежуточной логике :

1. Устранение двойного отрицания (DNE) — самый сильный принцип, аксиоматизированный , и при добавлении к минимальной логике он дает классическую логику. ${\displaystyle \neg \neg A\implies A}$
2. Ex falso quodlibet (EFQ), аксиоматизированный , лицензирует множество следствий отрицаний, но обычно не помогает выводить предложения, которые не содержат абсурд, из последовательных предложений, которые содержат абсурд. При добавлении к минимальной логике EFQ дает интуиционистскую логику . EFQ эквивалентно ex contrast quodlibet , аксиоматизированному , над минимальной логикой. ${\displaystyle \bot \implies A}$ ${\displaystyle A\land \neg A\implies B}$
3. Правило Пирса (PR) — это аксиома , которая охватывает доказательство от противного без явного указания на абсурдность. Минимальная логика + PR + EFQ дает классическую логику. ${\displaystyle ((A\implies B)\implies A)\implies A}$
4. Аксиома Гёделя-Даммета (GD) , наиболее простое прочтение которой заключается в том, что существует линейный порядок истинностных значений. Минимальная логика + GD дает логику Гёделя-Даммета . Правило Пирса подразумевает, но не выводится из GD по минимальной логике. ${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$
5. Закон исключенного третьего (LEM), аксиоматизированный , является наиболее часто цитируемой формулировкой принципа двузначности , но при отсутствии EFQ он не дает полной классической логики. Минимальная логика + LEM + EFQ дает классическую логику. PR влечет, но не выводится из LEM в минимальной логике. Если формула B в правиле Пирса ограничена абсурдом, давая схему аксиом , схема эквивалентна LEM над минимальной логикой. ${\displaystyle A\vee \neg A}$ ${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$
6. Слабый закон исключенного третьего (WLEM) аксиоматизирован и дает систему, в которой дизъюнкция ведет себя скорее как в классической логике, чем как в интуиционистской, т. е. свойства дизъюнкции и существования не выполняются, но где использование неинтуиционистских рассуждений отмечено вхождениями двойного отрицания в заключение. LEM влечет, но не выводится WLEM в минимальной логике. WLEM эквивалентен случаю закона Де Моргана , который распределяет отрицание по конъюнкции: . ${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$ ${\displaystyle \neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)}$

Символическое представление

В математике символ, используемый для представления противоречия в доказательстве, может быть разным. ^[7] Некоторые символы, которые могут использоваться для представления противоречия, включают ↯, Opq, , ⊥, / и ※; в любой символике противоречие может быть заменено на значение истины « ложь », что обозначается, например, «0» (как это принято в булевой алгебре ). Нередко можно увидеть QED или некоторые его варианты сразу после символа противоречия. Фактически, это часто происходит в доказательстве от противного, чтобы указать, что исходное предположение было доказано ложным, и, следовательно, что его отрицание должно быть истинным. ${\displaystyle \Rightarrow \Leftarrow }$ ${\displaystyle \leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!}$

Понятие противоречия в аксиоматической системе и доказательство ее непротиворечивости

В общем случае для доказательства непротиворечивости требуются следующие две вещи:

1. Аксиоматическая система
2. Демонстрация того, что в системе не могут быть выведены ни формула p , ни ее отрицание ~p .

Но каким бы методом мы ни пользовались, все доказательства непротиворечивости, по-видимому, требуют примитивного понятия противоречия. Более того, кажется , что это понятие одновременно должно быть «вне» формальной системы в определении тавтологии.

Когда Эмиль Пост в своей работе 1921 года «Введение в общую теорию элементарных предложений» расширил свое доказательство непротиворечивости исчисления высказываний (т. е. логики) за пределы Principia Mathematica (PM), он заметил, что в отношении обобщенного набора постулатов (т. е. аксиом) он больше не сможет автоматически ссылаться на понятие «противоречие» — такое понятие может не содержаться в постулатах:

Главное требование к набору постулатов — чтобы он был последовательным. Поскольку обычное понятие последовательности подразумевает противоречие, которое снова подразумевает отрицание, и поскольку эта функция не появляется в общем как примитив в [ обобщенном наборе постулатов], должно быть дано новое определение. ^[8]

Решение проблемы Поста описано в демонстрации "Пример успешного абсолютного доказательства непротиворечивости", предложенной Эрнестом Нагелем и Джеймсом Р. Ньюманом в их "Доказательстве Гёделя " 1958 года . Они также наблюдали проблему в отношении понятия "противоречие" с его обычными "истинными значениями" "истины" и "ложности". Они наблюдали, что:

