stringtranslate.com

Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии

Это глоссарий арифметики и диофантовой геометрии в математике , областях, выросших из традиционного изучения диофантовых уравнений , чтобы охватить большие части теории чисел и алгебраической геометрии . Большая часть теории представлена ​​в форме предлагаемых гипотез , которые могут быть связаны на различных уровнях общности.

Диофантова геометрия в целом — это изучение алгебраических многообразий V над полями K , которые конечно порождены над своими простыми полями — включая, как особый интерес , числовые поля и конечные поля — и над локальными полями . Из них только комплексные числа алгебраически замкнуты ; над любым другим K существование точек V с координатами в K — это то, что должно быть доказано и изучено как дополнительная тема, даже зная геометрию V.

Арифметическую геометрию можно более широко определить как изучение схем конечного типа над спектром кольца целых чисел . [1] Арифметическая геометрия также определяется как применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел . [2]

См. также глоссарий терминов теории чисел в разделе Глоссарий теории чисел .


А

гипотеза abc
Гипотеза abc Массера и Эстерле пытается как можно больше сказать о повторяющихся простых множителях в уравнении a + b = c . Например, 3 + 125 = 128, но степени простых чисел здесь исключительны .
Аракелов классная группа
Группа классов Аракелова является аналогом группы классов идеалов или группы классов делителей для делителей Аракелова . [3]
делитель Аракелова
Делитель Аракелова (или полный делитель [4] ) на глобальном поле является расширением понятия делителя или дробного идеала . Это формальная линейная комбинация мест поля с конечными местами , имеющими целые коэффициенты, и бесконечными местами, имеющими действительные коэффициенты. [3] [5] [6]
Аракелов высота
Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами, полученными из метрик Фубини–Штуди на архимедовых полях и обычной метрики на неархимедовых полях . [7] [8]
теория Аракелова
Теория Аракелова — это подход к арифметической геометрии, который явно включает «бесконечные простые числа».
Арифметика абелевых многообразий
См. основную статью арифметика абелевых многообразий
L-функции Артина
L-функции Артина определены для довольно общих представлений Галуа . Введение этальных когомологий в 1960-х годах означало, что L-функции Хассе–Вейля можно рассматривать как L-функции Артина для представлений Галуа на l-адических группах когомологий.

Б

Плохое сокращение
Смотри хорошее сокращение .
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
Гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера об эллиптических кривых постулирует связь между рангом эллиптической кривой и порядком полюса ее L-функции Хассе–Вейля. Она стала важной вехой в диофантовой геометрии с середины 1960-х годов, с такими результатами, как теорема Коутса–Уайлса , теорема Гросса–Загира и теорема Колывагина . [9]

С

Каноническая высота
Каноническая высота на абелевом многообразии — это функция высоты, которая является выделенной квадратичной формой . См. высоту Нерона–Тейта .
Метод Шаботи
Метод Шаботи , основанный на p -адических аналитических функциях, является специальным приложением, но способным доказать случаи гипотезы Морделла для кривых, ранг якобиана которых меньше его размерности. Он развивал идеи метода Торальфа Сколема для алгебраического тора . (Другие старые методы для диофантовых задач включают метод Рунге .)
Теорема Коутса–Уайлса
Теорема Коутса –Уайлса утверждает, что эллиптическая кривая с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле класса номер 1 и положительного ранга имеет L-функцию с нулем при s  = 1. Это частный случай гипотезы Бирча и Суиннертона–Дайера . [10]
Кристаллические когомологии
Кристаллические когомологии — это p-адическая теория когомологий в характеристике p , введенная Александром Гротендиком для заполнения пробела, оставленного этальными когомологиями , которые в этом случае не могут использовать коэффициенты mod p . Это одна из многих теорий, вытекающих в некотором роде из метода Дворка , и имеет приложения за пределами чисто арифметических вопросов.

