Броуновское движение

Хаотическое движение частиц, взвешенных в жидкости

Двумерное случайное блуждание адатома серебра по поверхности Ag(111) ^[1]

Моделирование броуновского движения крупной частицы, аналогичной частице пыли, которая сталкивается с большим набором более мелких частиц, аналогичных молекулам газа, которые движутся с разными скоростями в разных случайных направлениях.

Броуновское движение – это хаотическое движение частиц , взвешенных в среде ( жидкости или газе ). ^[2]

Этот образец движения обычно состоит из случайных колебаний положения частицы внутри подобласти жидкости с последующим перемещением в другую подобласть. За каждым перемещением следуют новые колебания внутри нового закрытого объема. Эта модель описывает жидкость, находящуюся в тепловом равновесии , определяемом данной температурой . Внутри такой жидкости не существует преимущественного направления потока (как в явлениях переноса ). Точнее, общий линейный и угловой моменты жидкости со временем остаются равными нулю. Кинетические энергии молекулярных броуновских движений вместе с энергиями молекулярных вращений и вибраций в сумме составляют калорическую составляющую внутренней энергии жидкости ( теорема о равнораспределении ).

Это движение названо в честь ботаника Роберта Брауна , который впервые описал это явление в 1827 году, рассматривая в микроскоп пыльцу растения Clarkia pulchella , погруженную в воду. В 1900 году французский математик Луи Башелье смоделировал стохастический процесс, ныне называемый броуновским движением, в своей докторской диссертации «Теория спекуляций» (Théorie de la spéculation), подготовленной под руководством Анри Пуанкаре . Затем, в 1905 году, физик-теоретик Альберт Эйнштейн опубликовал статью , в которой смоделировал движение частиц пыльцы как движение отдельных молекул воды , сделав один из своих первых крупных научных вкладов. ^[3]

Направление силы атомной бомбардировки постоянно меняется, и в разное время частица сталкивается больше с одной стороны, чем с другой, что приводит к кажущемуся хаотическому характеру движения. Это объяснение броуновского движения послужило убедительным доказательством существования атомов и молекул и было дополнительно подтверждено экспериментально Жаном Перреном в 1908 году. Перрен был удостоен Нобелевской премии по физике в 1926 году «за работу по разрывной структуре материи». ^[4]

Взаимодействия многих тел , которые приводят к броуновской модели, не могут быть решены с помощью модели, учитывающей каждую задействованную молекулу. Следовательно, для его описания можно использовать только вероятностные модели, применимые к молекулярным популяциям . ^[5] Две такие модели статистической механики , предложенные Эйнштейном и Смолуховским, представлены ниже. Другой, чисто вероятностный класс моделей — это класс моделей случайных процессов . Существуют последовательности как более простых, так и более сложных случайных процессов, которые сходятся (в пределе ) к броуновскому движению (см. случайное блуждание и теорему Донскера ). ^{[6] [7]}

История

Воспроизведено из книги Жана Батиста Перрена « Les Atomes» и показаны три записи движения коллоидных частиц радиусом 0,53 мкм, видимые под микроскопом. Последовательные позиции каждые 30 секунд соединяются отрезками прямых (размер ячейки 3,2 мкм). ^[8]

В научной поэме римского философа-поэта Лукреция « О природе вещей » ( ок.  60 до н. э. ) есть замечательное описание движения частиц пыли в стихах 113–140 из Книги II. Он использует это как доказательство существования атомов:

Посмотрите, что происходит, когда солнечные лучи проникают в здание и освещают его затененные места. Вы увидите множество крошечных частиц, смешивающихся множеством способов... их танец является фактическим показателем скрытых от нашего зрения движений материи... Он возникает из-за атомов, которые движутся сами по себе [т. е. спонтанно ]. Тогда те малые составные тела, которые меньше всего удалены от импульса атомов, приходят в движение от воздействия их невидимых ударов и, в свою очередь, противостоят немного более крупным телам. Так движение поднимается от атомов и постепенно выходит на уровень наших чувств, так что в движение приходят те тела, которые мы видим в солнечных лучах, движимые ударами, которые остаются невидимыми.

Хотя смешивающееся, кувыркающееся движение частиц пыли вызвано в основном воздушными потоками, сверкающее, покачивающееся движение мелких частиц пыли вызвано главным образом истинной броуновской динамикой ; Лукреций «прекрасно описывает и объясняет броуновское движение на неверном примере». ^[9]

Хотя Ян Ингенхауз описал неравномерное движение частиц угольной пыли на поверхности спирта в 1785 году, открытие этого явления часто приписывают ботанику Роберту Брауну в 1827 году. Браун изучал пыльцевые зерна растения Clarkia pulchella , суспендированные в воде под микроскоп, когда он наблюдал мельчайшие частицы, выбрасываемые пыльцевыми зернами, совершающие резкие движения. Повторив эксперимент с частицами неорганической материи, он смог исключить связь движения с жизнью, хотя его происхождение еще не было объяснено.

