трапеция

Выпуклый четырехугольник, имеющий по крайней мере одну пару параллельных сторон.

В геометрии трапеция ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) в североамериканском английском или трапеция ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ) в британском английском [ ^{1] [2]} — это четырёхугольник , имеющий одну пару параллельных сторон.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Другие две стороны называются боковыми сторонами (или боковыми сторонами ), если они не параллельны; в противном случае трапеция является параллелограммом, и существует две пары оснований. Разносторонняя трапеция — это трапеция, у которой нет сторон равной меры, ^[3] в отличие от особых случаев ниже.

Трапеция обычно считается выпуклым четырехугольником в евклидовой геометрии , но есть и перекрещенные случаи. Если ABCD — выпуклая трапеция, то ABDC — перекрещенная трапеция. Метрические формулы в этой статье применимы к выпуклым трапециям.

Этимология итрапецияпротивтрапеция

Определения Хаттона в 1795 году ^[4]

Древнегреческий математик Евклид определил пять типов четырехугольников, из которых четыре имели два набора параллельных сторон (известные в английском языке как квадрат, прямоугольник, ромб и ромбоид), а последний не имел двух наборов параллельных сторон – τραπέζια ( трапеция ^[5] буквально «стол», от τετράς ( тетрас ) «четыре» + πέζα ( пеза ) «нога; конец, граница, край»). ^[6]

Два типа трапеций были введены Проклом (412–485 гг. н. э.) в его комментарии к первой книге « Начал» Евклида : ^{[4] [7]}

• одна пара параллельных сторон – трапеция (τραπέζιον), разделенная на равнобедренные (равные по длине) и разносторонние (неравные) трапеции
• нет параллельных сторон - трапеция (τραπεζοειδή, трапеция , буквально «трапециевидный» (εἶδος означает «похожий»), точно так же, как кубоид означает « кубоподобный », а ромбоид означает « подобный ромбу »)

Все европейские языки следуют структуре Прокла ^{[7] [8],} как и английский до конца 18 века, пока влиятельный математический словарь, опубликованный Чарльзом Хаттоном в 1795 году, не поддержал без объяснений транспозицию терминов. Это было отменено в британском английском примерно в 1875 году, но сохранилось в американском английском до настоящего времени. ^[4]

В следующей таблице сравниваются варианты использования: наиболее конкретные определения находятся вверху, а наиболее общие — внизу.

Инклюзивное и исключительное определение

Существуют разногласия по поводу того, следует ли считать трапециями параллелограммы , имеющие две пары параллельных сторон.

Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. ^[11] Некоторые источники используют термин «правильная трапеция» для описания трапеций в рамках исключительного определения, аналогично использованию слова «правильная» в некоторых других математических объектах. ^[12]

Другие ^{[13] [ неудачная проверка ]} определяют трапецию как четырехугольник с по крайней мере одной парой параллельных сторон (включающее определение ^[14] ), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление . В этой статье используется включающее определение и параллелограммы рассматриваются как особые случаи трапеции. Это также отстаивается в таксономии четырехугольников .

Согласно инклюзивному определению, все параллелограммы (включая ромбы , квадраты и неквадратные прямоугольники ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию относительно средних ребер; ромбы имеют зеркальную симметрию относительно вершин, в то время как квадраты имеют зеркальную симметрию как относительно средних ребер, так и относительно вершин.

Особые случаи

Особые случаи трапеции. Оранжевые фигуры также можно квалифицировать как параллелограммы.

Прямая трапеция (также называемая прямоугольной трапецией ) имеет два смежных прямых угла . ^[13] Прямые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.

Остроугольная трапеция имеет два смежных острых угла на более длинной стороне основания .

С другой стороны, тупоугольная трапеция имеет один острый и один тупой угол на каждом основании .

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой углы при основании имеют одинаковую меру. Как следствие, обе стороны также имеют одинаковую длину, и она имеет зеркальную симметрию . Это возможно для остроугольных трапеций или прямых трапеций (как прямоугольников).

