Ядро (линейная алгебра)

Прообраз нуля при гомоморфизме

В математике ядро ​​линейной карты , также известное как нулевое пространство или нулевое пространство , представляет собой линейное подпространство области отображения , которое отображается в нулевой вектор. ^[1] То есть для линейного отображения L  : V → W между двумя векторными пространствами V и W ядром L является векторное пространство всех элементов v из V таких, что L ( v ) = 0 , где 0 обозначает нулевой вектор в W , ^[2] или более символически:

${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(0).}$

Характеристики

Ядро и образ линейного отображения L из V в W

Ядро L является линейным подпространством области V . ^{[3] [2]} В линейном отображении два элемента V имеют одинаковый образ в W тогда и только тогда, когда их разница лежит в ядре L , то есть, ${\displaystyle L:V\to W,}$

$${\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

Отсюда следует , что образ L изоморфен фактору V по ядру :

$${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$

V конечномерно ,теорема о ранге-нулевости

$${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$

рангL ${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}$нульL^[4] ${\displaystyle \dim(\ker L).}$

$${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),}$$

$${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).}$$

Когда V — пространство внутренних произведений , фактор можно идентифицировать с ортогональным дополнением в V. Это обобщение на линейные операторы пространства строк или кообраза матрицы. ${\displaystyle V/\ker(L)}$ ${\displaystyle \ker(L)}$

Приложение к модулям

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов модулей , которые являются обобщениями векторных пространств , где скаляры являются элементами кольца , а не поля . Областью отображения является модуль, ядро ​​которого представляет собой подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы.

В функциональном анализе

Если V и W — топологические векторные пространства такие, что W конечномерно, то линейный оператор L :  V  →  W непрерывен тогда и только тогда, когда ядро ​​L является замкнутым подпространством V .

Представление в виде матричного умножения

Рассмотрим линейную карту, представленную как матрица A размером m × n с коэффициентами в поле K (обычно или ), которая работает с векторами-столбцами x с n компонентами над K . Ядром этого линейного отображения является множество решений уравнения A x = 0 , где под 0 понимается нулевой вектор . Размерность ядра A называется нульностью A . _ _ В обозначениях построителя множеств , ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$

Матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений :

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$

Таким образом, ядро ​​A такое же, как и набор решений приведенных выше однородных уравнений.

Свойства подпространства

Ядро матрицы A размера m × n над полем K является линейным подпространством K ⁿ . То есть ядро ​​A , множество Null( A ), имеет следующие три свойства:

1. Null( A ) всегда содержит нулевой вектор , поскольку A 0 = 0 .
2. Если x ∈ Null( A ) и y ∈ Null( A ) , то x + y ∈ Null( A ) . Это следует из дистрибутивности умножения матриц над сложением.
3. Если x ∈ Null( A ) и c скаляр c ∈ K , то c x ∈ Null( A ) , поскольку A ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0 .

Пространство строк матрицы

Произведение A x можно записать через скалярное произведение векторов следующим образом:

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$

Здесь a ₁ , ... , am _{обозначают} строки матрицы A . Отсюда следует, что x находится в ядре A тогда и только тогда, когда x ортогонален ( или перпендикулярен ) каждому из векторов-строок A (поскольку ортогональность определяется как наличие скалярного произведения, равного 0).

Пространство строк или кообраз матрицы A — это диапазон векторов-строк матрицы A. По приведенным выше рассуждениям ядро ​​A является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть вектор x лежит в ядре A тогда и только тогда, когда он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк A .

Размерность пространства строк A называется рангом A , а размерность ядра A называется нульностью A. Эти величины связаны теоремой ранга–нулевой ^[4]

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}$

Левое пустое пространство

Левое нулевое пространство или коядро матрицы A состоит из всех векторов-столбцов x таких, что x ^T A  =  0 ^T , где T обозначает транспонирование матрицы . Левое нулевое пространство A совпадает с ядром A ^T . Левое нулевое пространство A является ортогональным дополнением к пространству столбцов A и двойственно к коядру соответствующего линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое нулевое пространство A — это четыре фундаментальных подпространства , связанных с матрицей A.

Неоднородные системы линейных уравнений

Ядро также играет роль при решении неоднородной системы линейных уравнений:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

Если u и v — два возможных решения приведенного выше уравнения, то

${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,}$

Таким образом, разность любых двух решений уравнения A x  =  b лежит в ядре A .

Отсюда следует, что любое решение уравнения A x  =  b можно выразить как сумму фиксированного решения v и произвольного элемента ядра. То есть решение уравнения A x  =  b равно

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}$

Геометрически это означает, что решение, заданное для A x  =  b , представляет собой сдвиг ядра A на вектор v . См. также альтернативу Фредгольма и плоскую (геометрию) .

Иллюстрация

Ниже приводится простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже, где описаны методы, лучше подходящие для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$

Ядро этой матрицы состоит из всех векторов ( x , y , z ) ∈ R 3 , для которых

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

которую можно выразить как однородную систему линейных уравнений, включающую x , y и z :

${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$

Те же линейные уравнения можно записать и в матричной форме:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$

Путем исключения Гаусса–Жордана матрицу можно свести к:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$

Переписав матрицу в форме уравнения, получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$

Элементы ядра могут быть дополнительно выражены в параметрической векторной форме следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$

Поскольку c — свободная переменная, охватывающая все действительные числа, это можно одинаково хорошо выразить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$

Ядро A — это именно набор решений этих уравнений (в данном случае линия, проходящая через начало координат в R ³ ). Здесь, поскольку вектор (−1,−26,16) ^T составляет базис ядра A . Нульность A равна 1.