Первым, кто описал математику, лежащую в основе броуновского движения, был Торвальд Н. Тиле в статье о методе наименьших квадратов , опубликованной в 1880 году. За этим независимо последовал Луи Башелье в 1900 году в своей докторской диссертации «Теория спекуляций», в которой он представил стохастический анализ фондовых и опционных рынков. Часто цитируют модель броуновского движения фондового рынка , но Бенуа Мандельброт отверг ее применимость к движениям цен на акции отчасти потому, что они прерывисты. ^[10]

Альберт Эйнштейн (в одной из своих статей 1905 года ) и Мариан Смолуховский (1906) довели решение проблемы до сведения физиков и представили его как способ косвенного подтверждения существования атомов и молекул. Их уравнения, описывающие броуновское движение, были впоследствии проверены экспериментальной работой Жана Батиста Перрена в 1908 году.

Теории статистической механики

Теория Эйнштейна

Теория Эйнштейна состоит из двух частей: первая часть состоит в формулировке уравнения диффузии для броуновских частиц, в котором коэффициент диффузии связан со среднеквадратичным смещением броуновской частицы, а вторая часть состоит в том, чтобы связать коэффициент диффузии к измеримым физическим величинам. ^[11] Таким образом, Эйнштейн смог определить размер атомов и количество атомов в моле или молекулярную массу в граммах газа. ^[12] В соответствии с законом Авогадро этот объём одинаков для всех идеальных газов и составляет 22,414 литра при стандартных температуре и давлении. Число атомов, содержащихся в этом объёме, называется числом Авогадро , и определение этого числа равносильно знанию массы атома, так как последняя получается путём деления молярной массы газа на число Авогадро . постоянный .

Характерные колоколообразные кривые диффузии броуновских частиц. Распределение начинается как дельта-функция Дирака , что указывает на то, что все частицы расположены в начале координат в момент времени t = 0. По мере увеличения t распределение выравнивается (хотя и остается колоколообразным) и в конечном итоге становится однородным в пределе времени. до бесконечности.

Первая часть аргументации Эйнштейна заключалась в том, чтобы определить, какое расстояние проходит броуновская частица за заданный интервал времени. ^[3] Классическая механика не может определить это расстояние из-за огромного количества бомбардировок, которым подвергается броуновская частица, примерно порядка 10 ¹⁴ столкновений в секунду. ^[2]

Он рассматривал приращение положений частицы во времени в одномерном ( x ) пространстве (с координатами, выбранными так, чтобы начало координат лежало в начальном положении частицы) как случайную величину ( ) с некоторой функцией плотности вероятности (т. е. – плотность вероятности скачка величины , т. е. плотность вероятности изменения положения частицы от до на интервале времени ). Далее, предполагая сохранение числа частиц, он разложил плотность числа (количество частиц на единицу объема около ) во времени в ряд Тейлора , ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$ ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+\Delta }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t+\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots ={}&\rho (x,t+\tau )\\={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (x-\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta =\mathbb {E} _{\Delta }[\rho (x-\Delta ,t)]\\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta -{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}$$

где второе равенство по определению . Интеграл в первом члене равен единице по определению вероятности, а второй и другие четные члены (т.е. первый и другие нечетные моменты ) исчезают из-за симметрии пространства. То, что осталось, порождает следующее соотношение: ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{higher-order even moments.}}}$$

Где коэффициент после лапласиана , второй момент вероятности смещения , интерпретируется как коэффициент диффузии массы D : ${\displaystyle \Delta }$

$${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta .}$$

Тогда плотность броуновских частиц ρ в точке x в момент времени t удовлетворяет уравнению диффузии :

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

Полагая, что N частиц стартуют из начала координат в начальный момент времени t = 0, уравнение диффузии имеет решение

$${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}$$

Это выражение (которое представляет собой нормальное распределение со средним значением и дисперсией , обычно называемое броуновским движением ) позволило Эйнштейну напрямую вычислить моменты . Видно, что первый момент исчезает, а это означает, что броуновская частица с одинаковой вероятностью будет двигаться как влево, так и вправо. Однако второй момент не равен нулю, поскольку он дается формулой ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$ ${\displaystyle B_{t}}$

$${\displaystyle {\overline {x^{2}}}=2\,D\,t.}$$

Это уравнение выражает среднеквадратичное смещение через затраченное время и коэффициент диффузии. На основании этого выражения Эйнштейн пришел к выводу, что смещение броуновской частицы пропорционально не прошедшему времени, а ее квадратному корню. ^[11] Его аргумент основан на концептуальном переходе от «ансамбля» броуновских частиц к «единственной» броуновской частице: мы можем говорить об относительном числе частиц в один момент времени точно так же, как и о времени, которое требуется Броуновская частица, достигшая заданной точки. ^[13]

Вторая часть теории Эйнштейна связывает константу диффузии с физически измеримыми величинами, такими как среднеквадратичное смещение частицы за заданный интервал времени. Этот результат позволяет экспериментально определить число Авогадро и, следовательно, размер молекул. Эйнштейн проанализировал динамическое равновесие, устанавливаемое между противоборствующими силами. Красота его аргументации в том, что конечный результат не зависит от того, какие силы участвуют в установлении динамического равновесия.

