Семиугольник

Форма с семью сторонами

В геометрии семиугольник или семиугольник — это семиугольник или 7- угольник .

Семиугольник иногда называют септагоном , используя «септ-» ( исключение септуа- , числового префикса латинского происхождения , а не гепта- , числового префикса греческого происхождения; оба являются родственными) вместе с греческим суффиксом . «-agon» означает угол.

Правильный семиугольник

Правильный семиугольник , у которого все стороны и все углы равны, имеет внутренние углы 5π/7 радиан ( 128 4/7 градусов ). Его символ Шлефли — {7}.

Область

Площадь ( A ) правильного семиугольника со стороной a определяется выражением:

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.}$

В этом можно убедиться, разделив семиугольник с единичной стороной на семь треугольных «кусков пирога» с вершинами в центре и вершинах семиугольника, а затем разделив каждый треугольник пополам, используя апофему в качестве общей стороны. Апофема равна половине котангенса , а площадь каждого из 14 маленьких треугольников равна одной четвертой апофемы. ${\displaystyle \pi /7,}$

Площадь правильного семиугольника , вписанного в круг радиуса R , равна площади самого круга, таким образом, правильный семиугольник заполняет примерно 0,8710 описанной окружности. ${\displaystyle {\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},}$ ${\displaystyle \pi R^{2};}$

Строительство

Поскольку 7 — простое число Пьерпона , но не простое число Ферма , правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки , но можно построить с помощью помеченной линейки и циркуля. Это наименьший правильный многоугольник с таким свойством. Такая конструкция называется неусисной конструкцией . Его также можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла. Невозможность построения линейки и циркуля следует из наблюдения, что является нулем неприводимой кубики x ³ + x ² - 2 x - 1 . Следовательно, этот многочлен является минимальным многочленом 2cos ( 2π ⁄ 7 ), тогда как степень минимального многочлена для конструктивного числа должна быть степенью 2. ${\displaystyle \scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}}$

Семиугольник с заданной длиной стороны :
анимация конструкции neusis с отмеченной линейкой, согласно Дэвиду Джонсону Лейску ( Крокетт Джонсон ).

Приближение

Приближением для практического использования с погрешностью около 0,2% является использование половины стороны равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность, что и длина стороны правильного семиугольника. Неизвестно, кто первым нашел это приближение, но оно было упомянуто Героном Александрийским в « Метрике» в I веке нашей эры, было хорошо известно средневековым исламским математикам, и его можно найти в работах Альбрехта Дюрера . ^{[2] [3]} Пусть A лежит на окружности описанной окружности. Нарисуйте дугу BOC . Затем дает приближение для края семиугольника. ${\displaystyle \scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}}$

В этом приближении используется сторона семиугольника, вписанная в единичный круг, а точное значение равно . ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603}$ ${\displaystyle \scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777}$

Пример, иллюстрирующий ошибку:
При радиусе описанной окружности r = 1 м абсолютная ошибка 1-й стороны составит примерно -1,7 мм.

Другие приближения

Существуют и другие приближения семиугольника с использованием циркуля и линейки, но их рисование требует много времени. ^[4]

Симметрия

Симметрии правильного семиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и ребра. Приказы о вращении даны в центре. ^[5]

Правильный семиугольник принадлежит точечной группе D 7h ( обозначение Шенфлиса ), порядка 28. Элементами симметрии являются: ось собственного вращения 7-го порядка C ₇ , ось несобственного вращения 7-го порядка S ₇ , 7 вертикальных зеркальных плоскостей, σ _v , 7 осей 2-кратного вращения, C ₂ , в плоскости семиугольника и горизонтальной зеркальной плоскости σ _h , также в плоскости семиугольника. ^[6]

Диагонали и семиугольный треугольник

a = красная, b = синяя, c = зеленые линии

Сторона a правильного семиугольника , более короткая диагональ b и более длинная диагональ c , при a < b < c , удовлетворяют ^{[7] : Лемма 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ ( оптическое уравнение )

и поэтому

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

и ^{[7] : Коро. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

Таким образом, b / c , c / a и a / b удовлетворяют кубическому уравнению. Однако для решений этого уравнения не существует алгебраических выражений с чисто вещественными членами, поскольку это пример casus reducibilis . ${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

Приблизительные длины диагоналей в терминах стороны правильного семиугольника определяются выражением

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

У нас также есть ^[8]

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

и

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

Семиугольный треугольник имеет вершины , совпадающие с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (из произвольной начальной вершины), а также углы и . Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и двумя частными диагоналями правильного семиугольника. ^[7] ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7.}$

В многогранниках

За исключением семиугольной призмы и семиугольной антипризмы , ни один выпуклый многогранник, полностью составленный из правильных многоугольников, не содержит семиугольника в качестве грани.

