Подгруппа

Подмножество группы, которое само образует группу

В теории групп , разделе математики , для группы G при бинарной операции  ∗ подмножество H группы G называется подгруппой G , если H также образует группу при операции ∗. Точнее, H является подгруппой G , если ограничение * на H × H является групповой операцией на H . Это часто обозначается H ≤ G , что читается как « H является подгруппой G ».

Тривиальной подгруппой любой группы является подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента. ^[1]

Собственная подгруппа группы G — это подгруппа H , которая является собственным подмножеством группы G (т. е. H ≠ G ). Это часто обозначается как H < G , что читается как « H является собственной подгруппой G ». Некоторые авторы также исключают из числа собственных тривиальную группу (т. е. H ≠ { e }). ^{[2] [3]}

Если H — подгруппа группы G , то G иногда называют надгруппой группы H.

Те же определения применяются в более общем смысле, когда G — произвольная полугруппа , но в этой статье будут рассматриваться только подгруппы групп.

Подгрупповые тесты

Предположим, что G — группа, а H — подмножество G. А пока предположим, что групповая операция G записана мультипликативно и обозначается сопоставлением.

• Тогда H является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда H непуста и замкнута относительно произведений и обратных групп. Закрытость под продуктами означает , что для каждых a и b в H продукт ab находится в H. Замкнутость относительно обратных означает, что для каждого a в H инверсия a ⁻¹ находится в H . Эти два условия можно объединить в одно, что для каждых a и b в H элемент ab ⁻¹ находится в H , но более естественно и обычно так же легко проверить два условия замыкания по отдельности. ^[4]
• Когда H конечна , тест можно упростить: H является подгруппой тогда и только тогда, когда она непуста и замкнута относительно произведений . Уже из этих условий следует, что каждый элемент a из H порождает конечную циклическую подгруппу из H , скажем, порядка n , и тогда обратным к a является a ^{n −1} . ^[4]

Если вместо этого групповая операция обозначается сложением, то замкнутая относительно произведений должна быть заменена закрытой относительно сложенной , что является условием того, что для каждых a и b в H сумма a + b находится в H и замкнутая относительно обратных операций должна быть отредактировано, чтобы сказать, что для каждого a в H обратное значение − a находится в H .

Основные свойства подгрупп

• Идентичность подгруппы является тождеством группы: если G — группа с единицей _eG , а H — подгруппа G с _{единицей} eH , то eH = _{eG .}
• Обратный элемент в подгруппе — это обратный элемент в группе: если H — подгруппа группы G , а a и b — элементы H такие, что ab = ba = e _H , то ab = ba = е _Г. _
• Если H — подгруппа группы G , то отображение включения H → G , переводящее каждый элемент a группы H в себя, является гомоморфизмом .
• Пересечение подгрупп A и B группы G снова является подгруппой G . ^[5] Например, пересечение осей x и осей y в сложенном виде является тривиальной подгруппой. В более общем смысле, пересечение произвольного набора подгрупп G является подгруппой G . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Объединение подгрупп A и B является подгруппой тогда и только тогда, когда A ⊆ B или B ⊆ A . Непример: не является подгруппой, поскольку 2 и 3 являются элементами этого подмножества, сумма которых 5 не входит в подмножество. Точно так же объединение осей x и осей y в не является подгруппой ${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Если S — подмножество G , то существует наименьшая подгруппа, содержащая S , а именно пересечение всех подгрупп, содержащих S ; она обозначается ⟨ S ⟩ и называется подгруппой, порожденной S . Элемент G находится в ⟨ S ⟩ тогда и только тогда, когда он является конечным произведением элементов S и их обратных, возможно, повторяющихся. ^[6]
• Каждый элемент a группы G порождает циклическую подгруппу ⟨ a ⟩ . Если ⟨ a ⟩ изоморфно ( целым числам по модулю n ) для некоторого положительного целого числа n , то n — наименьшее положительное целое число, для которого a n ⁼ e , и n называется порядком a . Если ⟨ a ⟩ изоморфно, то говорят , что a имеет бесконечный порядок . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$
• Подгруппы любой данной группы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп . (Хотя нижняя грань здесь представляет собой обычное теоретико-множественное пересечение, верхняя грань множества подгрупп — это подгруппа, порожденная теоретико-множественным объединением подгрупп, а не само теоретико-множественное объединение.) Если e — тождество G , то тривиальная группа { e } является минимальной подгруппой G , а максимальная подгруппа — это сама группа G.

