Диофантово уравнение

Polynomial equation whose integer solutions are sought

Нахождение всех прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон эквивалентно решению диофантова уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

В математике диофантово уравнение — это уравнение , обычно полиномиальное уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, для которого интерес представляют только целочисленные решения. Линейное диофантово уравнение равно константе, сумме двух или более одночленов , каждый из которых имеет степень один. Показательное диофантово уравнение — это уравнение, в котором неизвестные могут появляться в показателях степеней .

Диофантовы задачи имеют меньше уравнений, чем неизвестных, и включают в себя нахождение целых чисел, которые решают одновременно все уравнения. Поскольку такие системы уравнений определяют алгебраические кривые , алгебраические поверхности или, в более общем смысле, алгебраические множества , их изучение является частью алгебраической геометрии , которая называется диофантовой геометрией .

Слово «диофантов» относится к эллинистическому математику 3-го века, Диофанту Александрийскому , который изучал такие уравнения и был одним из первых математиков, введших символику в алгебру . Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом , теперь называется диофантовым анализом .

В то время как отдельные уравнения представляют собой своего рода головоломку и рассматривались на протяжении всей истории, формулировка общих теорий диофантовых уравнений (за пределами случая линейных и квадратных уравнений) стала достижением двадцатого века.

Примеры

В следующих диофантовых уравнениях w, x, y и z являются неизвестными, а остальные буквы — константами:

Линейные диофантовы уравнения

Одно уравнение

Простейшее линейное диофантово уравнение имеет вид где a , b и c — заданные целые числа. Решения описываются следующей теоремой: $${\displaystyle ax+by=c,}$$

Это диофантово уравнение имеет решение (где x и y — целые числа) тогда и только тогда, когда c — кратное наибольшего общего делителя a и b . Более того, если ( x, y ) — решение, то другие решения имеют вид ( x + kv, y − ku ) , где k — произвольное целое число, а u и v — частные a и b (соответственно) по наибольшему общему делителю a и b .

Доказательство: Если d — этот наибольший общий делитель, тождество Безу утверждает существование целых чисел e и f, таких что ae + bf = d . Если c кратно d , то c = dh для некоторого целого числа h , и ( eh, fh ) является решением. С другой стороны, для каждой пары целых чисел x и y наибольший общий делитель d чисел a и b делит ax + на . Таким образом, если уравнение имеет решение, то c должно быть кратно d . Если a = ud и b = vd , то для каждого решения ( x, y ) мы имеем показывающее, что ( x + kv, y − ku ) является другим решением. Наконец, если даны два решения, из которых следует, что поскольку u и v взаимно просты , лемма Евклида показывает, что v делит x ₂ − x ₁ , и, таким образом, существует целое число k такое, что оба Поэтому, что завершает доказательство. $${\displaystyle {\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,}$$ $${\displaystyle u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.}$$ $${\displaystyle x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.}$$ $${\displaystyle x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,}$$

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках описывает важный класс линейных диофантовых систем уравнений: пусть будет k попарно взаимно простых целых чисел, больших единицы, будет k произвольных целых чисел, а N будет произведением. Китайская теорема об остатках утверждает, что следующая линейная диофантова система имеет ровно одно решение, такое что 0 ≤ x < N , и что другие решения получаются путем прибавления к x числа, кратного N : ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ ${\displaystyle n_{1}\cdots n_{k}.}$ ${\displaystyle (x,x_{1},\dots ,x_{k})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$$

Система линейных диофантовых уравнений

В более общем смысле, каждая система линейных диофантовых уравнений может быть решена путем вычисления нормальной формы Смита ее матрицы, способом, который аналогичен использованию приведенной ступенчатой ​​формы строк для решения системы линейных уравнений над полем. Используя матричную нотацию, каждая система линейных диофантовых уравнений может быть записана , где A — матрица m × n целых чисел, X — матрица столбцов n × 1 неизвестных, а C — матрица столбцов m × 1 целых чисел. $${\displaystyle AX=C,}$$

Вычисление нормальной формы Смита для A дает две унимодулярные матрицы (то есть матрицы, которые обратимы над целыми числами и имеют ±1 в качестве определителя) U и V соответствующих размеров m × m и n × n , так что матрица такова, что b _i,i не равно нулю для i, не большего некоторого целого числа k , а все остальные элементы равны нулю. Таким образом, решаемая система может быть переписана как Называя y _i элементами V ⁻¹ X и d _i элементами D = UC , это приводит к системе $${\displaystyle B=[b_{i,j}]=UAV}$$ $${\displaystyle B(V^{-1}X)=UC.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}}$$

Эта система эквивалентна данной в следующем смысле: матрица-столбец целых чисел x является решением данной системы тогда и только тогда, когда x = Vy для некоторой матрицы-столбца целых чисел y такой, что By = D.