Параллелограмм (согласно инклюзивному определению) — трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или симметрию отражения относительно точки ). Это возможно для тупоугольных трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

Тангенциальная трапеция — это трапеция, имеющая вписанную окружность .

Четырехугольник Саккери подобен трапеции в гиперболической плоскости с двумя смежными прямыми углами, тогда как в евклидовой плоскости это прямоугольник . Четырехугольник Ламберта в гиперболической плоскости имеет 3 прямых угла.

Состояние существования

Четыре длины a , c , b , d могут составлять последовательные стороны трапеции, не являющейся параллелограммом, с параллельными a и b только тогда, когда ^[15]

${\displaystyle \displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.}$

Четырехугольник является параллелограммом, когда , но является внеописанным четырехугольником (который не является трапецией), когда . ^{[16] : стр. 35} ${\displaystyle d-c=b-a=0}$ ${\displaystyle |d-c|=|b-a|\neq 0}$

Характеристика

общая трапеция:
параллельные стороны: с катетами: диагонали: средняя линия: высота: ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle a<b}$
${\displaystyle c,\,d}$
${\displaystyle q,\,p}$
${\displaystyle m}$
${\displaystyle h}$

трапеция/трапеция с противолежащими треугольниками, образованными диагоналями ${\displaystyle S,\,T}$

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них означает, что четырехугольник является трапецией:

• Он имеет два смежных угла , которые являются дополнительными , то есть их сумма составляет 180 градусов .
• Угол между стороной и диагональю равен углу между противолежащей стороной и той же диагональю.
• Диагонали пересекают друг друга в одинаковом отношении (это отношение такое же, как и между длинами параллельных сторон).
• Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противолежащая пара имеет равные площади. ^{[16] : Предложение 5}
• Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю. ^{[16] : Теор.6}
• Площади S и T некоторых двух противолежащих треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

где K — площадь четырехугольника. ^{[16] : Теор.8}

• Средние точки двух противоположных сторон трапеции и пересечение диагоналей лежат на одной прямой . ^{[16] : Теор.15}
• Углы четырехугольника ABCD удовлетворяют ^{[16] : стр. 25} ${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Сумма косинусов двух смежных углов равна 0, как и сумма косинусов двух других углов. ^{[16] : стр. 25}
• Котангенсы двух смежных углов в сумме равны 0, как и котангенсы двух других смежных углов. ^{[16] : стр. 26}
• Одна бимедиана делит четырехугольник на два четырехугольника равной площади. ^{[16] : стр. 26}
• Удвоенная длина бимедианы, соединяющей середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон. ^{[16] : стр. 31}

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:

• Последовательные стороны a , c , b , d и диагонали p , q удовлетворяют уравнению ^{[16] : Cor.11}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению ^{[16] : Теор.12}

${\displaystyle v={\frac {|a-b|}{2}}.}$

Средний сегмент и высота

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям. Ее длина m равна среднему значению длин оснований a и b трапеции, ^[13]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

Средняя линия трапеции — одна из двух бимедиан (другая бимедиана делит трапецию на равные части).

Высота (или altitude) — это перпендикулярное расстояние между основаниями. В случае, если два основания имеют разную длину ( a ≠ b ), высота трапеции h может быть определена по длине ее четырех сторон с помощью формулы ^[13]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-b-d)(p-b-c)}}{2|b-a|}}}$

где c и d — длины сторон и . ${\displaystyle p=a+b+c+d}$

Область

Площадь трапеции K определяется по формуле ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

где a и b — длины параллельных сторон, h — высота (перпендикулярное расстояние между этими сторонами), а m — среднее арифметическое длин двух параллельных сторон. В 499 году нашей эры Арьябхата , великий математик - астроном из классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.8). Это дает в качестве частного случая известную формулу для площади треугольника , рассматривая треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась в точку.