В своей первоначальной трактовке Эйнштейн рассматривал эксперимент с осмотическим давлением , но к тому же выводу можно прийти и другими способами.

Рассмотрим, например, частицы, взвешенные в вязкой жидкости в гравитационном поле. Гравитация имеет тенденцию заставлять частицы оседать, тогда как диффузия способствует их гомогенизации, перемещая их в области с меньшей концентрацией. Под действием силы тяжести частица приобретает скорость вниз v = µmg , где m — масса частицы, g — ускорение силы тяжести, а µ — подвижность частицы в жидкости. Джордж Стоукс показал, что подвижность сферической частицы радиуса r равна , где η — динамическая вязкость жидкости. В состоянии динамического равновесия и в гипотезе изотермической жидкости частицы распределяются согласно барометрическому распределению. ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$

$${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,e^{-{\frac {m\,g\,h}{k_{\rm {B}}\,T}}},}$$

где ρ − ρ _o — разность плотностей частиц, разделенных разницей высот, k B — _{постоянная} Больцмана ( отношение универсальной газовой постоянной R к _{постоянной} Авогадро NA ), а T — абсолютная температура . ${\displaystyle h=z-z_{o}}$

Равновесное распределение частиц гамбога показывает тенденцию гранул перемещаться в области с более низкой концентрацией под действием силы тяжести.

Динамическое равновесие устанавливается потому, что чем сильнее частицы притягиваются гравитацией , тем больше у частиц тенденция мигрировать в области с более низкой концентрацией. Поток определяется законом Фика :

$${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$

где J = ρv . Вводя формулу для ρ , находим, что

$${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\rm {B}}T}}.}$$

В состоянии динамического равновесия эта скорость также должна быть равна v = µmg . Оба выражения для v пропорциональны mg , что отражает независимость вывода от типа рассматриваемых сил. Аналогично можно вывести эквивалентную формулу для одинаковых заряженных частиц с зарядом q в однородном электрическом поле величиной E , где mg заменено электростатической силой qE . Приравнивание этих двух выражений дает соотношение Эйнштейна для коэффициента диффузии, независимого от mg или qE или других подобных сил:

$${\displaystyle {\frac {\overline {x^{2}}}{2t}}=D=\mu k_{\rm {B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$

_{Здесь первое равенство следует из первой части теории Эйнштейна, третье} равенство следует из определения постоянной Больцмана как k _B = R / NA , а четвертое равенство следует из формулы Стокса для подвижности. Измеряя среднеквадратичное смещение за определенный интервал времени вместе с универсальной газовой постоянной R , температурой T , вязкостью η и радиусом частицы r , можно определить _{постоянную} Авогадро NA .

Тип динамического равновесия, предложенный Эйнштейном, не был новым. Ранее Дж. Дж. Томсон ^[14] в своей серии лекций в Йельском университете в мае 1903 г. указывал, что динамическое равновесие между скоростью, создаваемой градиентом концентрации , определяемым законом Фика, и скоростью, обусловленной изменением парциального давления вызванное движением ионов, «дает нам метод определения постоянной Авогадро, который не зависит от какой-либо гипотезы относительно формы или размера молекул или от того, как они действуют друг на друга». ^[14]

Выражение, идентичное формуле Эйнштейна для коэффициента диффузии, было найдено также Вальтером Нернстом в 1888 г. ^[15] , в котором он выразил коэффициент диффузии как отношение осмотического давления к отношению силы трения и скорости, которую оно вызывает. . Первое было приравнено к закону Ван'т-Гоффа, а второе - к закону Стокса . Он пишет о коэффициенте диффузии k' , где — осмотическое давление, а k — отношение силы трения к молекулярной вязкости, которая, как он предполагает, определяется формулой Стокса для вязкости. Если ввести закон идеального газа на единицу объема для осмотического давления, формула станет идентичной формуле Эйнштейна. ^[16] Использование закона Стокса в случае Нернста, а также у Эйнштейна и Смолуховского не является строго применимым, поскольку оно не применимо к случаю, когда радиус сферы мал по сравнению со средней длиной свободного пробега . ^[17] ${\displaystyle k'=p_{o}/k}$ ${\displaystyle p_{o}}$

Поначалу предсказания формулы Эйнштейна, казалось бы, были опровергнуты серией экспериментов Сведберга в 1906 и 1907 годах, которые дали смещения частиц в 4-6 раз больше предсказанного значения, и Анри в 1908 году, который обнаружил смещения в 3 раза большие, чем Предсказала формула Эйнштейна. ^[18] Но предсказания Эйнштейна были окончательно подтверждены в серии экспериментов, проведенных Шодесейгом в 1908 году и Перреном в 1909 году. Подтверждение теории Эйнштейна представляло собой эмпирический прогресс кинетической теории тепла . По сути, Эйнштейн показал, что движение можно предсказать непосредственно из кинетической модели теплового равновесия . Важность теории заключалась в том, что она подтвердила представление кинетической теории о втором законе термодинамики как о по существу статистическом законе. ^[19]

Модель броуновского движения траектории частицы красителя в воде.