Отсюда следует, что система имеет решение тогда и только тогда, когда b _i,i делит d _i при i ≤ k и d _i = 0 при i > k . Если это условие выполняется, то решения данной системы имеют вид где h _{k +1} , …, h _n — произвольные целые числа. $${\displaystyle V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,}$$

Нормальная форма Эрмита также может быть использована для решения систем линейных диофантовых уравнений. Однако нормальная форма Эрмита не дает решений напрямую; чтобы получить решения из нормальной формы Эрмита, нужно последовательно решить несколько линейных уравнений. Тем не менее, Ричард Циппель писал, что нормальная форма Смита «несколько больше, чем на самом деле требуется для решения линейных диофантовых уравнений. Вместо того, чтобы приводить уравнение к диагональной форме, нам нужно только сделать его треугольным, что называется нормальной формой Эрмита. Нормальную форму Эрмита существенно легче вычислить, чем нормальную форму Смита». ^[6]

Целочисленное линейное программирование сводится к поиску некоторых целочисленных решений (оптимальных в некотором смысле) линейных систем, которые включают также неравенства . Таким образом, системы линейных диофантовых уравнений являются базовыми в этом контексте, и учебники по целочисленному программированию обычно содержат рассмотрение систем линейных диофантовых уравнений. ^[7]

Однородные уравнения

Однородное диофантово уравнение — это диофантово уравнение, которое определяется однородным многочленом . Типичным таким уравнением является уравнение Великой теоремы Ферма.

${\displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}$

Поскольку однородный многочлен от n неизвестных определяет гиперповерхность в проективном пространстве размерности n − 1 , решение однородного диофантова уравнения совпадает с нахождением рациональных точек проективной гиперповерхности.

Решение однородного диофантова уравнения, как правило, является очень сложной задачей, даже в простейшем нетривиальном случае трех неизвестных (в случае двух неизвестных задача эквивалентна проверке того, является ли рациональное число степенью d другого рационального числа). Свидетельством сложности задачи является Великая теорема Ферма (при d > 2 не существует целочисленного решения приведенного выше уравнения), на решение которой потребовалось более трех столетий усилий математиков.

Для степеней выше трех наиболее известными результатами являются теоремы, утверждающие, что решений не существует (например, Великая теорема Ферма) или что число решений конечно (например, теорема Фальтинга ).

Для третьей степени существуют общие методы решения, которые работают почти для всех уравнений, встречающихся на практике, но неизвестен алгоритм, который работал бы для каждого кубического уравнения. ^[8]

Степень два

Однородные диофантовы уравнения второй степени решать проще. Стандартный метод решения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти одно решение или доказать, что решения нет. Когда решение найдено, выводятся все решения.

Для доказательства отсутствия решения можно привести уравнение к модулю p . Например, диофантово уравнение

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2},}$

не имеет другого решения, кроме тривиального решения (0, 0, 0) . Фактически, разделив x, y и z на их наибольший общий делитель , можно предположить, что они взаимно просты . Квадраты по модулю 4 сравнимы с 0 и 1. Таким образом, левая часть уравнения сравнима с 0, 1 или 2, а правая часть сравнима с 0 или 3. Таким образом, равенство может быть получено только в том случае, если x, y и z все четные и, следовательно, не являются взаимно простыми. Таким образом, единственным решением является тривиальное решение (0, 0, 0) . Это показывает, что на окружности радиуса с центром в начале координат нет рациональной точки . ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$

В более общем смысле принцип Хассе позволяет определить, имеет ли однородное диофантово уравнение второй степени целочисленное решение, и вычислить решение, если таковое существует.

Если известно нетривиальное целочисленное решение, то можно получить все остальные решения следующим образом.

