Тупоугольный треугольник, образованный стороной и диагоналями правильного семиугольника
Более короткие диагонали
Каждый из четырнадцати равных семиугольных треугольников имеет одну зеленую сторону, одну синюю сторону и одну красную сторону. В евклидовой геометрии семиугольный треугольник — это тупоугольный , разносторонний треугольник , вершины которого совпадают с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (от произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и смежными более короткой и более длинной диагоналями правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники подобны (имеют одинаковую форму), и поэтому они вместе известны как семиугольный треугольник. Его углы имеют меры и и это единственный треугольник с углами в отношениях 1:2:4. Семиугольный треугольник обладает различными замечательными свойствами. π / 7 , 2 π / 7 , {\displaystyle \pi /7,2\pi /7,} 4 π / 7 , {\displaystyle 4\пи /7,}
Ключевые моменты Центр девяти точек семиугольного треугольника также является его первой точкой Брокара . [1] : Предложение 12
Вторая точка Брокара лежит на окружности девяти точек. [2] : стр. 19
Центр описанной окружности и точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник . [1] : Теор. 22
Расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H определяется по формуле [2] : стр. 19
О ЧАС = Р 2 , {\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},} где R — радиус описанной окружности . Квадрат расстояния от инцентра I до ортоцентра равен [2] : стр. 19
я ЧАС 2 = Р 2 + 4 г 2 2 , {\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},} где r — радиус вписанной окружности .
Две касательные из ортоцентра к описанной окружности взаимно перпендикулярны . [2] : стр. 19
Отношения расстояний
Стороны Стороны семиугольного треугольника a < b < c совпадают соответственно со стороной, меньшей диагональю и большей диагональю правильного семиугольника. Они удовлетворяют [3] : Лемма 1
а 2 = с ( с − б ) , б 2 = а ( с + а ) , с 2 = б ( а + б ) , 1 а = 1 б + 1 с {\displaystyle {\begin{align}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{align}}} (последнее [2] : стр. 13 оптическим уравнением ) и, следовательно,
а б + а с = б с , {\displaystyle ab+ac=bc,} и [3] : Кор. 2
б 3 + 2 б 2 с − б с 2 − с 3 = 0 , {\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,} с 3 − 2 с 2 а − с а 2 + а 3 = 0 , {\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,} а 3 − 2 а 2 б − а б 2 + б 3 = 0. {\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.} Таким образом, b / c , c / a и a / b удовлетворяют кубическому уравнению
т 3 − 2 т 2 − т + 1 = 0. {\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.} Однако для решений этого уравнения не существует алгебраических выражений с чисто действительными членами, поскольку это пример casus unreducibilis .
Приблизительное соотношение сторон равно
б ≈ 1.80193 ⋅ а , с ≈ 2.24698 ⋅ а . {\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.} У нас также есть [4] [5]
а 2 б с , − б 2 с а , − с 2 а б {\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}} удовлетворяют кубическому уравнению
т 3 + 4 т 2 + 3 т − 1 = 0. {\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.} У нас также есть [4]
а 3 б с 2 , − б 3 с а 2 , с 3 а б 2 {\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}} удовлетворяют кубическому уравнению
т 3 − т 2 − 9 т + 1 = 0. {\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.} У нас также есть [4]
а 3 б 2 с , б 3 с 2 а , − с 3 а 2 б {\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}} удовлетворяют кубическому уравнению
т 3 + 5 т 2 − 8 т + 1 = 0. {\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.} У нас также есть [2] : стр. 14
б 2 − а 2 = а с , {\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,} с 2 − б 2 = а б , {\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,} а 2 − с 2 = − б с , {\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,} и [2] : стр. 15
б 2 а 2 + с 2 б 2 + а 2 с 2 = 5. {\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.} У нас также есть [4]
а б − б с + с а = 0 , {\displaystyle ab-bc+ca=0,} а 3 б − б 3 с + с 3 а = 0 , {\displaystyle а^{3}бб^{3}с+с^{3}а=0,} а 4 б + б 4 с − с 4 а = 0 , {\displaystyle а^{4}b+b^{4}cc^{4}a=0,} а 11 б 3 − б 11 с 3 + с 11 а 3 = 0. {\displaystyle а^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.}
Высоты Высоты h a h b h c
час а = час б + час с {\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}} [2] : стр. 13 и
час а 2 + час б 2 + час с 2 = а 2 + б 2 + с 2 2 . {\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.} [2] : стр. 14 Высота, проведенная из стороны b (противоположной углу B ), равна половине биссектрисы внутреннего угла A : [2] : стр. 19 ж А {\displaystyle w_{A}}
2 час б = ж А . {\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.} Здесь угол А — наименьший угол, а угол В — второй наименьший угол.