Модель Смолуховского

Теория броуновского движения Смолуховского ^[20] исходит из той же предпосылки, что и теория Эйнштейна, и выводит то же распределение вероятностей ρ ( x , t ) для смещения броуновской частицы вдоль x за время t . Таким образом, он получает то же самое выражение для среднеквадратического смещения: . Однако, когда он связывает это с частицей массы m , движущейся со скоростью , которая является результатом силы трения, подчиняющейся закону Стокса, он находит ${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$

где μ — коэффициент вязкости, — радиус частицы. Если связать кинетическую энергию с тепловой энергией RT / N , то выражение для среднеквадратического смещения будет в 64/27 раз больше, чем найденное Эйнштейном. Дробь 27/64 так прокомментировал Арнольд Зоммерфельд в своей некрологии о Смолуховском: «Численный коэффициент Эйнштейна, отличающийся от Смолуховского на 27/64, можно только поставить под сомнение». ^[21] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

Смолуховский ^[22] пытается ответить на вопрос, почему броуновская частица должна смещаться бомбардировками более мелких частиц, когда вероятности удара о нее в прямом и заднем направлениях равны. Если вероятность m выигрышей и n  −  m потерь подчиняется биномиальному распределению ,

${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$

при равных априорных вероятностях 1/2 средний общий выигрыш равен

${\displaystyle {\overline {2m-n}}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$

Если n достаточно велико, чтобы можно было использовать приближение Стирлинга в виде

${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$

^{тогда ожидаемый общий выигрыш} будет

${\displaystyle {\overline {2m-n}}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},}$

показывая, что он увеличивается как квадратный корень из общей численности населения.

Предположим, что броуновская частица массы M окружена более легкими частицами массы m , движущимися со скоростью u . Тогда, рассуждает Смолуховский, при любом столкновении окружающей среды с броуновскими частицами скорость, передаваемая последним, будет равна мю / М . Это отношение порядка 10 ⁻⁷  см/с. Но мы также должны принять во внимание, что в газе произойдет более 10 ¹⁶ столкновений в секунду, а в жидкости еще больше, где мы ожидаем, что будет 10 ²⁰ столкновений в одну секунду. Некоторые из этих столкновений будут иметь тенденцию ускорять броуновскую частицу; другие будут стремиться замедлить его. Если среднее число столкновений того или иного типа составляет порядка 10 ^8–10 10 столкновений ^за одну секунду, то скорость броуновской частицы может находиться где-то между 10 и 1000 см/с. Таким образом, даже при том, что существуют равные вероятности для прямых и обратных столкновений, будет существовать общая тенденция поддерживать броуновскую частицу в движении, как и предсказывает теорема голосования.

Эти порядки величины неточны, поскольку они не учитывают скорость броуновской частицы U , которая зависит от столкновений, которые имеют тенденцию ускорять и замедлять ее. Чем больше U , тем сильнее будут столкновения, которые будут его тормозить, так что скорость броуновской частицы никогда не сможет неограниченно увеличиваться. Если бы такой процесс произошел, это было бы равносильно вечному двигателю второго типа. А поскольку применяется равнораспределение энергии, то кинетическая энергия броуновской частицы , будет в среднем равна кинетической энергии окружающей частицы жидкости , . ${\displaystyle MU^{2}/2}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель, описывающую частицу, испытывающую броуновское движение. ^[23] Модель предполагает столкновения с M  ≫  m , где M — масса пробной частицы, а m — масса одной из отдельных частиц, составляющих жидкость. Предполагается, что столкновения частиц ограничены одним измерением и что пробная частица с одинаковой вероятностью столкнется как слева, так и справа. Также предполагается, что каждое столкновение всегда приводит к одной и той же величине Δ V . Если N _R — количество столкновений справа, а N _L — количество столкновений слева, то после N столкновений скорость частицы изменится на Δ V (2 N _R  −  N ). Тогда кратность просто определяется выражением :

${\displaystyle {\binom {N}{N_{\rm {R}}}}={\frac {N!}{N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

а общее количество возможных состояний равно 2 ^N . Следовательно, вероятность попадания в частицу справа N _R раз равна:

${\displaystyle P_{N}(N_{\rm {R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

В результате своей простоты одномерная модель Смолуховского может только качественно описать броуновское движение. Для реальной частицы, испытывающей броуновское движение в жидкости, многие предположения неприменимы. Например, предположение о том, что в среднем происходит одинаковое количество столкновений справа и слева, терпит крах, когда частица начинает двигаться. Кроме того, в реальной ситуации будет существовать распределение различных возможных Δ V вместо одного.