Геометрическая интерпретация

Позволять

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

— однородное диофантово уравнение, где — квадратичная форма (то есть однородный многочлен степени 2) с целыми коэффициентами. Тривиальное решение — это решение, где все равны нулю. Если — нетривиальное целочисленное решение этого уравнения, то — однородные координаты рациональной точки гиперповерхности, определяемой Q . Обратно, если — однородные координаты рациональной точки этой гиперповерхности, где — целые числа, то — целочисленное решение диофантова уравнения. Более того, целочисленные решения, которые определяют данную рациональную точку, — это все последовательности вида ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

где k — любое целое число, а d — наибольший общий делитель ${\displaystyle p_{i}.}$

Отсюда следует, что решение диофантова уравнения полностью сводится к нахождению рациональных точек соответствующей проективной гиперповерхности. ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Параметризация

Пусть теперь будет целочисленным решением уравнения Поскольку Q является многочленом второй степени, прямая, проходящая через A, пересекает гиперповерхность в единственной другой точке, которая является рациональной тогда и только тогда, когда прямая рациональна (то есть если прямая определяется рациональными параметрами). Это позволяет параметризовать гиперповерхность прямыми, проходящими через A , а рациональными точками являются те, которые получены из рациональных прямых, то есть те, которые соответствуют рациональным значениям параметров. ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

Точнее, можно поступить следующим образом.

Переставляя индексы, можно предположить, не теряя общности, что Тогда можно перейти к аффинному случаю, рассмотрев аффинную гиперповерхность , определяемую соотношением ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

который имеет рациональную точку

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).}$

Если эта рациональная точка является особой точкой , то есть если все частные производные равны нулю в точке R , все прямые, проходящие через R, содержатся в гиперповерхности, и одна из них имеет конус . Замена переменных

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

не изменяет рациональные точки и преобразует q в однородный многочлен от n − 1 переменных. В этом случае задача может быть решена путем применения метода к уравнению с меньшим числом переменных.

Если многочлен q является произведением линейных многочленов (возможно, с нерациональными коэффициентами), то он определяет две гиперплоскости . Пересечение этих гиперплоскостей является рациональной плоскостью и содержит рациональные особые точки. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего случая.

В общем случае рассмотрим параметрическое уравнение прямой, проходящей через R :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}$

Подставляя это в q , получаем многочлен второй степени по x ₁ , который равен нулю при x ₁ = r ₁ . Таким образом, он делится на x ₁ – r ₁ . Частное линейно по x ₁ и может быть решено для выражения x ₁ как частного двух многочленов степени не выше второй по с целыми коэффициентами: ${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.}$

Подставляя это в выражения для получаем, для i = 1, …, n − 1 , ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},}$

где — многочлены степени не выше второй с целыми коэффициентами. ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

Тогда можно вернуться к однородному случаю. Пусть для i = 1, …, n ,

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

быть гомогенизацией Эти квадратичные многочлены с целыми коэффициентами образуют параметризацию проективной гиперповерхности, определяемой Q : ${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$

Точка проективной гиперповерхности, определяемой Q, рациональна тогда и только тогда, когда она может быть получена из рациональных значений Поскольку являются однородными многочленами, точка не изменится, если все t _i умножатся на одно и то же рациональное число. Таким образом, можно предположить, что являются взаимно простыми целыми числами . Отсюда следует, что целочисленные решения диофантова уравнения — это в точности последовательности , где для i = 1, ..., n , ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

где k — целое число, — взаимно простые целые числа, а d — наибольший общий делитель n целых чисел ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

Можно было бы надеяться, что из взаимной простоты t _i следует, что d = 1. К сожалению, это не так, как показано в следующем разделе.

Пример пифагорейских троек

Уравнение

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

вероятно, является первым изученным однородным диофантовым уравнением второй степени. Его решениями являются пифагоровы тройки . Это также однородное уравнение единичной окружности . В этом разделе мы покажем, как указанный выше метод позволяет получить формулу Евклида для генерации пифагоровы тройки.

Для точного получения формулы Евклида мы начинаем с решения (−1, 0, 1) , соответствующего точке (−1, 0) единичной окружности. Прямая, проходящая через эту точку, может быть параметризована ее наклоном:

${\displaystyle y=t(x+1).}$

Подставляем это в уравнение окружности

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

один получает

${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

Деление на x + 1 дает

${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

что легко решить относительно x :

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Из этого следует

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Гомогенизируя, как описано выше, получаем все решения в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$

где k — любое целое число, s и t — взаимно простые целые числа, а d — наибольший общий делитель трех числителей. Фактически, d = 2, если s и t оба нечетные, и d = 1, если одно из них нечетное, а другое четное.

Примитивные тройки — это решения, где k = 1 и s > t > 0 .

Это описание решений немного отличается от формулы Евклида, поскольку формула Евклида рассматривает только такие решения, в которых x, y и z положительны, и не различает две тройки, которые отличаются заменой x и y ,

Диофантов анализ

Типичные вопросы

Вопросы, задаваемые в диофантовом анализе, включают в себя:

1. Есть ли какие-то решения?
2. Существуют ли какие-либо решения, помимо тех, которые легко найти путем осмотра ?
3. Существует ли конечное или бесконечное множество решений?
4. Можно ли найти все решения теоретически?
5. Можно ли на практике вычислить полный список решений?