Биссектрисы внутренних углов Имеем следующие свойства биссектрис внутреннего угла и углов A, B и C соответственно: [2] : стр. 16 ж А , ж Б , {\displaystyle w_{A},w_{B},} ж С {\displaystyle w_{C}}
ж А = б + с , {\displaystyle w_{A}=b+c,} ж Б = с − а , {\displaystyle w_{B}=ca,} ж С = б − а . {\displaystyle w_{C}=ba.}
Окружность, входящая в окружность и выходящая из нее окружность Площадь треугольника равна [6]
А = 7 4 Р 2 , {\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},} где R — радиус описанной окружности треугольника .
У нас есть [2] : стр. 12
а 2 + б 2 + с 2 = 7 Р 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.} У нас также есть [7]
а 4 + б 4 + с 4 = 21 Р 4 . {\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.} а 6 + б 6 + с 6 = 70 Р 6 . {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.} Отношение r / R радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности является положительным решением кубического уравнения [6]
8 х 3 + 28 х 2 + 14 х − 7 = 0. {\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.} Кроме того, [2] : стр. 15
1 а 2 + 1 б 2 + 1 с 2 = 2 Р 2 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.} У нас также есть [7]
1 а 4 + 1 б 4 + 1 с 4 = 2 Р 4 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.} 1 а 6 + 1 б 6 + 1 с 6 = 17 7 Р 6 . {\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.} В общем случае для всех целых n ,
а 2 н + б 2 н + с 2 н = г ( н ) ( 2 Р ) 2 н {\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}} где
г ( − 1 ) = 8 , г ( 0 ) = 3 , г ( 1 ) = 7 {\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7} и
г ( н ) = 7 г ( н − 1 ) − 14 г ( н − 2 ) + 7 г ( н − 3 ) . {\displaystyle г(n)=7г(n-1)-14г(n-2)+7г(n-3).} У нас также есть [7]
2 б 2 − а 2 = 7 б Р , 2 с 2 − б 2 = 7 с Р , 2 а 2 − с 2 = − 7 а Р . {\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.} У нас также есть [4]
a 3 c + b 3 a − c 3 b = − 7 R 4 , {\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},} a 4 c − b 4 a + c 4 b = 7 7 R 5 , {\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},} a 11 c 3 + b 11 a 3 − c 11 b 3 = − 7 3 17 R 14 . {\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.} Радиус вписанной окружности r a, a, равен радиусу окружности девяти точек семиугольного треугольника. [2] : стр. 15
Ортогональный треугольник Ортотреугольник семиугольного треугольника с вершинами у подножий высот подобен семиугольному треугольнику с отношением подобия 1:2. Семиугольный треугольник — единственный тупоугольный треугольник, который подобен своему ортотреугольнику ( равносторонний треугольник — единственный остроугольный). [2] : стр. 12–13
Гипербола Прямоугольная гипербола имеет следующие свойства: A , B , C , G = X ( 2 ) , H = X ( 4 ) {\displaystyle A,B,C,G=X(2),H=X(4)}
первый фокус F 1 = X ( 5 ) {\displaystyle F_{1}=X(5)} центр находится на окружности Эйлера (общее свойство) и на окружности U {\displaystyle U} ( O , F 1 ) {\displaystyle (O,F_{1})} второй фокус на описанной окружности F 2 {\displaystyle F_{2}}
Тригонометрические свойства
Тригонометрические тождества Различные тригонометрические тождества , связанные с семиугольным треугольником, включают следующие: [2] : стр. 13–14 [6] [7]
A = π 7 cos A = b 2 a B = 2 π 7 cos B = c 2 b C = 4 π 7 cos C = − a 2 c {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}} [4] : Предложение 10
sin A × sin B × sin C = 7 8 sin A − sin B − sin C = − 7 2 cos A × cos B × cos C = − 1 8 tan A × tan B × tan C = − 7 tan A + tan B + tan C = − 7 cot A + cot B + cot C = 7 sin 2 A × sin 2 B × sin 2 C = 7 64 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 7 4 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 5 4 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C = 21 sec 2 A + sec 2 B + sec 2 C = 24 csc 2 A + csc 2 B + csc 2 C = 8 cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C = 5 sin 4 A + sin 4 B + sin 4 C = 21 16 cos 4 A + cos 4 B + cos 4 C = 13 16 sec 4 A + sec 4 B + sec 4 C = 416 csc 4 A + csc 4 B + csc 4 C = 32 {\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}
