Голономная функция

Тип функций в математическом анализе

В математике , а точнее в анализе , голономная функция — это гладкая функция нескольких переменных , которая является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и удовлетворяет подходящему условию размерности в терминах теории D-модулей . Точнее, голономная функция — это элемент голономного модуля гладких функций. Голономные функции также могут быть описаны как дифференцируемо конечные функции , также известные как D-конечные функции . Когда степенной ряд по переменным является разложением Тейлора голономной функции, последовательность ее коэффициентов по одному или нескольким индексам также называется голономной . Голономные последовательности также называются P-рекурсивными последовательностями : они определяются рекурсивно многомерными рекуррентами, которым удовлетворяет вся последовательность и подходящие ее специализации. Ситуация упрощается в одномерном случае: любая одномерная последовательность, которая удовлетворяет линейному однородному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами или, что эквивалентно, линейному однородному разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами, является голономной. ^[1]

Голономные функции и последовательности с одной переменной

Определения

Пусть — поле характеристики (например, или ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$

Функция называется D-конечной (или голономной ), если существуют полиномы такие, что ${\displaystyle f=f(x)}$ ${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

справедливо для всех x . Это также можно записать как где ${\displaystyle Af=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

и — дифференциальный оператор , отображающийся в . называется аннулирующим оператором f (аннулирующие операторы образуют идеал в кольце , называемый аннулирующим оператором ). Величина r называется порядком аннулирующего оператора. По сути, говорят, что голономная функция f имеет порядок r, если существует аннулирующий оператор такого порядка. ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$ ${\displaystyle f}$

Последовательность называется P-рекурсивной (или голономной ), если существуют полиномы такие, что ${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$ ${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

справедливо для всех n . Это также можно записать как где ${\displaystyle Ac=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

и оператор сдвига , который отображается в . называется аннулирующим оператором c (аннулирующие операторы образуют идеал в кольце , называемый аннулирующим оператором ). Величина r называется порядком аннулирующего оператора. В более широком смысле, голономная последовательность c называется имеющей порядок r, если существует аннулирующий оператор такого порядка. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$ ${\displaystyle c}$

Голономные функции являются в точности производящими функциями голономных последовательностей: если является голономной, то коэффициенты в разложении степенного ряда ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

образуют голономную последовательность. Наоборот, для данной голономной последовательности функция, определяемая приведенной выше суммой, является голономной (это верно в смысле формального степенного ряда , даже если сумма имеет нулевой радиус сходимости ). ${\displaystyle c_{n}}$

Свойства закрытия

Голономные функции (или последовательности) удовлетворяют нескольким свойствам замыкания . В частности, голономные функции (или последовательности) образуют кольцо . Однако они не замкнуты относительно деления и, следовательно, не образуют поля .

Если и являются голономными функциями, то следующие функции также являются голономными: ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$, где и являются константами ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$( произведение Коши последовательностей)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$(произведение Адамара последовательностей)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}f_{k})x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$, где — любая алгебраическая функция . Однако, в общем случае не является голономной. ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle a(f(x))}$

Важнейшим свойством голономных функций является то, что свойства замыкания эффективны: если заданы аннулирующие операторы для и , то аннулирующий оператор для , определенный с использованием любой из вышеприведенных операций, может быть явно вычислен. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Примеры голономных функций и последовательностей

Примеры голономных функций включают в себя:

• все алгебраические функции , включая полиномы и рациональные функции
• функции синуса и косинуса (но не тангенса, котангенса, секанса или косеканса)
• функции гиперболического синуса и косинуса (но не гиперболического тангенса, котангенса, секанса или косеканса)
• показательные функции и логарифмы (по любому основанию)
• обобщенная гипергеометрическая функция , рассматриваемая как функция от со всеми фиксированными параметрами ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• функция ошибки ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• функции Бесселя , , , ${\displaystyle J_{n}(x)}$ ${\displaystyle Y_{n}(x)}$ ${\displaystyle I_{n}(x)}$ ${\displaystyle K_{n}(x)}$
• функции Эйри , ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

Класс голономных функций является строгим надмножеством класса гипергеометрических функций. Примерами специальных функций, которые являются голономными, но не гипергеометрическими, являются функции Гойна .

Примеры голономных последовательностей включают в себя:

• последовательность чисел Фибоначчи и, в более общем смысле, все константно-рекурсивные последовательности ${\displaystyle F_{n}}$
• последовательность факториалов ${\displaystyle n!}$
• последовательность биномиальных коэффициентов (как функции n или k ) ${\displaystyle {n \choose k}}$
• последовательность гармонических чисел , и в более общем случае для любого целого числа m ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$
• последовательность каталонских чисел
• последовательность чисел Моцкина
• перечисление расстройств .