Звездные семиугольники

Два типа звездных семиугольников ( гептаграмм ) могут быть построены из правильных семиугольников, обозначенных символами Шлефли {7/2} и {7/3}, причем делителем является интервал соединения.

Синие, {7/2} и зеленые {7/3} звездные семиугольники внутри красного семиугольника.

Укладка плитки и упаковка

Правильный треугольник, семиугольник и 42-угольник могут полностью заполнить вершину плоскости . Однако мозаика плоскости только этими многоугольниками невозможна, поскольку невозможно поместить один из них на третью сторону треугольника, не оставляя зазора или не создавая перекрытия. В гиперболической плоскости возможны замощения правильными семиугольниками. На евклидовой плоскости также возможны вогнутые семиугольники. ^[9]

Самая плотная двойная решетчатая упаковка евклидовой плоскости правильными семиугольниками, предположительно имеющая наименьшую максимальную плотность упаковки среди всех выпуклых множеств.

Правильный семиугольник имеет двойную решетчатую упаковку евклидовой плоскости с плотностью упаковки примерно 0,89269. Было высказано предположение, что это наименьшая возможная плотность для оптимальной плотности упаковки двойной решетки любого выпуклого множества и, в более общем плане, для оптимальной плотности упаковки любого выпуклого множества. ^[10]

Эмпирические примеры

В Соединенном Королевстве с 1982 года выпускаются две семиугольные монеты : 50 пенсов и 20 пенсов. Барбадосский доллар также имеет семиугольную форму. Строго говоря, форма монет представляет собой семиугольник Рело , криволинейный семиугольник, имеющий кривые постоянной ширины ; боковые стороны изогнуты наружу, что позволяет монетам плавно катиться, когда они вставляются в торговый автомат . Монеты Ботсваны пула номиналом 2 пулы, 1 пула, 50 фив и 5 фив также имеют форму семиугольников с равносторонней кривизной. Монеты в форме семиугольников Рело также находятся в обращении на Маврикии, ОАЭ, Танзании, Самоа, Папуа-Новой Гвинее, Сан-Томе и Принсипи, Гаити, Ямайке, Либерии, Гане, Гамбии, Иордании, Джерси, Гернси, острове Мэн, Гибралтар, Гайана, Соломоновы острова, Фолклендские острова и остров Святой Елены. Монета Замбии номиналом 1000 квач представляет собой настоящий семиугольник.

На бразильской монете номиналом 25 центов в диск вписан семиугольник. В некоторых старых вариантах герба Грузии , в том числе в советские времена , в качестве элемента использовалась гептаграмма {7/2}.

Ряд монет, в том числе монета в 20 евроцентов , имеют семиугольную симметрию в форме, называемой испанским цветком .

В архитектуре семиугольные планы этажей встречаются очень редко. Замечательным примером является Мавзолей принца Эрнста в Штадтхагене , Германия .

Многие полицейские значки в США имеют контур гептаграммы {7/2}.

Смотрите также

• Гептаграмма
• Полигон

Рекомендации

1. Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон стр. 186 (рис.1) –187» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624. JSTOR  2323624. Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2015 года.
2. Хогендейк, Ян П. (1987). «Ответ Абуль-Джуда на вопрос аль-Бируни о правильном семиугольнике» (PDF) . Анналы Нью-Йоркской академии наук . 500 (1): 175–183. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37202.x.
3. GH Хьюз, «Многоугольники Альбрехта Дюрера-1525, Правильный семиугольник», рис. 11, сторона семиугольника (7). Рис. 15, изображение с левой стороны, получено 4 декабря 2015 г.
4. Рауманнкидвай. "Семиугольник." Диаграмма. Геогебра. По состоянию на 20 января 2024 г. https://www.geogebra.org/classic/CvsudDWr.
5. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278) 
6. Солтхаус, JA; Уэр, MJ (1972). Таблицы символов групп точек и связанные с ними данные. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-08139-4.
7. Абдилкадир Алтинтас, «Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике», Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
8. Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семиугольный треугольник», Mathematics Magazine 46 (1), январь 1973 г., 7–19.
9. Sycamore916, изд. "Семиугольник." Политоп Вики. Последнее изменение: ноябрь 2023 г. По состоянию на 20 января 2024 г. https://polytope.miraheze.org/wiki/Heptagon/Heptagon.
10. Каллус, Йоав (2015). «Пессимальные формы упаковки». Геометрия и топология . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . дои : 10.2140/gt.2015.19.343. МР  3318753.

Внешние ссылки

• Определение и свойства семиугольника С интерактивной анимацией
• Семиугольник по Джонсону
• Еще один примерный метод строительства
• Многоугольники – Семиугольники
• Недавно открытое высокоточное приближение построения правильного семиугольника.
• Семиугольник, аппроксимирующая конструкция в виде анимации.
• Семиугольник с заданной стороной, аппроксимирующая конструкция в виде анимации.

Семиугольник