Свойство быть тавтологией было определено в понятиях истинности и ложности. Однако эти понятия, очевидно, подразумевают ссылку на что-то за пределами исчисления формул. Поэтому процедура, упомянутая в тексте, по сути, предлагает интерпретацию исчисления, предоставляя модель для системы. Таким образом, авторы не сделали того, что обещали, а именно, « определили свойство формул в терминах чисто структурных особенностей самих формул ». [Действительно] ... доказательства согласованности, которые основаны на моделях и которые доказывают от истинности аксиом к их согласованности, просто смещают проблему. ^[9]

Учитывая некоторые «примитивные формулы», такие как примитивы PM S ₁ VS ₂ [включающее ИЛИ] и ~S (отрицание), мы вынуждены определять аксиомы в терминах этих примитивных понятий. Пост в подробностях демонстрирует в PM и определяет (как это делают Нагель и Ньюман, см. ниже), что свойство тавтологизма — пока еще не определенное — «унаследовано»: если начать с набора тавтологичных аксиом (постулатов) и системы вывода , содержащей подстановку и modus ponens , то непротиворечивая система даст только тавтологичные формулы.

В отношении определения тавтологичных Нагель и Ньюман создают два взаимоисключающих и исчерпывающих класса K ₁ и K ₂ , в которые попадают (результаты) аксиомы, когда их переменные (например, S ₁ и S ₂ назначаются из этих классов). Это также относится к примитивным формулам. Например: «Формула, имеющая вид S ₁ VS _2, помещается в класс K ₂ , если и S ₁ и S ₂ находятся в K ₂ ; в противном случае она помещается в K ₁ » и «Формула, имеющая вид ~S, помещается в K ₂ , если S находится в K ₁ ; в противном случае она помещается в K ₁ » ^{[10] .}

Следовательно, Нагель и Ньюман теперь могут определить понятие тавтологичности : «формула является тавтологией тогда и только тогда, когда она попадает в класс K ₁ , независимо от того, в какой из двух классов помещены ее элементы». ^[11] Таким образом, свойство «быть тавтологичным» описывается — без ссылки на модель или интерпретацию.

Например, если задана формула ~S ₁ VS ₂ и присвоено K ₁ S ₁ и K ₂ S _2, можно оценить формулу и поместить ее результат в один или другой класс. Присвоение K ₁ S ₁ помещает ~S ₁ в K ₂ , и теперь мы можем видеть, что наше присвоение приводит к тому, что формула попадает в класс K ₂ . Таким образом, по определению наша формула не является тавтологией.

Пост заметил, что если бы система была непоследовательной, вывод в ней (то есть последняя формула в последовательности формул, выведенных из тавтологий) мог бы в конечном итоге дать само S. Поскольку присвоение переменной S может исходить как из класса K _{1 ,} так и из K ₂ , вывод нарушает свойство наследования тавтологии (то есть вывод должен давать оценку формулы, которая попадет в класс K ₁ ). Из этого Пост смог вывести следующее определение непоследовательности — без использования понятия противоречия :

Определение. Система будет считаться противоречивой, если она приводит к утверждению о немодифицированной переменной p [S в примерах Ньюмена и Нагеля].

Другими словами, понятие «противоречие» может быть исключено при построении доказательства согласованности; то, что заменяет его, — это понятие «взаимно исключающих и исчерпывающих» классов. Аксиоматическая система не обязательно должна включать понятие «противоречие». ^{[12] : 177}

Философия

Приверженцы эпистемологической теории когерентизма обычно утверждают, что в качестве необходимого условия обоснования убеждения , это убеждение должно составлять часть логически непротиворечивой системы убеждений. Некоторые диалетеисты , включая Грэма Приста , утверждали, что когерентность может не требовать последовательности. ^[13]

Прагматические противоречия

Прагматическое противоречие возникает, когда само утверждение аргумента противоречит утверждениям, которые оно подразумевает. Несоответствие возникает в этом случае, потому что акт высказывания, а не содержание сказанного, подрывает его заключение. ^[14]

Диалектический материализм

В диалектическом материализме : Противоречие — как выведенное из гегельянства — обычно относится к оппозиции, изначально существующей в пределах одной сферы, одной единой силы или объекта. Это противоречие, в отличие от метафизического мышления, не является объективно невозможной вещью, потому что эти противоречащие силы существуют в объективной реальности, не отменяя друг друга, а фактически определяя существование друг друга. Согласно марксистской теории , такое противоречие можно найти, например, в том факте, что:

• (а) огромное богатство и производительные силы сосуществуют рядом:
• (б) крайняя нищета и страдания;
• (c) существование (a) противоречит существованию (b).