Гипергеометрические функции, функции Бесселя и классические ортогональные многочлены , помимо того, что являются голономными функциями своей переменной, также являются голономными последовательностями относительно своих параметров. Например, функции Бесселя и удовлетворяют линейной рекуррентности второго порядка . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$

Примеры неголономных функций и последовательностей

Примерами неголономных функций являются:

• функция ^[2] ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
• функция tan( x ) + sec( x ) ^[3]
• частное двух голономных функций, как правило, не является голономным.

Примеры неголономных последовательностей включают в себя:

• числа Бернулли
• числа чередующихся перестановок ^[4]
• числа целых разделов ^[3]
• числа ^[3] ${\displaystyle \log(n)}$
• числа , где ^[3] ${\displaystyle n^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$
• простые числа ^[3]
• перечисления неприводимых и связанных перестановок . ^[5]

Алгоритмы и программное обеспечение

Голономные функции являются мощным инструментом в компьютерной алгебре . Голономная функция или последовательность может быть представлена ​​конечным количеством данных, а именно аннулирующим оператором и конечным набором начальных значений, а свойства замыкания позволяют выполнять такие операции, как проверка равенства, суммирование и интегрирование алгоритмическим способом. В последние годы эти методы позволили давать автоматизированные доказательства большого количества специальных функций и комбинаторных тождеств.

Более того, существуют быстрые алгоритмы для оценки голономных функций с произвольной точностью в любой точке комплексной плоскости, а также для численного вычисления любого элемента голономной последовательности.

Программное обеспечение для работы с голономными функциями включает в себя:

• Пакет HolonomicFunctions [1] для Mathematica , разработанный Кристофом Кутшаном, который поддерживает вычисление свойств замыкания и доказательство тождеств для одномерных и многомерных голономных функций .
• Библиотека algolib [2] для Maple , включающая следующие пакеты:
  • gfun , разработанный Бруно Сальви, Полом Циммерманном и Эйтне Мюррей, для одномерных свойств замыкания и доказательства [3]
  • mgfun , разработанный Фредериком Чизаком, для многомерных свойств замыкания и доказательства [4]
  • numgfun , разработанный Марком Меццароббой, для числовой оценки

Смотрите также

Динамический словарь математических функций Архивировано 06.07.2010 в Wayback Machine , онлайн-программном обеспечении, основанном на голономных функциях для автоматического изучения многих классических и специальных функций (оценка в точке, ряд Тейлора и асимптотическое разложение с любой заданной пользователем точностью, дифференциальные уравнения, рекуррентность для коэффициентов ряда Тейлора, производная, неопределенный интеграл, построение графиков, ...)

Примечания

1. См. Zeilberger 1990 и Kauers & Paule 2011.
2. Это следует из того факта, что функция имеет бесконечно много ( комплексных ) особых точек, тогда как функции, удовлетворяющие линейному дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами, обязательно имеют лишь конечное число особых точек. ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
3. См. Flajolet, Gerhold & Salvy 2005.
4. Это следует из того факта, что функция tan( x ) + sec( x ) является неголономной функцией. См. Flajolet, Gerhold & Salvy 2005.
5. См. Клазар 2003.

Ссылки

• Флажоле, Филипп; Герхольд, Стефан; Сальви, Бруно (2005), «О неголономном характере логарифмов, степеней и n-й простой функции», Электронный журнал комбинаторики , 11 (2), doi : 10.37236/1894 , S2CID  184136.
• Флажоле, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521898065.
• Кауэрс, Мануэль; Пауль, Питер (2011). Конкретный тетраэдр: символические суммы, рекуррентные уравнения, производящие функции, асимптотические оценки . Текст и монографии по символьным вычислениям. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6.
• Клазар, Мартин (2003). «Неприводимые и связанные перестановки» (PDF) .(Препринт серии ITI)
• Mallinger, Christian (1996). Алгоритмические манипуляции и преобразования одномерных голономных функций и последовательностей (PDF) (диссертация) . Получено 4 июня 2013 г.
• Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика . Том 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56069-6.
• Zeilberger, Doron (1990). «Подход голономных систем к специальным функциональным тождествам». Журнал вычислительной и прикладной математики . 32 (3): 321–368. doi : 10.1016/0377-0427(90)90042-X . ISSN  0377-0427. MR  1090884.
• Кауэрс, Мануэль (2023). D-конечные функции. Алгоритмы и вычисления в математике. Том 30. Springer. doi :10.1007/978-3-031-34652-1. ISBN 978-3-031-34652-1.