Другие физические модели, использующие уравнения в частных производных

Уравнение диффузии дает аппроксимацию временной эволюции функции плотности вероятности , связанной с положением частицы, совершающей броуновское движение, согласно физическому определению. Приближение справедливо на коротких временных масштабах.

Эволюцию во времени положения самой броуновской частицы лучше всего описать с помощью уравнения Ланжевена — уравнения, которое включает в себя случайное силовое поле, представляющее воздействие тепловых флуктуаций растворителя на частицу. В динамике Ланжевена и броуновской динамике уравнение Ланжевена используется для эффективного моделирования динамики молекулярных систем, которые демонстрируют сильный броуновский компонент.

Смещение частицы, совершающей броуновское движение, получается путем решения уравнения диффузии при соответствующих граничных условиях и нахождения среднеквадратического значения решения. Это показывает, что смещение изменяется пропорционально квадратному корню из времени (а не линейно), что объясняет, почему предыдущие экспериментальные результаты, касающиеся скорости броуновских частиц, дали бессмысленные результаты. Неверно предполагалась линейная зависимость от времени.

Однако на очень коротких временных масштабах в движении частицы преобладает ее инерция, и ее смещение будет линейно зависеть от времени: Δ x = v Δ t . Таким образом, мгновенную скорость броуновского движения можно измерить как v = Δx / Δt , когда Δt << τ , где τ — время релаксации импульса. В 2010 году была успешно измерена мгновенная скорость броуновской частицы (стеклянной микросферы, захваченной в воздухе оптическим пинцетом ). ^[24] Данные о скорости подтвердили распределение скоростей Максвелла-Больцмана и теорему о равнораспределении для броуновской частицы.

Астрофизика: движение звезд внутри галактик

В звездной динамике массивное тело (звезда, черная дыра и т. д.) может испытывать броуновское движение, реагируя на гравитационные силы окружающих звезд. ^[25] Среднеквадратическая скорость V массивного объекта массой M связана со среднеквадратичной скоростью фоновых звезд соотношением ${\displaystyle v_{\star }}$

${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$

где масса фоновых звезд. Гравитационная сила массивного объекта заставляет близлежащие звезды двигаться быстрее, чем в противном случае, увеличивая как и V . ^[25] По этой формуле прогнозируется , что броуновская скорость Sgr A* , сверхмассивной черной дыры в центре галактики Млечный Путь , будет меньше 1 км/ ^с . ^[26] ${\displaystyle m\ll M}$ ${\displaystyle v_{\star }}$

Математика

Анимированный пример случайного блуждания по тору , подобного броуновскому движению . В пределе масштабирования случайное блуждание приближается к винеровскому процессу согласно теореме Донскера .

В математике броуновское движение описывается винеровским процессом , стохастическим процессом с непрерывным временем, названным в честь Норберта Винера . Это один из самых известных процессов Леви ( случайных процессов со стационарными независимыми приращениями ), который часто встречается в чистой и прикладной математике, экономике и физике .

Единственная реализация трехмерного броуновского движения для времен 0 ≤  t  ≤ 2

Винеровский процесс W _t характеризуется четырьмя фактами: ^[27]

1. Ш ₀ = 0
2. W _t почти наверняка непрерывен
3. W _t имеет независимые приращения
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$(для ). ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$обозначает нормальное распределение с ожидаемым значением µ и дисперсией σ ² . Условие наличия независимых приращений означает, что if то и являются независимыми случайными величинами. Кроме того, при некоторой фильтрации измеримо для всех . ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$ ${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Альтернативной характеристикой процесса Винера является так называемая характеристика Леви , которая гласит, что процесс Винера представляет собой почти наверняка непрерывный мартингал с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией . ${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются независимыми случайными величинами. Это представление можно получить с помощью теоремы Косамби–Карунена–Лоэва . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

Винеровский процесс можно построить как масштабный предел случайного блуждания или других случайных процессов с дискретным временем и стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Как и случайное блуждание, винеровский процесс рекуррентен в одном или двух измерениях (это означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не рекуррентен в измерениях три и выше. В отличие от случайного блуждания, оно масштабно-инвариантно .