Д

Диагональные формы
Диагональные формы являются одними из самых простых проективных многообразий для изучения с арифметической точки зрения (включая многообразия Ферма ). Их локальные дзета-функции вычисляются в терминах сумм Якоби . Проблема Варинга является наиболее классическим случаем.
Диофантово измерение
Диофантова размерность поля — это наименьшее натуральное число k , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу C k : то есть такое, что любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный ноль всякий раз, когда N > d k . Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля имеют размерность 1. [11]
Дискриминант точки
Дискриминант точки относится к двум связанным понятиям относительно точки P на алгебраическом многообразии V, определенном над числовым полем K : геометрический (логарифмический) дискриминант [12] d ( P ) и арифметический дискриминант , определенный Войтой. [13] Разницу между ними можно сравнить с разницей между арифметическим родом особой кривой и геометрическим родом десингуляризации . [ 13] Арифметический род больше геометрического рода, и высота точки может быть ограничена в терминах арифметического рода. Получение подобных границ с участием геометрического рода имело бы существенные последствия. [13]
Метод Дворка
Бернард Дворк использовал отличительные методы p-адического анализа , p-адических алгебраических дифференциальных уравнений , комплексов Кошуля и других методов, которые не все были включены в общие теории, такие как кристаллические когомологии . Он первым доказал рациональность локальных дзета-функций, что стало первым шагом в направлении гипотез Вейля .

Э

Этальные когомологии
Поиск когомологий Вейля (qv) был по крайней мере частично выполнен в теории этальных когомологий Александра Гротендика и Майкла Артина . Он обеспечил доказательство функционального уравнения для локальных дзета-функций и был основой для формулировки гипотезы Тейта (qv) и многих других теорий.

Ф

Высота Фалтингса
Высота Фалтингса эллиптической кривой или абелева многообразия, определенного над числовым полем, является мерой его сложности, введенной Фалтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла . [14] [15]
Великая теорема Ферма
Великая теорема Ферма , самая знаменитая гипотеза диофантовой геометрии, была доказана Эндрю Уайлсом и Ричардом Тейлором .
Плоские когомологии
Плоские когомологии являются для школы Гротендика одной из конечных точек развития. Их недостаток в том, что с ними довольно сложно производить вычисления. Причина, по которой плоская топология считалась «правильным» фундаментальным топосом для теории схем, восходит к факту верно-плоского спуска , открытию Гротендиком того, что представимые функторы являются пучками для него (т. е. выполняется очень общая аксиома склеивания ).
Аналогия функционального поля
В девятнадцатом веке было осознано, что кольцо целых чисел числового поля имеет аналогии с аффинным координатным кольцом алгебраической кривой или компактной римановой поверхности, с удаленной точкой или более, соответствующей «бесконечным местам» числового поля. Эта идея более точно закодирована в теории, что все глобальные поля должны рассматриваться на одной и той же основе. Идея идет дальше. Таким образом, эллиптические поверхности над комплексными числами также имеют некоторые довольно строгие аналогии с эллиптическими кривыми над числовыми полями.

Г

Геометрическая теория полей классов
Распространение результатов в стиле теории полей классов на абелевы покрытия на многообразия размерности не менее двух часто называют геометрической теорией полей классов.
Хорошее сокращение
Основой локального анализа в арифметических задачах является сокращение по модулю всех простых чисел p или, в более общем смысле, простых идеалов . В типичной ситуации это не представляет большой сложности для почти всех p ; например, знаменатели дробей сложны, поскольку сокращение по модулю простого числа в знаменателе выглядит как деление на ноль , но это исключает только конечное число p на дробь. С небольшой дополнительной сложностью однородные координаты позволяют очистить знаменатели путем умножения на общий скаляр. Для заданной одной точки можно сделать это и не оставить общего множителя p . Однако вступает теория особенностей : неособая точка может стать особой точкой при сокращении по модулю p , потому что касательное пространство Зарисского может стать больше, когда линейные члены уменьшаются до 0 (геометрическая формулировка показывает, что это не ошибка одного набора координат). Хорошая редукция относится к редуцированному многообразию, имеющему те же свойства, что и исходное, например, алгебраическая кривая, имеющая тот же род , или гладкое многообразие, остающееся гладким. В общем случае будет конечное множество S простых чисел для данного многообразия V , предполагаемого гладким, такое, что в противном случае будет гладкое редуцированное V p над Z / p Z . Для абелевых многообразий хорошая редукция связана с ветвлением в поле точек деления по критерию Нерона–Огга–Шафаревича . Теория тонка в том смысле, что свобода менять переменные, чтобы попытаться улучшить ситуацию, довольно неочевидна: см. модель Нерона , потенциально хорошую редукцию , кривую Тейта , полустабильное абелево многообразие , полустабильную эллиптическю кривую , теорему Серра–Тейта . [16]
Гипотеза Гротендика–Каца
Гипотеза Гротендика –Каца о p-кривизне применяет редукцию по модулю простых чисел к алгебраическим дифференциальным уравнениям для получения информации о решениях алгебраических функций . Первоначальным результатом этого типа была теорема Эйзенштейна .