tan A − 4 sin B = − 7 tan B − 4 sin C = − 7 tan C + 4 sin A = − 7 {\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\!&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}} [7] [8]
cot 2 A = 1 − 2 tan C 7 cot 2 B = 1 − 2 tan A 7 cot 2 C = 1 − 2 tan B 7 {\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{aligned}}} [4]
cos A = − 1 2 + 4 7 × sin 3 C sec A = 2 + 4 × cos C sec A = 6 − 8 × sin 2 B sec A = 4 − 16 7 × sin 3 B cot A = 7 + 8 7 × sin 2 B cot A = 3 7 + 4 7 × cos B sin 2 A = 1 2 + 1 2 × cos B cos 2 A = 3 4 + 2 7 × sin 3 A cot 2 A = 3 + 8 7 × sin A sin 3 A = − 7 8 + 7 4 × cos B csc 3 A = − 6 7 + 2 7 × tan 2 C {\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}} [4]
sin A sin B − sin B sin C + sin C sin A = 0 {\displaystyle \sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0} sin 3 B sin C − sin 3 C sin A − sin 3 A sin B = 0 sin B sin 3 C − sin C sin 3 A − sin A sin 3 B = 7 2 4 sin 4 B sin C − sin 4 C sin A + sin 4 A sin B = 0 sin B sin 4 C + sin C sin 4 A − sin A sin 4 B = 7 7 2 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\\[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}} sin 11 B sin 3 C − sin 11 C sin 3 A − sin 11 A sin 3 B = 0 sin 3 B sin 11 C − sin 3 C sin 11 A − sin 3 A sin 11 B = 7 3 ⋅ 17 2 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^{11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C\sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}\end{aligned}}} [9]
Кубические многочлены Кубическое уравнение имеет решения [2] : стр. 14 64 y 3 − 112 y 2 + 56 y − 7 = 0 {\displaystyle 64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0} sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C . {\displaystyle \sin ^{2}\!A,\ \sin ^{2}\!B,\ \sin ^{2}\!C.}
Положительное решение кубического уравнения равно [10] : стр. 186–187 x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0} 2 cos B . {\displaystyle 2\cos B.}
Корни кубического уравнения равны [4 ] x 3 − 7 2 x 2 + 7 8 = 0 {\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0} sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C . {\displaystyle \sin 2A,\ \sin 2B,\ \sin 2C.}
Корни кубического уравнения равны x 3 − 7 2 x 2 + 7 8 = 0 {\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0} − sin A , sin B , sin C . {\displaystyle -\sin A,\ \sin B,\ \sin C.}
Корни кубического уравнения равны x 3 + 1 2 x 2 − 1 2 x − 1 8 = 0 {\displaystyle x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}=0} − cos A , cos B , cos C . {\displaystyle -\cos A,\ \cos B,\ \cos C.}
Корни кубического уравнения равны x 3 + 7 x 2 − 7 x + 7 = 0 {\displaystyle x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0} tan A , tan B , tan C . {\displaystyle \tan A,\ \tan B,\ \tan C.}
Корни кубического уравнения равны x 3 − 21 x 2 + 35 x − 7 = 0 {\displaystyle x^{3}-21x^{2}+35x-7=0} tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C . {\displaystyle \tan ^{2}\!A,\ \tan ^{2}\!B,\ \tan ^{2}\!C.}
Последовательности Для целого числа n пусть S ( n ) = ( − sin A ) n + sin n B + sin n C C ( n ) = ( − cos A ) n + cos n B + cos n C T ( n ) = tan n A + tan n B + tan n C {\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}
Идентификации Рамануджана У нас также есть тождества типа Рамануджана, [7] [11]
