В математике рациональная функция — это любая функция , которая может быть определена рациональной дробью , которая представляет собой алгебраическую дробь , у которой и числитель , и знаменатель являются полиномами . Коэффициенты многочленов не обязательно должны быть рациональными числами ; их можно взять в любом поле K. В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над K. Значения переменных могут быть взяты из любого поля L , содержащего K. Тогда областью определения функции является множество значений переменных, у которых знаменатель не равен нулю, а кодоменом является L .
Множество рациональных функций над полем К — это поле, поле частных кольца полиномиальных функций над К.
Функция называется рациональной, если ее можно записать в виде
где и являются полиномиальными функциями и не является нулевой функцией . Область определения — это совокупность всех значений, у которых знаменатель не равен нулю.
Однако если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то установка и дает рациональную функцию
который может иметь большую область, чем , и равен в области Это обычное использование для идентификации и , то есть для расширения «по непрерывности» области до области Действительно, можно определить рациональную дробь как эквивалентность класс дробей многочленов, где две дроби и считаются эквивалентными, если . В этом случае эквивалентно
Правильная рациональная функция — это рациональная функция, у которой степень меньше степени и оба являются действительными многочленами , названными по аналогии с правильной дробью в [1]
Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.
Чаще всего степень рациональной функции является максимальной из степеней составляющих ее многочленов P и Q , когда дробь сводится к наименьшим членам . Если степень f равна d , то уравнение
имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , когда два или более решений совпадают или где какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).
В случае комплексных коэффициентов рациональная функция первой степени является преобразованием Мёбиуса .
Степень графика рациональной функции не является степенью, определенной выше: это максимум степени числителя и единицы плюс степень знаменателя.
В некоторых контекстах, например, в асимптотическом анализе , степень рациональной функции представляет собой разницу между степенями числителя и знаменателя. [2] : §13.6.1 [3] : Глава IV
В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называютбиквадратичная функция .[4]
Рациональная функция
не определяется в
Это асимптотично как
Рациональная функция
определяется для всех действительных чисел , но не для всех комплексных чисел , поскольку если бы x было квадратным корнем (т.е. мнимой единицей или ее отрицательным числом), то формальная оценка привела бы к делению на ноль:
который не определен.
Постоянная функция, такая как f ( x ) = π, является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Сама функция рациональна, хотя значение f ( x ) иррационально для всех x .
Каждая полиномиальная функция является рациональной функцией, причем функция, которую нельзя записать в этой форме, например, не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональный» обычно не используется для обозначения функций.
Рациональная функция равна 1 для всех x , кроме 0, где имеется устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой полином) двух рациональных функций само по себе является рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не принять меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти эту проблему, поскольку x / x эквивалентно 1/1.
Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению , которое можно найти, приравнивая рациональную функцию к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и собирая подобные члены после очистки знаменателя.
Например,
Умножив на знаменатель и распределив,
После корректировки индексов сумм, чтобы получить одинаковые степени x , мы получаем
Объединение подобных членов дает
Поскольку это справедливо для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем выполнить вычисления следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен равняться постоянному члену справа, отсюда следует, что
Тогда, поскольку слева нет степеней x , все коэффициенты справа должны быть равны нулю, откуда следует, что
И наоборот, любая последовательность, удовлетворяющая линейной рекуррентности, определяет рациональную функцию, когда она используется в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких повторений, поскольку с помощью разложения частичных дробей мы можем записать любую правильную рациональную функцию как сумму факторов вида 1 / ( ax + b ) и разложить их как геометрические ряды , давая явную формулу для Тейлора коэффициенты; это метод генерации функций .
В абстрактной алгебре понятие многочлена расширяется и включает формальные выражения, в которых коэффициенты многочлена могут быть взяты из любого поля . В этой ситуации, учитывая поле F и некоторое неопределенное X , рациональное выражение (также известное как рациональная дробь или, в алгебраической геометрии , рациональная функция ) является любым элементом поля частных кольца полиномов F [ X ]. Любое рациональное выражение можно записать как частное двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не уникально. P / Q эквивалентно R / S для полиномов P , Q , R и S , когда PS = QR . Однако, поскольку F [ X ] является уникальной областью факторизации , существует уникальное представление для любого рационального выражения P / Q с полиномами P и Q самой низкой степени и Q , выбранным как монический . Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда можно записать однозначно, в самых простых терминах, путем исключения общих множителей.
Поле рациональных выражений обозначается F ( X ). Говорят, что это поле порождено (как поле) над F ( трансцендентным элементом ) X , поскольку F ( X ) не содержит какого-либо собственного подполя, содержащего как F , так и элемент X.
В комплексном анализе рациональная функция
- это отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать принятия f неопределенного значения 0/0).
Область определения f представляет собой набор комплексных чисел таких, что . Любую рациональную функцию можно естественным образом расширить до функции, областью определения и областью применения которой является вся сфера Римана ( комплексная проективная линия ).
Рациональные функции являются характерными примерами мероморфных функций .
Итерация рациональных функций (отображений) [5] на сфере Римана создает дискретные динамические системы .
Как и многочлены , рациональные выражения также можно обобщить на n неопределенных чисел X 1 ,..., X n , взяв поле частных F [ X 1 ,..., X n ], которое обозначается F ( X 1 ,..., X n ).
Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там поле функций алгебраического многообразия V формируется как поле частных координатного кольца V (точнее, плотного по Зарискому аффинного открытого множества в V ). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U , а также могут рассматриваться как морфизмы проективной прямой .
Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и аппроксимации функций, например аппроксимации Паде, введенные Анри Паде . Аппроксимации с помощью рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения . Как и полиномы, их можно оценивать напрямую, и в то же время они демонстрируют более разнообразное поведение, чем полиномы.
Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрации лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптику. и фотография для улучшения разрешения изображения, а также акустики и звука. [ нужна цитата ]
В обработке сигналов преобразование Лапласа ( для непрерывных систем) или z-преобразование (для систем с дискретным временем) импульсной характеристики широко используемых линейных нестационарных систем (фильтров) с бесконечной импульсной характеристикой являются рациональными функциями над комплексными числами. .