В геометрии скользящее отражение или трансфлекция — это геометрическое преобразование , которое состоит из отражения относительно гиперплоскости и переноса («скольжения») в направлении, параллельном этой гиперплоскости, объединенных в одно преобразование. Поскольку расстояния между точками не изменяются при скользящем отражении, это движение или изометрия . Когда контекст — двумерная евклидова плоскость , гиперплоскость отражения — это прямая линия, называемая линией скольжения или осью скольжения . Когда контекст — трехмерное пространство , гиперплоскость отражения — это плоскость, называемая плоскостью скольжения . Вектор смещения переноса называется вектором скольжения .
Когда некоторый геометрический объект или конфигурация кажутся неизменными при преобразовании, говорят, что они имеют симметрию , а преобразование называется операцией симметрии . Симметрия скольжения-отражения наблюдается в группах фриза (узоры, которые повторяются в одном измерении, часто используются в декоративных бордюрах), группах обоев (регулярные мозаики плоскости) и пространственных группах (которые описывают, например, симметрии кристаллов ). Объекты с симметрией скольжения-отражения в общем случае не симметричны относительно одного лишь отражения , но два применения одного и того же скользящего отражения приводят к двойному переносу, поэтому объекты с симметрией скольжения-отражения всегда также имеют простую трансляционную симметрию .
Когда отражение составлено с переносом в направлении, перпендикулярном гиперплоскости отражения, композиция двух преобразований является отражением в параллельной гиперплоскости. Однако, когда отражение составлено с переносом в любом другом направлении, композиция двух преобразований является скользящим отражением, которое может быть однозначно описано как отражение в параллельной гиперплоскости, составленное с переносом в направлении, параллельном гиперплоскости.
Одиночное скольжение представлено как группа фриза p11g. Скользящее отражение можно рассматривать как предельное роторное отражение , где вращение становится переносом. Ему также можно дать обозначение Шёнфлиса как S 2∞ , обозначение Кокстера как [∞ + ,2 + ] и обозначение орбифолда как ∞×.
На евклидовой плоскости единственными двумя видами косвенных (изменяющих ориентацию) изометрий являются отражения и скользящие отражения .
Например, есть изометрия, состоящая из отражения относительно оси x , за которым следует перенос одной единицы параллельно ей. В координатах это занимает
Эта изометрия отображает ось x в себя; любая другая линия, параллельная оси x , отражается относительно оси x , поэтому эта система параллельных линий остается неизменной.
Группа изометрий, порожденная только скользящим отражением, является бесконечной циклической группой . [1]
Объединение двух равных скользящих отражений дает чистый перенос с вектором переноса, который в два раза больше вектора скользящего отражения, поэтому четные степени скользящего отражения образуют группу переноса.
В случае симметрии скольжения-отражения группа симметрии объекта содержит скользящее отражение, а значит, и группу, им порожденную. Если это все, что он содержит, этот тип — группа фриза p11g.
Пример узора с этой группой симметрии:
Типичным примером скользящего отражения в повседневной жизни является след, оставленный на песке человеком, идущим по пляжу.
Группа фриза № 6 (скользящие отражения, трансляции и вращения) генерируется скользящим отражением и вращением вокруг точки на линии отражения. Она изоморфна полупрямому произведению Z и C 2 .
Пример узора с этой группой симметрии:
Для любой группы симметрии, содержащей некоторую симметрию скольжения-отражения, вектор трансляции любого скользящего отражения является половиной элемента группы трансляции. Если вектор трансляции скользящего отражения сам по себе является элементом группы трансляции, то соответствующая симметрия скольжения-отражения сводится к комбинации симметрии отражения и трансляционной симметрии .
Симметрия скольжения-отражения относительно двух параллельных прямых с тем же самым переносом подразумевает, что существует также трансляционная симметрия в направлении, перпендикулярном этим прямым, с расстоянием переноса, которое в два раза больше расстояния между линиями скольжения-отражения. Это соответствует группе обоев pg; с дополнительной симметрией это происходит также в pmg, pgg и p4g.