2 sin 2 A 3 + 2 sin 2 B 3 + 2 sin 2 C 3 = − 7 18 × − 7 3 + 6 + 3 ( 5 − 3 7 3 3 + 4 − 3 7 3 3 ) 3 2 sin 2 A 3 + 2 sin 2 B 3 + 2 sin 2 C 3 = − 7 18 × − 7 3 + 6 + 3 ( 5 − 3 7 3 3 + 4 − 3 7 3 3 ) 3 4 sin 2 2 A 3 + 4 sin 2 2 B 3 + 4 sin 2 2 C 3 = 49 18 × 49 3 + 6 + 3 ( 12 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 + 11 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 ) 3 2 cos 2 A 3 + 2 cos 2 B 3 + 2 cos 2 C 3 = 5 − 3 7 3 3 4 cos 2 2 A 3 + 4 cos 2 2 B 3 + 4 cos 2 2 C 3 = 11 + 3 ( 2 7 3 + 49 3 ) 3 tan 2 A 3 + tan 2 B 3 + tan 2 C 3 = − 7 18 × 7 3 + 6 + 3 ( 5 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 + − 3 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 ) 3 tan 2 2 A 3 + tan 2 2 B 3 + tan 2 2 C 3 = 49 18 × 3 49 3 + 6 + 3 ( 89 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 + 25 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 ) 3 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}
1 2 sin 2 A 3 + 1 2 sin 2 B 3 + 1 2 sin 2 C 3 = − 1 7 18 × 6 + 3 ( 5 − 3 7 3 3 + 4 − 3 7 3 3 ) 3 1 4 sin 2 2 A 3 + 1 4 sin 2 2 B 3 + 1 4 sin 2 2 C 3 = 1 49 18 × 2 7 3 + 6 + 3 ( 12 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 + 11 + 3 ( 49 3 + 2 7 3 ) 3 ) 3 1 2 cos 2 A 3 + 1 2 cos 2 B 3 + 1 2 cos 2 C 3 = 4 − 3 7 3 3 1 4 cos 2 2 A 3 + 1 4 cos 2 2 B 3 + 1 4 cos 2 2 C 3 = 12 + 3 ( 2 7 3 + 49 3 ) 3 1 tan 2 A 3 + 1 tan 2 B 3 + 1 tan 2 C 3 = − 1 7 18 × − 49 3 + 6 + 3 ( 5 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 + − 3 + 3 ( 7 3 − 49 3 ) 3 ) 3 1 tan 2 2 A 3 + 1 tan 2 2 B 3 + 1 tan 2 2 C 3 = 1 49 18 × 5 7 3 + 6 + 3 ( 89 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 + 25 + 3 ( 3 49 3 + 5 7 3 ) 3 ) 3 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}
cos 2 A cos 2 B 3 + cos 2 B cos 2 C 3 + cos 2 C cos 2 A 3 = − 7 3 cos 2 B cos 2 A 3 + cos 2 C cos 2 B 3 + cos 2 A cos 2 C 3 = 0 cos 4 2 B cos 2 A 3 + cos 4 2 C cos 2 B 3 + cos 4 2 A cos 2 C 3 = − 49 3 2 cos 5 2 A cos 2 2 B 3 + cos 5 2 B cos 2 2 C 3 + cos 5 2 C cos 2 2 A 3 = 0 cos 5 2 B cos 2 2 A 3 + cos 5 2 C cos 2 2 B 3 + cos 5 2 A cos 2 2 C 3 = − 3 × 7 3 2 cos 14 2 A cos 5 2 B 3 + cos 14 2 B cos 5 2 C 3 + cos 14 2 C cos 5 2 A 3 = 0 cos 14 2 B cos 5 2 A 3 + cos 14 2 C cos 5 2 B 3 + cos 14 2 A cos 5 2 C 3 = − 61 × 7 3 8 . {\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}} [9]
{\displaystyle }
Ссылки ^ ab Yiu, Paul (2009). «Семиугольные треугольники и их спутники» (PDF) . Forum Geometricorum 9 : 125–148. ^ abcdefghijklmnopq Банкофф, Леон; Гарфанкел, Джек (1973). «Семиугольный треугольник». Mathematics Magazine . 46 (1): 7–19. doi :10.2307/2688574. JSTOR 2688574. ^ ab Altintas, Abdilkadir (2016). «Некоторые коллинеарности в семиугольном треугольнике» (PDF) . Forum Geometricorum . 16 : 249–256. ^ abcdefghi Ван, Кай (2019). «Семиугольный треугольник и тригонометрические тождества». Forum Geometricorum . 19 : 29–38. ^ Ван, Кай (август 2019 г.). «О кубических уравнениях с нулевыми суммами кубических корней корней» – через ResearchGate. ^ abc Weisstein, Eric W. "Семиугольный треугольник". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-08-02 . ^ abcdef Ван, Кай (сентябрь 2018 г.). «Тригонометрические свойства семиугольного треугольника» – через ResearchGate. ^ Молл, Виктор Х. (2007-09-24). "Элементарное тригонометрическое уравнение". arXiv : 0709.3755 [math.NT]. ^ ab Wang, Kai (октябрь 2019 г.). «О тождествах типов Рамануджана для PI/7» – через ResearchGate. ^ Gleason, Andrew Mattei (март 1988). «Трисекция угла, семиугольник и трискайдекагон» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 185–194. doi :10.2307/2323624. JSTOR 2323624. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-12-19. ^ Witula, Roman; Slota, Damian (2007). "Новые формулы типа Рамануджана и квазифибоначчиевые числа порядка 7" (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 10 (5) 07.5.6. Bibcode : 2007JIntS..10...56W. 