Эти традиционные проблемы часто оставались нерешенными на протяжении столетий, и математики постепенно пришли к пониманию их глубины (в некоторых случаях), вместо того чтобы относиться к ним как к головоломкам.

Типичная проблема

Имеются следующие данные: возраст отца на 1 меньше, чем удвоенный возраст его сына, и цифры AB, составляющие возраст отца, меняются местами в возрасте сына (т. е. BA ). Это приводит к уравнению 10 A + B = 2(10 B + A ) − 1 , таким образом, 19 B − 8 A = 1 . Проверка дает результат A = 7 , B = 3 , и таким образом AB равно 73 годам, а BA равно 37 годам. Можно легко показать, что не существует другого решения с положительными целыми числами A и B, меньшими 10.

Многие известные головоломки в области развлекательной математики приводят к диофантовым уравнениям. Примерами являются задача о пушечном ядре , задача Архимеда о коровах и задача об обезьяне и кокосах .

17-й и 18-й века

В 1637 году Пьер де Ферма нацарапал на полях своего экземпляра «Арифметики» : «Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертые степени, или вообще любую степень выше второй на две подобные степени». Выражаясь более современным языком, «Уравнение a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ не имеет решений для любого n выше 2». После этого он написал: «Я открыл поистине изумительное доказательство этого предложения, для которого эти поля слишком узки». Однако такое доказательство ускользало от математиков на протяжении столетий, и как таковое его утверждение стало известно как Великая теорема Ферма . Только в 1995 году оно было доказано британским математиком Эндрю Уайлсом .

В 1657 году Ферма попытался решить диофантово уравнение 61 x ² + 1 = y ² (решенное Брахмагуптой более чем за 1000 лет до этого). В конце концов, уравнение было решено Эйлером в начале 18 века, который также решил ряд других диофантовых уравнений. Наименьшее решение этого уравнения в положительных целых числах равно x = 226153980 , y = 1766319049 (см. метод Чакравалы ).

Десятая проблема Гильберта

В 1900 году Давид Гильберт предложил разрешимость всех диофантовых уравнений как десятую из своих фундаментальных проблем . В 1970 году Юрий Матиясевич решил ее отрицательно, опираясь на работы Джулии Робинсон , Мартина Дэвиса и Хилари Патнэма , чтобы доказать, что общего алгоритма для решения всех диофантовых уравнений не может существовать .

Диофантова геометрия

Диофантова геометрия — это применение методов алгебраической геометрии , которая рассматривает уравнения, имеющие также геометрический смысл. Центральная идея диофантовой геометрии — идея рациональной точки , а именно решения полиномиального уравнения или системы полиномиальных уравнений , которая является вектором в заданном поле K , когда K не является алгебраически замкнутым .

Современные исследования

Самый старый общий метод решения диофантовых уравнений — или доказательства отсутствия решения — это метод бесконечного спуска , который был предложен Пьером де Ферма . Другой общий метод — принцип Хассе , который использует модульную арифметику по модулю всех простых чисел для нахождения решений. Несмотря на множество усовершенствований, эти методы не могут решить большинство диофантовых уравнений.

Трудность решения диофантовых уравнений иллюстрируется десятой проблемой Гильберта , которая была поставлена ​​в 1900 году Давидом Гильбертом ; она заключалась в нахождении алгоритма для определения того, имеет ли заданное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение. Теорема Матиясевича подразумевает, что такой алгоритм не может существовать.

В течение 20-го века был глубоко изучен новый подход, состоящий в использовании алгебраической геометрии . Фактически, диофантово уравнение можно рассматривать как уравнение гиперповерхности , а решения уравнения — это точки гиперповерхности, имеющие целочисленные координаты.

Такой подход в конечном итоге привёл к доказательству Эндрю Уайлсом в 1994 году Великой теоремы Ферма , сформулированной без доказательства около 1637 года. Это ещё одна иллюстрация сложности решения диофантовых уравнений.