Следующие скалярные произведения равны нулю:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,} }$

который иллюстрирует, что векторы в ядре A ортогональны каждому из векторов-строок A .

Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк A — плоскость, ортогональную вектору (−1,−26,16) ^T .

С рангом 2 A , нульностью 1 A и размерностью 3 A мы имеем иллюстрацию теоремы о недействительности ранга.

Примеры

• Если L : Rm → Rn ^, то ядро ​​L является множеством решений однородной системы линейных уравнений ^. Как на рисунке выше, если L — оператор:
  $${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$
  то ядро ​​L — это множество решений уравнений
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• Обозначим через C [0,1] векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале [0,1] и определим L : C [0,1] → R по правилу
  $${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$
  Тогда ядро ​​L состоит из всех функций f ∈ C [0,1] , для которых f (0.3) = 0 .
• Пусть C∞ ( R ) — векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций ^R → R , и пусть ^D : C∞ ( R ) → C∞ ( R ) ^— оператор дифференцирования :
  $${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$
  Тогда ядро ​​D состоит из всех функций из C∞ ( R ) ^, производные которых равны нулю, т.е. множества всех постоянных функций .
• Пусть R∞ ^— прямое произведение бесконечного числа копий R , и ^пусть s : R∞ → R∞ ^— оператор сдвига
  $${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$
  Тогда ядром s является одномерное подпространство, состоящее из всех векторов ( x ₁ , 0, 0, 0, ...) .
• Если V — пространство внутреннего произведения , а W — подпространство, ядро ​​ортогональной проекции V → W является ортогональным дополнением к W в V .

Вычисление методом исключения Гаусса

Базис ядра матрицы может быть вычислен методом исключения Гаусса .

Для этой цели, учитывая матрицу A размера m × n , мы сначала строим матрицу, дополненную строками, где I — единичная матрица размера n × n . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$

Вычислив форму эшелона столбцов методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получаем матрицу A, базис ядра A состоит из ненулевых столбцов C , таких, что соответствующий столбец B является нулевым столбцом . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$

Фактически, вычисление может быть остановлено, как только верхняя матрица примет форму эшелона столбцов: оставшаяся часть вычислений состоит в изменении базиса векторного пространства, порожденного столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Затем

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Помещение верхней части в форму эшелона столбцов с помощью операций со столбцами на всей матрице дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Последние три столбца B являются нулевыми столбцами. Следовательно, три последних вектора C ,

${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$

являются основой ядра A .

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: поскольку операции со столбцами соответствуют послеумножению на обратимые матрицы, тот факт, что это сводится к, означает, что существует обратимая матрица такая, что с в форме эшелона столбца. Таким образом , и Вектор-столбец принадлежит ядру (то есть ) тогда и только тогда, когда где As находится в форме эшелона столбцов, тогда и только если ненулевые записи соответствуют нулевым столбцам Умножая на , можно сделать вывод, что это случай тогда и только тогда, когда является линейной комбинацией соответствующих столбцов ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AP=B,}$ ${\displaystyle IP=C,}$ ${\displaystyle AC=B.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} .}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$ ${\displaystyle C.}$

Численные вычисления

Задача вычисления ядра на компьютере зависит от природы коэффициентов.

Точные коэффициенты

Если коэффициенты матрицы представляют собой точно заданные числа, ступенчатая форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейсса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще эффективнее использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , которая сводит задачу к нескольким аналогичным над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности умножения целых чисел). ^{[ нужна цитата ]}

Для коэффициентов в конечном поле хорошо работает метод исключения Гаусса, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислениях по базису Грёбнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно ту же вычислительную сложность , но работают быстрее и лучше ведут себя с современным компьютерным оборудованием . ^{[ нужна цитата ]}

Вычисление с плавающей запятой

Для матриц, элементами которых являются числа с плавающей запятой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для матриц, у которых количество строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей запятой почти всегда имеет полный ранг. , даже если это аппроксимация матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для полноранговой матрицы можно вычислить ее ядро ​​только в том случае, если она хорошо обусловлена , т. е. имеет низкое число обусловленности . ^{[5] [ нужна ссылка ]}

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга метод исключения Гаусса работает неправильно: он вносит ошибки округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро ​​может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, предназначенных для решения однородных систем. Современным программным обеспечением для этой цели является библиотека Lapack . ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Ядро (алгебра)
• Нулевой набор
• Система линейных уравнений
• Пространства строк и столбцов
• Сокращение строк
• Четыре фундаментальных подпространства
• Векторное пространство
• Линейное подпространство
• Линейный оператор
• Функциональное пространство
• Альтернатива Фредгольма

Примечания и ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Ядро». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.
2. "Ядро (нулевое пространство) | Блестящая вики по математике и наукам" . блестящий.орг . Проверено 9 декабря 2019 г.
3. Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, — это хорошо зарекомендовавшая себя математическая дисциплина, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти в лекциях Лэя 2005, Мейера 2001 и Стрэнга.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о недействительности ранга». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.
5. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г. Проверено 14 апреля 2015 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

Библиография

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
• Лэй, Дэвид К. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7.
• Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3.
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International.
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл.
• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Спрингер. ISBN 9780387964126.
• Трефетен, Ллойд Н.; Бау, Дэвид III (1997), Численная линейная алгебра, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

Внешние ссылки

• «Ядро матрицы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Академия Хана , Введение в нулевое пространство матрицы