![{\displaystyle {\begin{align}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63107bd555aab31d4dbd45b3bea63fcb044aeb43)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dd39d97a0beffeae6cda91521c6eca64ade86a)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{ 2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\сек ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\сек ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\сек ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\кот ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\кот ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\кот ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\син ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\сек ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\сек ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\сек ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11372d01f064a3ac9ffba8d9f82ccf67392e62ed)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\ \[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\ !&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81c6d96fd69af254e9ce675fad313b333fd7904)
![{\displaystyle {\begin{align}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50839aa6272436a1b2888172a7c95235431e7688)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\сек A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\сек A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\сек A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36fe1e7d4ad29454a0aa79868851380c420711c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\ \[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{ 2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313eecf9c55707e7d80590c5350d7c1c461b8b1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^ {11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C \sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}} \end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ff05b82052d8332beefe762209d7d4e1f67d72)
![{\displaystyle {\begin{align}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30746680912c548893246cbf950126c4bed81f68)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}} \!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{ 7}}\раз {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{ 7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}] {2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3 }]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{ 7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}] {4\sin ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!& \!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{ 49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\ sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{ \sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{ 3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+ \!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{ \sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{ 7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt [{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\ !{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}] {49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7} })}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right )}}\end{массив}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810c85d0d2d0261c86d4ad110e55c03d4310c4f0)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{ 7}}}\раз {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3 }]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092ce3486cbd674aa014182b557e6dbbd0a058b9)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9537ae68fa934954aeb5597d1f2df4209374a8a8)
