Теорема Колмогорова о расширении

Согласованный набор конечномерных распределений будет определять стохастический процесс.

В математике теорема Колмогорова о расширении (также известная как теорема существования Колмогорова , теорема о согласованности Колмогорова или теорема Даниэля-Колмогорова ) — это теорема , которая гарантирует, что соответствующим образом «согласованный» набор конечномерных распределений будет определять стохастический процесс . Она приписывается английскому математику Перси Джону Даниэлю и русскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову . ^[1]

Формулировка теоремы

Пусть обозначает некоторый интервал (рассматриваемый как « время »), и пусть . Для каждой и конечной последовательности различных времен пусть будет вероятностной мерой на Предположим, что эти меры удовлетворяют двум условиям согласованности: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}\in T}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}.}$

1. для всех перестановок и измеримых множеств , ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);}$

2. для всех измеримых множеств , ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).}$

Тогда существует вероятностное пространство и стохастический процесс, такие что ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)}$

для всех и измеримых множеств , т.е. имеет в качестве своих конечномерных распределений относительно времен . ${\displaystyle t_{i}\in T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$

Фактически, всегда можно взять в качестве базового вероятностного пространства и взять для канонического процесса . Таким образом, альтернативный способ сформулировать теорему Колмогорова о расширении состоит в том, что при условии, что выполнены указанные выше условия согласованности, существует (единственная) мера на с маргиналами для любого конечного набора времен . Теорема Колмогорова о расширении применима, когда несчетно, но цена, которую приходится платить за этот уровень общности, заключается в том, что мера определена только на σ-алгебре произведения , которая не очень богата. ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\colon (t,Y)\mapsto Y_{t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{T}}$

Объяснение условий

Два условия, требуемые теоремой, тривиально выполняются любым стохастическим процессом. Например, рассмотрим стохастический процесс с дискретным временем и действительными значениями . Тогда вероятность может быть вычислена либо как , либо как . Следовательно, для того, чтобы конечномерные распределения были согласованными, должно выполняться . Первое условие обобщает это утверждение, чтобы оно выполнялось для любого количества временных точек и любых наборов управления . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}<0)}$ ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})}$ ${\displaystyle \nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Продолжая пример, второе условие подразумевает, что . Также это тривиальное условие, которому будет удовлетворять любое согласованное семейство конечномерных распределений. ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )}$

Следствия теоремы

Поскольку оба условия тривиально выполняются для любого случайного процесса, сила теоремы в том, что никаких других условий не требуется: для любого разумного (т.е. последовательного) семейства конечномерных распределений существует случайный процесс с этими распределениями.

Подход теории меры к стохастическим процессам начинается с вероятностного пространства и определяет стохастический процесс как семейство функций на этом вероятностном пространстве. Однако во многих приложениях отправной точкой на самом деле являются конечномерные распределения стохастического процесса. Теорема гласит, что при условии, что конечномерные распределения удовлетворяют очевидным требованиям согласованности, всегда можно определить вероятностное пространство, соответствующее цели. Во многих ситуациях это означает, что не нужно явно указывать, что такое вероятностное пространство. Многие тексты по стохастическим процессам действительно предполагают вероятностное пространство, но никогда явно не указывают, что это такое.

Теорема используется в одном из стандартных доказательств существования броуновского движения , путем указания конечномерных распределений как гауссовских случайных величин, удовлетворяющих условиям согласованности, указанным выше. Как и в большинстве определений броуновского движения, требуется, чтобы траектории выборки были непрерывными почти наверняка, и затем используется теорема Колмогорова о непрерывности для построения непрерывной модификации процесса, построенного теоремой Колмогорова о расширении.

Общая форма теоремы

Теорема Колмогорова о расширении дает нам условия для набора мер на евклидовых пространствах, чтобы быть конечномерными распределениями некоторого -значного стохастического процесса, но предположение, что пространство состояний является излишним. Фактически, любой набор измеримых пространств вместе с набором внутренних регулярных мер, определенных на конечных произведениях этих пространств, был бы достаточным, при условии, что эти меры удовлетворяют определенному отношению совместимости. Формальное утверждение общей теоремы следующее. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пусть будет любым множеством. Пусть будет некоторым набором измеримых пространств, и для каждого пусть будет топологией Хаусдорфа на . Для каждого конечного подмножества определим ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle J\subset T}$

${\displaystyle \Omega _{J}:=\prod _{t\in J}\Omega _{t}}$.

Для подмножеств пусть обозначает каноническую проекционную карту . ${\displaystyle I\subset J\subset T}$ ${\displaystyle \pi _{I}^{J}:\Omega _{J}\to \Omega _{I}}$ ${\displaystyle \omega \mapsto \omega |_{I}}$

Для каждого конечного подмножества предположим, что у нас есть вероятностная мера на , которая является внутренней регулярной относительно топологии произведения (индуцированной ) на . Предположим также, что этот набор мер удовлетворяет следующему соотношению совместимости: для конечных подмножеств мы имеем, что ${\displaystyle F\subset T}$ ${\displaystyle \mu _{F}}$ ${\displaystyle \Omega _{F}}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{F}}$ ${\displaystyle \{\mu _{F}\}}$ ${\displaystyle F\subset G\subset T}$

${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$

где обозначает меру прямого перемещения , индуцированную канонической проекционной картой . ${\displaystyle (\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}$ ${\displaystyle \mu _{G}}$ ${\displaystyle \pi _{F}^{G}}$

Тогда существует единственная вероятностная мера на такая, что для каждого конечного подмножества . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu }$ ${\displaystyle F\subset T}$

В качестве замечания, все меры определены на алгебре сигма-произведения на соответствующих им пространствах, которая (как упоминалось ранее) довольно грубая. Мера иногда может быть соответствующим образом расширена до более крупной алгебры сигма-множества, если задействована дополнительная структура. ${\displaystyle \mu _{F},\mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Обратите внимание, что исходное утверждение теоремы является лишь частным случаем этой теоремы с для всех и для . Стохастический процесс был бы просто каноническим процессом , определенным на с вероятностной мерой . Причина, по которой исходное утверждение теоремы не упоминает внутреннюю регулярность мер , заключается в том, что это автоматически следовало бы, поскольку вероятностные меры Бореля на польских пространствах автоматически являются радоновскими . ${\displaystyle \Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ ${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in T}$ ${\displaystyle (\pi _{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{T}}$ ${\displaystyle P=\mu }$ ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$

Эта теорема имеет много далеко идущих следствий; например, ее можно использовать для доказательства существования следующих явлений, среди прочего:

• Броуновское движение, т.е. процесс Винера ,
• цепь Маркова, принимающая значения в заданном пространстве состояний с заданной матрицей перехода,
• бесконечные произведения (внутренне-регулярных) вероятностных пространств.

История

По словам Джона Олдрича, теорема была независимо открыта британским математиком Перси Джоном Дэниеллом в несколько иной обстановке теории интегрирования. ^[3]

Ссылки

1. Оксендаль, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. стр. 11. ISBN 3-540-04758-1.
2. Тао, Т. (2011). Введение в теорию меры. Аспирантура по математике . Т. 126. Провиденс: Американское математическое общество. стр. 195. ISBN 978-0-8218-6919-2.
3. Дж. Олдрич, Но вы должны помнить П. Дж. Дэниэлла из Шеффилда, Электронный журнал истории вероятности и статистики, том 3, номер 2, 2007 г.

Внешние ссылки

• Олдрич, Дж. (2007) «Но вы должны помнить П. Дж. Дэниэлла из Шеффилда» Электронный журнал по истории вероятностей и статистики, декабрь 2007 г.