Индийский математик VII века Бхаскара I вывел следующую формулу для площади трапеции с последовательными сторонами a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((b-a)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}\right)^{2}}}}$

где a и b параллельны и b > a . ^[17] Эту формулу можно разложить на более симметричную версию ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|b-a|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.}$

Когда одна из параллельных сторон сжимается до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника.

Другая эквивалентная формула для площади, которая больше напоминает формулу Герона, имеет вид ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}}$

где — полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты , но отличается от нее тем, что трапеция может не быть вписанной (вписанной в окружность). Формула также является частным случаем формулы Бретшнайдера для общего четырехугольника ). ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Из формулы Бретшнайдера следует, что

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(b-a)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

Бимедиана , соединяющая параллельные стороны, делит площадь пополам.

Диагонали

Длины диагоналей равны ^[13]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}}$

где a — короткое основание, b — длинное основание, а c и d — стороны трапеции.

Если трапеция разделена на четыре треугольника диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O , то площадь AOD равна площади BOC , а произведение площадей AOD и BOC равно площади AOB и COD . Отношение площадей каждой пары смежных треугольников такое же, как и отношение длин параллельных сторон. ^[13] ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

Пусть трапеция имеет вершины A , B , C и D в последовательности и имеет параллельные стороны AB и DC . Пусть E будет пересечением диагоналей, и пусть F будет на стороне DA , а G будет на стороне BC так, что FEG параллелен AB и CD . Тогда FG является гармоническим средним AB и DC : ^[18]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

Линия, проходящая через точку пересечения продолженных непараллельных сторон и точку пересечения диагоналей, делит каждое основание пополам. ^[19]

Другие свойства

Центр площади (центр масс для однородной пластины ) лежит вдоль отрезка прямой, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от более длинной стороны b, определяемом формулой ^[20]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

Центр области делит этот сегмент в соотношении (взятом от короткой стороны к длинной) ^{[21] : стр. 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Если биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке Q , то ^[19]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

Приложения

Храм Дендур в Метрополитен-музее в Нью-Йорке

Архитектура

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных более широкими у основания, сужающимися к вершине, в египетском стиле. Если у них прямые стороны и острые углы, их формы обычно представляют собой равнобедренные трапеции . Это был стандартный стиль для дверей и окон инков . [ ^22]

Геометрия

Задача о скрещенных лестницах — это задача нахождения расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции, если известны длины диагоналей и расстояние от перпендикулярного катета до пересечения диагоналей.

Биология

Пример трапециевидной переднеспинки, изображенной на молочае

В морфологии , таксономии и других описательных дисциплинах, в которых необходим термин для таких форм, такие термины, как трапециевидный или трапециевидный, обычно полезны при описании конкретных органов или форм. ^[23]

Компьютерная инженерия

В компьютерной инженерии, в частности, в цифровой логике и архитектуре компьютеров, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров . Мультиплексоры — это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и производят один выходной сигнал на основе выбранного сигнала. Типичные конструкции будут использовать трапеции без специального указания, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

Смотрите также

• Усеченный конус , тело с трапециевидными гранями
• Вежливое число , также известное как трапециевидное число
• Клин — многогранник, образованный двумя треугольниками и тремя трапециевидными гранями.