Если в том же направлении есть также линии истинного отражения, то они равномерно распределены между линиями скользящего отражения. Линия скользящего отражения, параллельная линии истинного отражения, уже подразумевает эту ситуацию. Это соответствует группе обоев cm. Трансляционная симметрия задается косыми векторами переноса из одной точки на линии истинного отражения в две точки на следующей, поддерживающими ромб с линией истинного отражения в качестве одной из диагоналей. С дополнительной симметрией это происходит также в cmm, p3m1, p31m, p4m и p6m.
В евклидовой плоскости 3 из 17 групп обоев требуют генераторов скользящих отражений. p2gg имеет ортогональные скользящие отражения и 2-кратные вращения. cm имеет параллельные зеркала и скольжения, а pg имеет параллельные скольжения. (Скользящие отражения показаны ниже в виде пунктирных линий)
Плоскости скольжения обозначаются в нотации Германна-Могена как a , b или c , в зависимости от того, вдоль какой оси происходит скольжение. (Ориентация плоскости определяется положением символа в обозначении Германна-Могена.) Если ось не определена, то плоскость скольжения может обозначаться как g . Когда плоскость скольжения параллельна экрану, эти плоскости могут быть обозначены изогнутой стрелкой, в которой наконечник стрелки указывает направление скольжения. Когда плоскость скольжения перпендикулярна экрану, эти плоскости могут быть представлены либо пунктирными линиями, когда скольжение параллельно плоскости экрана, либо пунктирными линиями, когда скольжение перпендикулярно плоскости экрана. Кроме того, центрированная решетка может привести к тому, что плоскость скольжения будет существовать в двух направлениях одновременно. Этот тип плоскости скольжения может быть обозначен изогнутой стрелкой с наконечником с обеих сторон, когда плоскость скольжения параллельна плоскости экрана, или штриховой и двухточечной линией, когда плоскость скольжения перпендикулярна плоскости экрана. Существует также n - скольжение, которое является скольжением вдоль половины диагонали грани, и d -скольжение, которое проходит вдоль четверти либо грани, либо пространственной диагонали элементарной ячейки . Последнее часто называют алмазной плоскостью скольжения, поскольку оно присутствует в структуре алмаза. n- плоскость скольжения может быть обозначена диагональной стрелкой, когда она параллельна плоскости экрана, или штрихпунктирной линией, когда плоскость скольжения перпендикулярна плоскости экрана. D- плоскость скольжения может быть обозначена диагональной полустрелкой, если плоскость скольжения параллельна плоскости экрана, или штрихпунктирной линией со стрелками, если плоскость скольжения перпендикулярна плоскости экрана. Если в кристаллической системе присутствует d -плоскость скольжения, то этот кристалл должен иметь центрированную решетку. [2]
В сегодняшней версии нотации Германа–Могена символ e используется в случаях, когда есть два возможных способа обозначения направления скольжения, поскольку оба верны. Например, если кристалл имеет решетку Бравэ с центром в основании , центрированную на грани C, то скольжение половины ячейки в направлении a дает тот же результат, что и скольжение половины ячейки в направлении b .
Группа изометрий, созданная только скользящим отражением, является бесконечной циклической группой . Объединение двух равных операций плоскости скольжения дает чистый перенос с вектором переноса, который вдвое больше вектора переноса скользящего отражения, поэтому четные степени скользящего отражения образуют группу переноса.
В случае симметрии скольжения-отражения группа симметрии объекта содержит симметрию скольжения и группу, ею порожденную. Для любой группы симметрии, содержащей симметрию скольжения, вектор скольжения является половиной элемента группы трансляции. Если вектор трансляции операции плоскости скольжения сам по себе является элементом группы трансляции, то соответствующая симметрия плоскости скольжения сводится к комбинации симметрии отражения и симметрии трансляции .
Симметрию скольжения можно наблюдать в природе среди некоторых ископаемых представителей биоты Эдиакара , махаеридий и некоторых палеосколецидных червей. [3] Ее также можно наблюдать во многих современных группах морских перьев . [4]
В игре «Жизнь» Конвея часто встречающийся шаблон, называемый глайдером, так назван потому, что он повторяет свою конфигурацию ячеек, смещенную отражением скольжения, после двух шагов автомата. После четырех шагов и двух отражений скольжения шаблон возвращается к своей первоначальной ориентации, смещенный по диагонали на одну единицу. Продолжая таким образом, он перемещается по массиву игры. [5]