Эволюция во времени положения самой броуновской частицы может быть приблизительно описана уравнением Ланжевена , уравнением, которое включает в себя случайное силовое поле, представляющее влияние тепловых флуктуаций растворителя на броуновскую частицу. На больших временных масштабах математическое броуновское движение хорошо описывается уравнением Ланжевена. В небольших временных масштабах в уравнении Ланжевена преобладают инерционные эффекты. Однако математическое броуновское движение лишено таких инерционных эффектов. В уравнении Ланжевена необходимо учитывать инерционные эффекты, иначе уравнение становится сингулярным. ^{[ необходимы пояснения ]} , чтобы простое удаление члена инерции из этого уравнения не дало точного описания, а скорее привело к единственному поведению, при котором частица вообще не движется. ^{[ нужны разъяснения ]}

Статистика

Броуновское движение можно смоделировать случайным блужданием. ^[28]

В общем случае броуновское движение является марковским процессом и описывается стохастическим интегральным уравнением . ^[29]

Характеристика Леви

Французский математик Поль Леви доказал следующую теорему, которая дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывный R ⁿ -значный случайный процесс X на самом деле был n -мерным броуновским движением. Следовательно, условие Леви фактически можно использовать как альтернативное определение броуновского движения.

Пусть X  = ( X1 _, ...,  Xn ) — непрерывный случайный процесс в вероятностном пространстве ₍ Ω, Σ,  P ) ^, принимающий значения в Rn . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X является броуновским движением относительно P , т. е. закон X относительно P такой же, как закон n -мерного броуновского движения, т. е. мера выталкивания X _∗ ( P ) является классической мерой Винера на C ₀ ([0, +∞);  Р ^н ).
2. оба
   1. X — мартингал относительно P (и своей естественной фильтрации ); и
   2. для всех 1 ≤  i ,  j  ≤  n , X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij t является мартингалом относительно P (и своей собственной естественной фильтрации ), где δ _ij обозначает дельту Кронекера .

Спектральный контент

Спектральный состав случайного процесса можно найти из спектральной плотности мощности , формально определяемой как ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$

где означает ожидаемое значение . Спектральная плотность мощности броуновского движения равна ^[30] ${\displaystyle \mathbb {E} }$

$${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$

где коэффициент диффузии . _ Для естественных сигналов спектральный состав может быть найден из спектральной плотности мощности одной реализации с конечным доступным временем, т. е. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$

которое для индивидуальной реализации траектории броуновского движения ^[31] имеет ожидаемое значение ${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$

$${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$

и дисперсия ^[31] ${\displaystyle \sigma _{BM}^{2}(\omega ,T)}$

$${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

При достаточно больших временах реализации ожидаемое значение спектра мощности одиночной траектории сходится к формально определенной спектральной плотности мощности , но ее коэффициент вариации стремится к . Это означает, что распределение широко даже в бесконечном временном интервале. ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}/\mu }$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$ ${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

Риманово многообразие

Броуновское движение на сфере

Инфинитезимальный генератор (и, следовательно, ^{характеристический} оператор ) броуновского движения на Rn легко вычисляется как ½Δ, где Δ обозначает оператор Лапласа . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Это наблюдение полезно при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M ,  g ): броуновское движение на M определяется как диффузия на M , характеристический оператор которой в локальных координатах x _i , 1 ≤  i  ≤  m , равен заданное выражением ½Δ _LB , где Δ _LB — оператор Лапласа–Бельтрами, заданное в локальных координатах выражением ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

где [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы .

Узкий побег

Проблема узкого выхода — это повсеместная проблема в биологии, биофизике и клеточной биологии, которая имеет следующую формулировку: броуновская частица ( ион , молекула или белок ) ограничена ограниченной областью (отделением или клеткой) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое он может убежать. Проблема узкого ухода заключается в вычислении среднего времени выхода. На этот раз время расходится по мере сжатия окна, что превращает расчет в задачу сингулярного возмущения .

Смотрите также

• Броуновский мост : броуновское движение, которое необходимо для «перекрытия» определенных значений в определенное время.
• Броуновская ковариация
• Броуновская динамика
• Броуновское движение частиц золя
• Броуновский двигатель
• Броуновский шум
• Броуновский храповик
• Броуновская поверхность
• Броуновское дерево
• Броуновская паутина
• Вращательное броуновское движение
• клинамен
• Сложная система
• Уравнение непрерывности
• Уравнение диффузии
• Геометрическое броуновское движение
• Диффузия Ито : обобщение броуновского движения
• Уравнение Ланжевена
• Закон арксинуса Леви
• Местное время (математика)
• Задача многих тел
• Эффект Марангони
• Анализ отслеживания наночастиц
• Проблема узкого побега
• Осмос
• Случайная прогулка
• Эволюция Шрамма – Лёвнера
• Траектории одиночных частиц
• Отслеживание одиночных частиц
• Статистическая механика
• Поверхностная диффузия : тип ограниченного броуновского движения.
• Тепловое равновесие
• Термодинамическое равновесие
• Обнаружение триангуляции
• Эффект Тиндаля : явление, в котором участвуют частицы; используется для различения различных типов смесей.
• Ультрамикроскоп

Рекомендации

1. Мейбург, Ян Филипп; Умирание, Детлеф (2017). «Обучение росту, созреванию и агломерации наноструктур в компьютерных экспериментах». Журнал химического образования . 94 (9): 1225–1231. Бибкод :2017ЖЧЭд..94.1225М. doi : 10.1021/acs.jchemed.6b01008.
2. Фейнман, Ричард (1964). «Броуновское движение». Фейнмановские лекции по физике, том I. п. 41.
3. Эйнштейн, Альберт (1905). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen» [О движении малых частиц, взвешенных в неподвижных жидкостях, требуемом молекулярно-кинетической теорией тепла] (PDF) . Аннален дер Физик (на немецком языке). 322 (8): 549–560. Бибкод : 1905АнП...322..549Е. дои : 10.1002/andp.19053220806 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
4. «Нобелевская премия по физике 1926 года». NobelPrize.org . Проверено 29 мая 2019 г.
5. Цеков, Румен (1995). «Броуновское движение молекул: классическая теория». Анна. унив. София . 88 : 57. arXiv : 1005.1490 . Бибкод : 1995AUSFC..88...57T. поведение броуновской частицы весьма нерегулярно и может быть описано только в рамках статистического подхода.
6. Найт, Фрэнк Б. (1 февраля 1962 г.). «О случайном блуждании и броуновском движении». Труды Американского математического общества . 103 (2): 218–228. дои : 10.1090/S0002-9947-1962-0139211-2 . ISSN  0002-9947.
7. "Принцип инвариантности Донскера - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 28 июня 2020 г.
8. Перрен, Жан (1914). Атомы. Лондон: Констебль. п. 115.
9. Табор, Д. (1991). Газы, жидкости и твердые тела: и другие состояния вещества (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 120. ИСБН 978-0-521-40667-3.
10. Мандельброт, Б.; Хадсон, Р. (2004). (Неправильное) поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Основные книги . ISBN 978-0-465-04355-2.
11. Эйнштейн, Альберт (1956) [1926]. Исследования по теории броуновского движения (PDF) . Дуврские публикации. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года . Проверено 25 декабря 2013 г.
12. Стэчел, Дж., изд. (1989). «Диссертация Эйнштейна по определению размеров молекул» (PDF) . Сборник статей Альберта Эйнштейна, том 2 . Издательство Принстонского университета. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
13. Лавенда, Бернард Х. (1985). Неравновесная статистическая термодинамика . Джон Уайли и сыновья. п. 20. ISBN 978-0-471-90670-4.
14. Томсон, Джей-Джей (1904). Электричество и материя. Издательство Йельского университета. стр. 80–83.
15. Нернст, Вальтер (1888). «Zur Kinetik der in Lösung befindlichen Körper». Zeitschrift für Physikalische Chemie (на немецком языке). 9 : 613–637.
16. Левёгл, Дж. (2004). «Относительность», Пуанкаре и Эйнштейн, Планк, Гильберт . Харматтан. п. 181.
17. Таунсенд, JES (1915). Электричество в газах. Кларендон Пресс. п. 254.
18. См. П. Кларк 1976, с. 97
19. Весь этот абзац см. в P. Clark 1976.
20. Смолуховский, ММ (1906). «Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d'un gas et sur son rapport avec la theorie de la диффузии» [О среднем пути, пройденном молекулами газа, и его связи с теорией диффузии]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (на французском языке): 202.
21. См. стр. 535 в Зоммерфельде, А. (1917). «Zum Andenken an Marian von Smoluchowski» [Памяти Мариан фон Смолуховский]. Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 18 (22): 533–539.
22. Смолуховский, ММ (1906). «Essai d'une theorie cinétique du mouvement Brownien et des milieux Troubles» [Тест кинетической теории броуновского движения и мутных сред]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (на французском языке): 577.
23. фон Смолуховский, М. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 326 (14): 756–780. Бибкод : 1906АнП...326..756В. дои : 10.1002/andp.19063261405.
24. Ли, Тонцан; Хейфец, Симон; Медельин, Дэвид; Райзен, Марк (2010). «Измерение мгновенной скорости броуновской частицы» (PDF) . Наука . 328 (5986): 1673–1675. Бибкод : 2010Sci...328.1673L. CiteSeerX 10.1.1.167.8245 . дои : 10.1126/science.1189403. PMID  20488989. S2CID  45828908. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2011 года. 
25. Мерритт, Дэвид (2013). Динамика и эволюция галактических ядер . Издательство Принстонского университета. п. 575. ИСБН 9781400846122. ОЛ  16802359Вт.
26. Рид, MJ; Брунталер, А. (2004). «Собственное движение Стрельца А*. II. Масса Стрельца А*». Астрофизический журнал . 616 (2): 872–884. arXiv : astro-ph/0408107 . Бибкод : 2004ApJ...616..872R. дои : 10.1086/424960. S2CID  16568545.
27. Басс, Ричард Ф. (2011). Случайные процессы. Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511997044. ISBN 978-1-107-00800-7.
28. Вайс, GH (1994). Аспекты и приложения случайного блуждания . Северная Голландия.
29. Морозов, АН; Скрипкин, А.В. (2011). «Броуновское движение сферической частицы в вязкой среде как немарковский случайный процесс». Буквы по физике А. 375 (46): 4113–4115. Бибкод : 2011PhLA..375.4113M. doi :10.1016/j.physleta.2011.10.001.
30. Карчуб, Д.Г.; Нортон, член парламента (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров, М. П. Нортон . дои : 10.1017/cbo9781139163927. ISBN 9781139163927.
31. Крапф, Диего; Маринари, Энцо; Мецлер, Ральф; Ошанин, Глеб; Сюй, Синьрань; Скуарчини, Алессио (2018). «Спектральная плотность мощности одной броуновской траектории: чему можно и чему нельзя научиться из нее». Новый журнал физики . 20 (2): 023029. arXiv : 1801.02986 . Бибкод : 2018NJPh...20b3029K. дои : 10.1088/1367-2630/aaa67c. ISSN  1367-2630. S2CID  485685.

дальнейшее чтение

• Браун, Роберт (1828). «Краткий отчет о микроскопических наблюдениях, сделанных в июне, июле и августе 1827 года над частицами, содержащимися в пыльце растений; и об общем существовании активных молекул в органических и неорганических телах» (PDF) . Философский журнал . 4 (21): 161–173. дои : 10.1080/14786442808674769. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.Также включает последующую защиту Брауном своих первоначальных наблюдений « Дополнительные замечания об активных молекулах ».
• Шодесиг, М. (1908). «Le mouvement Brownien et la Formulae Einstein» [Брауновское движение и формула Эйнштейна]. Comptes Rendus (на французском языке). 147 : 1044–6.
• Кларк, П. (1976). «Атомизм против термодинамики». В Хаусоне, Колин (ред.). Метод и оценка в физических науках . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521211109.
• Коэн, Рубен Д. (1986). «Самоподобие в броуновском движении и других эргодических явлениях» (PDF) . Журнал химического образования . 63 (11): 933–934. Бибкод : 1986JChEd..63..933C. дои : 10.1021/ed063p933. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
• Дубинс, Лестер Э.; Шварц, Гидеон (15 мая 1965 г.). «О непрерывных мартингалах». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 53 (3): 913–916. Бибкод : 1965PNAS...53..913D. дои : 10.1073/pnas.53.5.913 . JSTOR  72837. PMC  301348 . ПМИД  16591279.
• Эйнштейн, А. (1956). Исследования по теории броуновского движения . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-60304-9. Проверено 6 января 2014 г.
• Анри, В. (1908). «Études cinématographique du mouvement Brownien» [Кинематографические исследования броуновского движения]. Comptes Rendus (на французском языке) (146): 1024–6.
• Лукреций , «О природе вещей » в переводе Уильяма Эллери Леонарда . ( онлайн-версия , из Project Gutenberg . См. рубрику «Атомные движения»; этот перевод немного отличается от цитируемого).
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения . (PDF-версия этой распроданной книги, с веб-страницы автора.) Это в первую очередь математическая работа, но в первых четырех главах обсуждается история этой темы в эпоху от Брауна до Эйнштейна.
• Перл, П.; Коллетт, Б.; Барт, К.; Бильдербек, Д.; Ньюман, Д.; Сэмюэлс, С. (2010). «То, что видел Браун, и ты тоже можешь». Американский журнал физики . 78 (12): 1278–1289. arXiv : 1008.0039 . Бибкод : 2010AmJPh..78.1278P. дои : 10.1119/1.3475685. S2CID  12342287.
• Перрен, Дж. (1909). «Mouvement Brownien et Réalité moléculaire» [Брауновское движение и молекулярная реальность]. Анналы химии и телосложения . 8-я серия. 18 :5–114.
  • См. также книгу Перрена «Les Atomes» (1914).
• фон Смолуховский, М. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». Аннален дер Физик . 21 (14): 756–780. Бибкод : 1906АнП...326..756В. дои : 10.1002/andp.19063261405.
• Сведберг, Т. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen .
• Тайле, Теннесси
  • Датская версия: «Om Anvendelse af Mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Complikation af Visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder Giver Fejlene en 'systematisk' Karakter».
  • Французская версия: «Sur la компенсации de quelques erreurs quasi-systematiques par la méthodes de moindre carrés», опубликованная одновременно в Виденске. Сельск. Скр. 5. Рк., натурвид. ой мат. Ад. , 12:381–408, 1880.

Внешние ссылки

• Эйнштейн о броуновском движении
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
• «Предсказание Эйнштейна, наконец, стало свидетелем столетие спустя»: тест для наблюдения за скоростью броуновского движения
• Крупномасштабная демонстрация броуновского движения