Ссылки

1. "Трапеция – определение математического слова – Math Open Reference". www.mathopenref.com . Получено 2024-05-15 .
2. AD Gardiner & CJ Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems , UKMT, 2005, стр. 34.
3. "Типы четырехугольников". Basic-mathematics.com .
4. James AH Murray (1926). Новый английский словарь исторических принципов: основанный главным образом на материалах, собранных Филологическим обществом. Том X. Clarendon Press в Оксфорде. стр. 286 (Трапеция). Вместе с Евклидом (ок. 300 г. до н. э.) τραπέζιον включал все четырехугольные фигуры, кроме квадрата, прямоугольника, ромба и ромбоида; в разновидности трапеции он не входил. Но Прокл, написавший Комментарии к первой книге «Начал» Евклида в 450 г. н. э., сохранил название τραπέζιον только для четырехугольников, имеющих две параллельные стороны, подразделив их на τραπέζιον ἰσοσκελὲς, равнобедренную трапецию, имеющую две непараллельные стороны (и углы при их основаниях) равными, и σκαληνὸν τραπέζιον, разностороннюю трапецию, в которой эти стороны и углы не равны. Для четырехугольников, не имеющих параллельных сторон, Прокл ввел название τραπέζοειδὲς ТРАПЕЦИЯ. Эта номенклатура сохранилась во всех континентальных языках и была универсальной в Англии до конца XVIII века, когда применение терминов было транспонировано, так что фигура, которую Прокл и современные геометры других стран называют трапецией (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio), стала у большинства английских авторов трапецией, а трапеция Прокла и других стран трапецией. Это измененное значение трапеции дано в Математическом словаре Хаттона 1795 года как «иногда» используемое — он не говорит кем; но он сам, к сожалению, принял и использовал его, и его Словарь, несомненно, был главным агентом в его распространении. Некоторые геометры, однако, продолжали использовать термины в их первоначальном значении, и с 1875 года это является преобладающим использованием.
5. "Евклид, Элементы, книга 1, тип Def, номер 22". www.perseus.tufts.edu .
6. πέζα считается дорической и аркадской формой πούς 'ступня', но зафиксировано только в значении 'подъем [человеческой ноги]', откуда и значение 'край, граница'. τράπεζα 'стол' является гомеровским. Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Генри Стюарт Джонс, A Greek-English Lexicon , Oxford, Clarendon Press (1940), sv πέζα, τράπεζα.
7. Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5 апреля 2016 г.). Симметрии вещей. CRC Press. стр. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0.
8. Например: французская трапеция , итальянская трапеция , португальская трапеция , испанская трапеция , немецкая трапеция , украинская «трапеція», например «Определение трапеции по Ларуссу».
9. "chambersharrap.co.uk" . www.chambersharrap.co.uk .
10. "Американское определение трапеции 1913 года". Онлайн-словарь Merriam-Webster . Получено 10 декабря 2007 г.
11. "Американское школьное определение с сайта "math.com"" . Получено 14 апреля 2008 г.
12. Мишон, Жерар П. "История и номенклатура" . Получено 09.06.2023 .
13. Вайсстейн, Эрик В. «Трапеция». MathWorld .
14. Трапеции, [1]. Получено 24.02.2012.
15. Спросите доктора Математика (2008), «Площадь трапеции, зная только длины сторон».
16. Мартин Йозефссон, «Характеристики трапеций», Forum Geometricorum, 13 (2013) 23–35.
17. TK Puttaswamy, Математические достижения индийских математиков досовременного периода , Elsevier, 2012, стр. 156.
18. "Задача по геометрии 747 по математическому образованию: трапеция, диагонали, параллель, основания, середина, подобие, среднее гармоническое. Уровень: средняя школа, геометрия с отличием, колледж, математическое образование. Дистанционное обучение". gogeometry.com . Получено 15.05.2024 .
19. Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейрдре Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 55.
20. "Центроид, площадь, моменты инерции, полярные моменты инерции и радиус инерции общей трапеции". www.efunda.com . Получено 2024-05-15 .
21. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, очерчивающие окружности» (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (10): 853–863. doi :10.2307/4145094. JSTOR  4145094 . Получено 06.04.2016 .
22. "Мачу-Пикчу, затерянный город инков – Геометрия инков". gogeometry.com . Получено 13.02.2018 .
23. Джон Л. Капинера (11 августа 2008 г.). Энциклопедия энтомологии. Springer Science & Business Media. С. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1.

Дальнейшее чтение

• Д. Фрайверт, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников

Внешние ссылки

• «Трапеция» в Энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик В. "Прямая трапеция". MathWorld .
• Определение трапеции, Площадь трапеции, Медиана трапеции (с интерактивной анимацией)
• Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (построение, окружность, площадь)
• Правило трапеции по численным методам для бакалавриата по программе Stem
• Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы и их приложения (2008)