Волокно (математика)

Множество всех точек в области определения функции, которые отображаются в некоторую заданную точку

В математике волокно ( американский английский ) или волокно ( британский английский ) элемента под функцией является прообразом множества синглетонов , ^{[1] : стр.69} , то есть ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}}$

В качестве примера злоупотребления обозначениями это множество часто обозначают как , что технически неверно, поскольку обратное отношение не обязательно является функцией . ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Свойства и применение

В наивной теории множеств

Если и являются доменом и образом , соответственно , то слои являются множествами в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}}$

который является разделом набора доменов . Обратите внимание, что должно быть ограничено набором изображений , так как в противном случае это был бы пустой набор , который не допускается в разделе. Волокно, содержащее элемент, является набором ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x)).}$

Например, пусть будет функцией из в , которая переводит точку в . Слой 5 ниже — это все точки на прямой с уравнением . Слои — это эта прямая и все прямые, параллельные ей, которые образуют разбиение плоскости . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+b=5}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

В более общем случае, если — линейное отображение из некоторого линейного векторного пространства в некоторое другое линейное пространство , то слои являются аффинными подпространствами , которые являются переведенными копиями нулевого пространства . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Если является действительной функцией нескольких действительных переменных , то волокна функции являются множествами уровня . Если также является непрерывной функцией и находится в образе множества уровня , то обычно будет кривой в 2D , поверхностью в 3D и, в более общем случае, гиперповерхностью в области ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f.}$

Волокна представляют собой классы эквивалентности отношения эквивалентности , определенного на области определения, такие, что тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \equiv _{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x'\equiv _{f}x''}$ ${\displaystyle f(x')=f(x'')}$

В топологии

В топологии точечных множеств обычно рассматриваются функции из топологических пространств в топологические пространства.

Если — непрерывная функция и если (или, в более общем случае, множество изображений ) является пространством T 1 , то каждое волокно является замкнутым подмножеством В частности, если — локальный гомеоморфизм из в , каждое волокно является дискретным подпространством . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Функция между топологическими пространствами называетсямонотонна , если каждое волокно являетсясвязным подпространствомсвоей области. Функциямонотонна в этом топологическом смысле тогда и только тогда, когда онаневозрастающаяилинеубывающая, что является обычным значением «монотонной функции» вреальном анализе. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Функция между топологическими пространствами (иногда) называется собственным отображением , если каждое волокно является компактным подпространством своей области определения. Однако многие авторы используют другие неэквивалентные конкурирующие определения «собственного отображения», поэтому рекомендуется всегда проверять, как конкретный автор определяет этот термин. Непрерывная замкнутая сюръективная функция , все волокна которой компактны, называется совершенным отображением .

Расслоение волокон — это функция между топологическими пространствами , волокна которой обладают определенными специальными свойствами, связанными с топологией этих пространств. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии , если — морфизм схем , то слой точки в — это послойное произведение схем, где — поле вычетов в точке ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$$ ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p.}$

Смотрите также

• Фибрация
• Волоконный жгут
• Волокнистый продукт
• Теорема о прообразе
• Нулевой набор

Ссылки

1. Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Springer Verlag . ISBN 978-1-4419-7940-7.