Гегелевские и марксистские теории предполагают, что диалектическая природа истории приведет к снятию или синтезу ее противоречий. Поэтому Маркс постулировал, что история логически заставит капитализм эволюционировать в социалистическое общество, где средства производства будут в равной степени служить рабочему и производящему классу общества, тем самым разрешая предшествующее противоречие между (a) и (b). ^[15]

Вне формальной логики

В разговорной речи действия или утверждения могут обозначаться как противоречащие друг другу, если они вызваны (или воспринимаются как вызванные) предпосылками, которые являются противоречивыми в логическом смысле.

Доказательство от противного используется в математике для построения доказательств .

Научный метод использует противоречие для фальсификации плохой теории.

Смотрите также

• «Клиника аргументов»  — скетч Монти Пайтона, в котором один из двух спорящих неоднократно использует в своих аргументах только противоречия.
• Автоантоним  – слово, имеющее два противоположных значения.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Противоположность (логика)  – Тип логической схемыСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Диалетеизм  – точка зрения, согласно которой существуют утверждения, которые одновременно являются и истинными, и ложными.
• Двойные стандарты  – непоследовательное применение принципов
• Двоемыслие  – одновременное принятие двух взаимно противоречащих друг другу убеждений как правильных.
• Иерархия разногласий Грэма
• Ирония  – риторический прием и литературный прием
• Закон непротиворечия
• О противоречии  – эссе Мао Цзэдуна 1937 года
• Оксюморон  – Фигура речи
• Паранепротиворечивая логика  – тип формальной логики без принципа взрыва
• Парадокс  – утверждение, которое, по-видимому, противоречит само себе.
• Тавтология  — в логике утверждение, которое всегда истинно.
• ТРИЗ  – Инструменты решения проблем

Примечания и ссылки

1. Хорн, Лоуренс Р. (2018), «Противоречие», в Zalta, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (зима 2018 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 10 декабря 2019 г.
2. "Противоречие (логика)". TheFreeDictionary.com . Получено 2020-08-14 .
3. «Тавтологии, противоречия и непредвиденные обстоятельства». www.skillfulreasoning.com . Получено 14 августа 2020 г.
4. Диалог «Эвтидем» из «Диалогов Платона», переведенный Бенджамином Джоветтом, опубликован в: BK 7 Plato : Роберт Мейнард Хатчинс , главный редактор, 1952, Great Books of the Western World , Encyclopaedia Britannica , Inc., Чикаго .
5. "Ex falso quodlibet - Oxford Reference". www.oxfordreference.com . Получено 10.12.2019 .
6. Динер и Маартен МакКубре-Йорденс, 2020. Классификация материальных импликаций в минимальной логике. Архив для математической логики 59 (7-8):905-924.
7. Pakin, Scott (19 января 2017 г.). «Полный список символов LATEX» (PDF) . ctan.mirror.rafal.ca . Получено 10.12.2019 .
8. Пост 1921 года «Введение в общую теорию элементарных предложений» в van Heijenoort 1967:272.
9. жирный курсив добавлен, Нагель и Ньюман:109-110.
10. Нагель и Ньюман:110-111
11. Нагель и Ньюман:111
12. Эмиль Л. Пост (1921) Введение в общую теорию элементарных предложений Американский журнал математики 43 (3):163—185 (1921) Издательство Университета Джонса Хопкинса
13. Противоречие: исследование трансконсистентного Грэма Приста
14. Столяр, Дэниел (2006). Невежество и воображение . Oxford University Press - США стр. 87. ISBN 0-19-530658-9.
15. Сёренсен, Михаэль Куур (2006). «Капитал и труд: можно ли разрешить конфликт?». Междисциплинарный журнал международных исследований . 4 (1): 29–48 . Получено 28 мая 2017 г.

Библиография

• Юзеф Мария Бохеньский 1960 Précis of Mathematical Logic , перевод с французского и немецкого изданий Отто Берда, Д. Рейдель, Дордрехт, Южная Голландия.
• Жан ван Хейеноорт 1967 От Фреге к Гёделю: первоисточник по математической логике 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-32449-8 (печатная версия) 
• Эрнест Нагель и Джеймс Р. Ньюман. Доказательство Гёделя , 1958 г. , Издательство Нью-Йоркского университета, Номер по каталогу: 58-5610.

Внешние ссылки

• «Противоречие (непоследовательность)», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Противоречие, закон», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хорн, Лоуренс Р. «Противоречие». В Залта, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .