Дзета-функция Хассе–Вейля

Математическая функция, связанная с алгебраическими многообразиями

В математике дзета-функция Хассе –Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию V, определенному над полем алгебраических чисел K, является мероморфной функцией на комплексной плоскости , определяемой в терминах числа точек на многообразии после приведения по модулю каждого простого числа p . Это глобальная L -функция, определяемая как произведение Эйлера локальных дзета-функций .

L -функции Хассе–Вейля образуют один из двух основных классов глобальных L -функций, наряду с L -функциями, связанными с автоморфными представлениями . Гипотетически, эти два типа глобальных L -функций на самом деле являются двумя описаниями одного и того же типа глобальной L -функции; это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Вейля , которая сама по себе является важным результатом в теории чисел .

Для эллиптической кривой над числовым полем K дзета-функция Хассе–Вейля предположительно связана с группой рациональных точек эллиптической кривой над K гипотезой Бирча и Суиннертона-Дайера .

Определение

Описание дзета-функции Хассе–Вейля с точностью до конечного числа множителей ее произведения Эйлера относительно просто. Это следует первоначальным предложениям Хельмута Хассе и Андре Вейля , мотивированным дзета-функцией Римана , которая получается из случая, когда V — одна точка. ^[1]

Взяв случай K — поля рациональных чисел , а V — невырожденного проективного многообразия , мы можем для почти всех простых чисел p рассмотреть редукцию V по модулю p , алгебраического многообразия V _p над конечным полем с p элементами, просто сократив уравнения для V . С точки зрения теории схем, эта редукция — это просто обратный путь модели Нерона для V вдоль канонического отображения Spec → Spec . Опять же, для почти всех p она будет невырожденной. Мы определяем ряд Дирихле комплексной переменной s , ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)=\prod _{p}Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),}$

что является бесконечным произведением локальных дзета-функций

${\displaystyle Z_{V\!,\,p}(p^{-s})=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(p^{-s})^{k}\right)}$

где N _k — число точек V, определенных над конечным расширением поля . ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Это верно только с точностью до умножения на рациональные функции для конечного числа простых чисел p . ${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)}$ ${\displaystyle p^{-s}}$

Поскольку неопределенность относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, есть смысл, в котором свойства Z(s) не зависят от нее по существу. В частности, в то время как точная форма функционального уравнения для Z ( s ), отражающаяся в вертикальной линии в комплексной плоскости, будет определенно зависеть от «отсутствующих» факторов, существование некоторого такого функционального уравнения не зависит.

Более точное определение стало возможным с развитием этальных когомологий ; это четко объясняет, что делать с отсутствующими факторами «плохой редукции». Согласно общим принципам, видимым в теории ветвления , «плохие» простые числа несут хорошую информацию (теория проводника ) . Это проявляется в этальной теории в критерии Огга–Нерона–Шафаревича для хорошей редукции ; а именно, что существует хорошая редукция, в определенном смысле, для всех простых чисел p , для которых представление Галуа ρ на этальных группах когомологий V неразветвлено . Для них определение локальной дзета-функции может быть восстановлено в терминах характеристического многочлена

${\displaystyle \rho (\operatorname {Frob} (p)),}$

Frob( p ) является элементом Фробениуса для p . Что происходит в разветвленном p , так это то, что ρ нетривиально на группе инерции I ( p ) для p . В этих простых числах определение должно быть «исправлено», взяв наибольшее частное представления ρ , на которое группа инерции действует по тривиальному представлению . С этим уточнением определение Z ( s ) может быть успешно обновлено с «почти всех» p до всех p , участвующих в произведении Эйлера. Последствия для функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение не было доказано в общем случае.

Гипотеза Хассе–Вейля

Гипотеза Хассе–Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе–Вейля должна расширяться до мероморфной функции для всех комплексных s и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному уравнению дзета -функции Римана . Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе–Вейля следует из теоремы о модулярности . ^{[ требуется цитата ]}

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера утверждает, что ранг абелевой группы E ( K ) точек эллиптической кривой E равен порядку нуля L -функции Хассе–Вейля L ( E ,  s ) при s = 1, и что первый ненулевой коэффициент в разложении Тейлора L ( E ,  s ) при s = 1 задается более уточненными арифметическими данными, присоединенными к E над K . ^[2] Гипотеза является одной из семи проблем Премии тысячелетия, перечисленных Математическим институтом Клэя , который предложил премию в размере 1 000 000 долларов за первое правильное доказательство. ^[3]

Эллиптические кривые над Q

Эллиптическая кривая — это особый тип многообразия. Пусть E — эллиптическая кривая над Q проводника N . Тогда E имеет хорошую редукцию для всех простых чисел p , не делящих N , у нее есть мультипликативная редукция для простых чисел p , которые точно делят N (т. е. таких, что p делит N , но p ² — нет; это записывается как p || N ), и у нее есть аддитивная редукция в других местах (т. е. для простых чисел, где p ² делит N ). Дзета-функция Хассе–Вейля для E тогда принимает вид

${\displaystyle Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,}$

Здесь ζ( s ) — обычная дзета-функция Римана , а L ( E , s ) называется L -функцией E / Q , которая принимает вид ^[4]

${\displaystyle L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,}$

где, для заданного простого числа p ,

${\displaystyle L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

где в случае хорошей редукции a _p равно p  + 1 − (число точек E  mod  p ), а в случае мультипликативной редукции a _p равно ±1 в зависимости от того, имеет ли E разделенную (знак плюс) или не разделенную (знак минус) мультипликативную редукцию в точке  p . Мультипликативная редукция кривой E на простое число p называется разделенной, если -c ₆ является квадратом в конечном поле с p элементами. ^[5]

Существует полезное соотношение, не использующее проводник:

1. Если p не делится (где — дискриминант эллиптической кривой), то E имеет хорошее сокращение в p . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

2. Если p делится , но не делится , то E имеет плохую мультипликативную редукцию в p . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle c_{4}}$

3. Если p делит оба и тогда E имеет аддитивную плохую редукцию в p . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle c_{4}}$

Смотрите также

• Арифметическая дзета-функция

Ссылки

1. "Дзета-функция Хассе-Вейля факторного многообразия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2022-10-19 . Получено 2024-04-29 .
2. Уайлз, Эндрю (2006). «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера» (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлз, Эндрю (ред.). Задачи премии тысячелетия . Американское математическое общество. стр. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8. MR  2238272. Архивировано из оригинала (PDF) 29.03.2018 . Получено 13.04.2022 .
3. Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера в Математическом институте Клэя
4. Раздел C.16 книги Сильвермана, Джозефа Х. (1992), Арифметика эллиптических кривых , Graduate Texts in Mathematics , т. 106, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, МР  1329092
5. «Теория чисел — Проверка того, является ли $\ell$ разделимым или неразделимым мультипликативным сокращением».

Библиография

• Ж.-П. Серр , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (определения и предположения) , 1969/1970, Sém. Деланж-Пизо-Пуату, разоблачение 19.