Число Капрекара

Свойство целых чисел, зависящее от основания

В математике натуральное число в данной системе счисления является - числом Капрекара, если представление его квадрата в этой системе счисления можно разбить на две части, где вторая часть имеет цифры, которые в сумме дают исходное число. Например, в системе счисления с основанием 10 число 45 является 2-числом Капрекара, потому что 45² = 2025, а 20 + 25 = 45. Числа названы в честь Д. Р. Капрекара . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Определение и свойства

Пусть — натуральное число. Тогда функция Капрекара для основания и степени определяется следующим образом: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\alpha +\beta }$,

где и ${\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}}$

Натуральное число является - числом Капрекара, если оно является неподвижной точкой для , что имеет место, если . и являются тривиальными числами Капрекара для всех и , все остальные числа Капрекара являются нетривиальными числами Капрекара . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Предыдущий пример 45 удовлетворяет этому определению с и , поскольку ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20}$

${\displaystyle F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45}$

Натуральное число является общительным числом Капрекара, если оно является периодической точкой для , где для положительного целого числа (где — -я итерация ) , и образует цикл периода . Число Капрекара является общительным числом Капрекара с , а дружественное число Капрекара является общительным числом Капрекара с . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

Число итераций, необходимых для достижения фиксированной точки, равно постоянству функции Капрекара , и не определено, если функция никогда не достигает фиксированной точки. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Для данной базы существует только конечное число чисел Капрекара и циклов , потому что если , где тогда ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n=b^{p}+m}$ ${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}}$

и , , и . Только тогда существуют числа и циклы Капрекара. ${\displaystyle \beta =m^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =b^{p}+2m}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n}$ ${\displaystyle n\leq b^{p}}$

Если является любым делителем числа , то также является числом -Капрекара для основания . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b^{p}}$

В системе счисления с основанием все четные совершенные числа являются числами Капрекара. В более общем смысле, любые числа вида или для натурального числа являются числами Капрекара в системе счисления с основанием 2 . ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}+1)}$ ${\displaystyle n}$

Теоретико-множественное определение и унитарные делители

Множество для данного целого числа можно определить как множество целых чисел , для которых существуют натуральные числа и удовлетворяющие диофантову уравнению ^[1] ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X^{2}=AN+B}$, где ${\displaystyle 0\leq B<N}$

${\displaystyle X=A+B}$

Тогда число -Капрекара для основания — это число, которое лежит в множестве . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K(b^{n})}$

^{В 2000 году [1]} было показано , что существует биекция между унитарными делителями и множеством, определенным выше. Пусть обозначает мультипликативное обратное к модулю , а именно наименьшее положительное целое число такое, что , и для каждого унитарного делителя пусть и . Тогда функция является биекцией из множества унитарных делителей на множество . В частности, число принадлежит множеству тогда и только тогда, когда для некоторого унитарного делителя . ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Inv} (a,c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle am=1{\bmod {c}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle e={\frac {N-1}{d}}}$ ${\displaystyle \zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X=d\ {\text{Inv}}(d,e)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$

Числа в встречаются в дополнительных парах, и . Если — унитарный делитель , то таковым является , а если , то . ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N-X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle e={\frac {N-1}{d}}}$ ${\displaystyle X=d\operatorname {Inv} (d,e)}$ ${\displaystyle N-X=e\operatorname {Inv} (e,d)}$

Числа Капрекара для F p , b {\displaystyle F_{p,b}}

б= 4к+ 3 ип= 2н+ 1

Пусть и — натуральные числа, основание системы счисления , а . Тогда: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=4k+3=2(2k+1)+1}$ ${\displaystyle p=2n+1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$— число Капрекара.

Доказательство

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\end{aligned}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}}$

Два числа и являются ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

и их сумма равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}&=X_{1}\\\end{aligned}}}$

Таким образом, — число Капрекара. ${\displaystyle X_{1}}$

• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1}$является числом Капрекара для всех натуральных чисел . ${\displaystyle n}$

Доказательство

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\end{aligned}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}}$

Два числа и являются ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

и их сумма равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\end{aligned}}}$

Таким образом, — число Капрекара. ${\displaystyle X_{2}}$

б=м2к+м+ 1 ип=mn+ 1

Пусть , , и — натуральные числа, основание числа , а степень . Тогда: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m+1}$ ${\displaystyle p=mn+1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$— число Капрекара.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1}$— число Капрекара.

б=м2к+м+ 1 ип=mn+м− 1

Пусть , , и — натуральные числа, основание числа , а степень . Тогда: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$— число Капрекара.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1}$— число Капрекара.

б=м2к+м2−м+ 1 ип=mn+ 1

Пусть , , и — натуральные числа, основание числа , а степень . Тогда: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m^{2}-m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$— число Капрекара.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1}$— число Капрекара.

б=м2к+м2−м+ 1 ип=mn+м− 1

Пусть , , и — натуральные числа, основание числа , а степень . Тогда: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m^{2}-m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$— число Капрекара.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1}$— число Капрекара.

Числа Капрекара и циклы F p , b {\displaystyle F_{p,b}} для конкретных p {\displaystyle p} , b {\displaystyle b}

Все номера в базе . ${\displaystyle b}$

Расширение на отрицательные целые числа

Числа Капрекара можно расширить до отрицательных целых чисел, используя знаковое цифровое представление для представления каждого целого числа.

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Автоморфное число
• Число Дьюдени
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Совершенный инвариант от цифры к цифре
• Совершенный цифровой инвариант
• Сумма-произведение числа

Примечания

1. Iannucci (2000)

Ссылки

• DR Kaprekar (1980–1981). «О числах Капрекара». Журнал занимательной математики . 13 : 81–82.
• М. Чарош (1981–1982). «Некоторые применения отбрасывания 999...». Журнал занимательной математики . 14 : 111–118.
• Iannucci, Douglas E. (2000). "Числа Капрекара". Журнал целочисленных последовательностей . 3 : 00.1.2. Bibcode :2000JIntS...3...12I.