Бесконечные диофантовы уравнения

Примером бесконечного диофантова уравнения является: которое можно выразить как «Сколькими способами данное целое число n можно записать в виде суммы квадрата плюс дважды квадрат плюс трижды квадрат и так далее?» Количество способов, которыми это можно сделать для каждого n, образует целочисленную последовательность. Бесконечные диофантовы уравнения связаны с тета-функциями и бесконечномерными решетками. Это уравнение всегда имеет решение для любого положительного n . ^[9] Сравните это с: которое не всегда имеет решение для положительного n . $${\displaystyle n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,}$$

Экспоненциальные диофантовы уравнения

Если диофантово уравнение имеет в качестве дополнительной переменной или переменных, встречающихся в качестве показателей степени , то это показательное диофантово уравнение. Примеры включают:

• уравнение Рамануджана –Нагелла , 2 ⁿ − 7 = x ²
• уравнение гипотезы Ферма–Каталана и гипотезы Била , a ^m + b ⁿ = c ^k с ограничениями неравенства на показатели степеней
• уравнение Эрдеша –Мозера , 1 ^k + 2 ^k + ⋯ + ( m – 1) ^k = m ^k

Общая теория для таких уравнений недоступна; были рассмотрены частные случаи, такие как гипотеза Каталана и Великая теорема Ферма . Однако большинство из них решаются с помощью специальных методов, таких как теорема Штёрмера или даже методом проб и ошибок .

Смотрите также

• Алгоритм Куттаки , Арьябхаты для решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными

Примечания

1. "Quotations by Hardy". Gap.dcs.st-and.ac.uk. Архивировано из оригинала 16 июля 2012 года . Получено 20 ноября 2012 года .
2. Эверест, Г.; Уорд, Томас (2006), Введение в теорию чисел, Graduate Texts in Mathematics, т. 232, Springer, стр. 117, ISBN 9781846280443.
3. Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255.
4. Элкис, Ноам (1988). «О A4 + B4 + C4 = D4» (PDF) . Математика вычислений . 51 (184): 825–835. doi :10.2307/2008781. JSTOR  2008781. MR  0930224.
5. Фрай, Роджер Э. (1988). «Нахождение 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ на машине соединений». Труды суперкомпьютеров 88, т. II: Наука и приложения . стр. 106–116. doi :10.1109/SUPERC.1988.74138.
6. Ричард Зиппель (1993). Эффективное полиномиальное вычисление . Springer Science & Business Media. стр. 50. ISBN 978-0-7923-9375-7.
7. Александр Бокмайр, Фолькер Вайспфеннинг (2001). "Решение числовых ограничений". В книге Джона Алана Робинсона и Андрея Воронкова (ред.). Справочник по автоматизированному рассуждению, том I. Elsevier и MIT Press. стр. 779. ISBN 0-444-82949-0. (Elsevier) (MIT Press).
8. Kovacic, Jerald (8 мая 1985 г.). "Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка" (PDF) . Core . Архивировано (PDF) из оригинала 16 апреля 2019 г.
9. "A320067 - Оеис".

Ссылки

• Морделл, Л. Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Чистая и прикладная математика. Том 30. Academic Press . ISBN 0-12-506250-8. Збл  0188.34503.
• Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том 1467. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X. Збл  0754.11020.
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 87. Cambridge University Press . ISBN 0-521-26826-5. Збл  0606.10011.
• Смарт, Найджел П. (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X. Збл  0907.11001.
• Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (второе издание). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

Дальнейшее чтение

• Бахмакова, Изабель (1966). «Диофант и Ферма». Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 19 (4): 289–306. дои : 10.3406/rhs.1966.2507. JSTOR  23905707.
• Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения . М.: Наука, 1972. Немецкий перевод: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Базель/Штутгарт, 1974. Английский перевод: Diophantus and Diophantine Equations . Перевод Эйба Шенитцера при редакторской помощи Харди Гранта и обновленный Джозефом Сильверманом. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997.
• Башмакова, Изабелла Г. «Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре» Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
• Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е.И. История диофантового анализа от Диофанта до Ферма . Москва: Наука, 1984.
• Башмакова, Изабелла Г. «Диофантовы уравнения и эволюция алгебры», American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, стр. 85–100. Перевод А. Шенитцера и Х. Гранта.
• Диксон, Леонард Юджин (2005) [1920]. История теории чисел . Том II: Диофантов анализ . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44233-4. MR  0245500. Zbl  1214.11002.
• Богдан Гречук (2024). Полиномиальные диофантовы уравнения: систематический подход , Springer.
• Рашед, Рошди; Хаузель, Кристиан (2013). «Арифметика» Диофанта . дои : 10.1515/9783110336481. ISBN 978-3-11-033593-4.
• Рашед, Рошди, История классического диофантового анализа: Д'Абу Камиль а Ферма , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.

Внешние ссылки

• Диофантово уравнение. Из MathWorld at Wolfram Research .
• «Диофантовы уравнения», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-калькулятор Дарио Альперна. Получено 18 марта 2009 г.