G — группа сложенных целых чисел по модулю 8 . Подгруппа H содержит только 0 и 4 и изоморфна. Существует четыре левых смежных класса H : сама H , 1 + H , 2 + H и 3 + H (записано с использованием аддитивных обозначений, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на непересекающиеся множества одинакового размера. Индекс [ G  : H ] равен 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

Классы смежности и теорема Лагранжа

Учитывая подгруппу H и некоторый a в G , мы определяем левый смежный класс aH = { ah  : h в H }. Поскольку a обратимо, отображение φ : H → aH, заданное формулой φ( h ) = ah , является биекцией . Более того, каждый элемент G содержится ровно в одном левом смежном классе H ; левые смежные классы являются классами эквивалентности, соответствующими отношению эквивалентности a ₁ ~ a ₂ тогда и только тогда, когда находится в H . Число левых смежных классов  H называется индексом H в G и обозначается [ G : H ] . ${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$

Теорема Лагранжа утверждает , что для конечной группы G и подгруппы H

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

где | г | и | Ч | обозначают порядки G и H соответственно . В частности, порядок каждой подгруппы G (и порядок каждого элемента G ) должен быть делителем | г | . ^{[7] [8]}

Правые смежные классы определяются аналогично: Ha = { ha  : h in H }. Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их число равно [ G  : H ] .

Если aH = Ha для любого a из G , то H называется нормальной подгруппой . Каждая подгруппа индекса 2 нормальна: левые смежные классы, а также правые смежные классы представляют собой просто подгруппу и ее дополнение. В более общем смысле, если p — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы G , то любая подгруппа индекса p (если таковая существует) является нормальной.

Пример: Подгруппы Z 8

Пусть G — циклическая группа Z8 _, элементами которой являются

${\displaystyle G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}}$

и чья групповая операция — сложение по модулю 8 . Его таблица Кэли

Эта группа имеет две нетривиальные подгруппы: ■ J = {0, 4} и ■ H = {0, 4, 2, 6} , где J также является подгруппой H. Таблица Кэли для H — это верхний левый квадрант таблицы Кэли для G ; Таблица Кэли для J — это верхний левый квадрант таблицы Кэли для H. Группа G циклическая , как и ее подгруппы . В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими. ^[9]

Пример: Подгруппы S 4

S ₄ — симметричная группа , элементы которой соответствуют перестановкам 4 элементов.
Ниже приведены все его подгруппы, упорядоченные по мощности.
Каждая группа (кроме групп мощности 1 и 2) представлена ​​своей таблицей Кэли .

24 элемента

Как и каждая группа, S ₄ является своей подгруппой.

12 элементов

Альтернирующая группа содержит только четные перестановки .
Это одна из двух нетривиальных собственных _{нормальных} подгрупп группы S4 . (Вторая — ее подгруппа Клейна.)

Переменная группа А ₄

подгруппы:

8 элементов

6 элементов

4 элемента

3 элемента

2 элемента

Каждая перестановка p порядка 2 порождает подгруппу {1, p }. Это перестановки, которые имеют только 2 цикла:

• Всего существует 6 транспозиций с одним 2-циклом.   (зеленый фон)
• И 3 перестановки с двумя 2-циклами.   (белый фон, жирные цифры)

1 элемент

Тривиальная подгруппа — это единственная подгруппа порядка 1.

Другие примеры

• Чётные целые числа образуют подгруппу кольца целых чисел: сумма двух четных целых чисел четна, а отрицательное число четного числа четно. ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} :}$
• Идеал в кольце R — это подгруппа аддитивной группы кольца R.
• Линейное подпространство векторного пространства — это подгруппа аддитивной группы векторов.
• В абелевой группе элементы конечного порядка образуют подгруппу, называемую периодической подгруппой .

Смотрите также

• Картановская подгруппа
• Подгруппа фитингов
• Подгруппа фиксированной точки
• Полностью нормализованная подгруппа
• Стабильная подгруппа

Примечания

1. Галлиан 2013, с. 61.
2. Хангерфорд 1974, с. 32.
3. Артин 2011, с. 43.
4. Kurzweil & Stellmacher 1998, стр. 4.
5. Джейкобсон 2009, с. 41.
6. Эш 2002.
7. См. дидактическое доказательство в этом видео.
8. Даммит и Фут 2004, стр. 90.
9. Галлиан 2013, с. 81.

Рекомендации

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Хангерфорд, Томас (1974), Алгебра (1-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
• Артин, Майкл (2011), Алгебра (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 9780132413770.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348. ОСЛК  248917264.
• Галлиан, Джозеф А. (2013). Современная абстрактная алгебра (8-е изд.). Бостон, Массачусетс: Обучение Брукса / Коула Сенгеджа. ISBN 978-1-133-59970-8. ОСЛК  807255720.
• Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (1998). Теория конечных групп. Шпрингер-Лербух. дои : 10.1007/978-3-642-58816-7.
• Эш, Роберт Б. (2002). Абстрактная алгебра: основной выпускной год. Департамент математики Университета Иллинойса.