ЧАС

принцип Хассе
Принцип Хассе утверждает, что разрешимость для глобального поля такая же, как и разрешимость во всех соответствующих локальных полях . Одной из основных целей диофантовой геометрии является классификация случаев, когда принцип Хассе выполняется. Как правило, это касается большого числа переменных, когда степень уравнения сохраняется фиксированной. Принцип Хассе часто ассоциируется с успехом метода круга Харди–Литтлвуда . Когда метод круга работает, он может предоставить дополнительную количественную информацию, такую ​​как асимптотическое число решений. Уменьшение числа переменных усложняет метод круга; поэтому неудачи принципа Хассе, например, для кубических форм с малым числом переменных (и в частности для эллиптических кривых как кубических кривых ), на общем уровне связаны с ограничениями аналитического подхода.
L-функция Хассе–Вейля
L-функция Хассе –Вейля , иногда называемая глобальной L-функцией, является произведением Эйлера, образованным из локальных дзета-функций. Свойства таких L-функций остаются в значительной степени в области предположений, а доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры является прорывом. Философия Ленглендса во многом дополняет теорию глобальных L-функций.
Функция высоты
Функция высоты в диофантовой геометрии количественно определяет размер решений диофантовых уравнений. [17]
Гильбертовские поля
Гильбертово поле K — это поле, для которого проективные пространства над K не являются тонкими множествами в смысле Жана-Пьера Серра . Это геометрический взгляд на теорему Гильберта о неприводимости , которая показывает, что рациональные числа являются гильбертовыми. Результаты применяются к обратной задаче Галуа . Тонкие множества (французское слово mince ) в некотором смысле аналогичны тощим множествам (французское maigre ) теоремы Бэра о категориях .

я

Дзета-функция Игузы
Дзета -функция Игусы , названная в честь Дзюнъити Игусы , является производящей функцией, подсчитывающей количество точек на алгебраическом многообразии по модулю больших степеней p n фиксированного простого числа p . В настоящее время известны общие теоремы рациональности , опирающиеся на методы математической логики . [18]
Бесконечный спуск
Бесконечный спуск был классическим методом Пьера де Ферма для диофантовых уравнений. Он стал одной половиной стандартного доказательства теоремы Морделла–Вейля, а другая — аргументом с функциями высоты (qv). Спуск — это что-то вроде деления на два в группе главных однородных пространств (часто называемых «спусками», когда они записаны уравнениями); в более современных терминах в группе когомологий Галуа , конечность которой должна быть доказана. См. группу Сельмера .
Теория Ивасавы
Теория Ивасавы строится на основе аналитической теории чисел и теоремы Штикельбергера как теории групп идеальных классов как модулей Галуа и p-адических L-функций (с корнями в сравнении Куммера на числах Бернулли ). В свои ранние дни в конце 1960-х годов она называлась аналогом якобиана Ивасавы . Аналогия была с якобиевым многообразием J кривой C над конечным полем F ( ква многообразием Пикара), где конечное поле имеет корни из единицы, добавленные для создания конечных расширений поля F ′ Локальная дзета-функция (qv) C может быть восстановлена ​​из точек J ( F ′ ) как модуль Галуа. Таким же образом Ивасава добавил корни степени p n из единицы при фиксированном p и при n → ∞ для своего аналога к числовому полю K и рассмотрел обратный предел групп классов, найдя p -адическую L-функцию, ранее введенную Куботой и Леопольдом.

К

К-теория
Алгебраическая K-теория , с одной стороны, является довольно общей теорией с оттенком абстрактной алгебры , а с другой стороны, она замешана в некоторых формулировках арифметических гипотез. См., например, гипотезу Бирча–Тейта , гипотезу Лихтенбаума .

Л

гипотеза Ланга
Энрико Бомбьери (размерность 2), Серж Ланг и Пол Войта (случай целых точек) и Петр Бласс предположили, что алгебраические многообразия общего типа не имеют плотных по Зарискому подмножеств K -рациональных точек, поскольку K - конечно-порожденное поле. Этот круг идей включает понимание аналитической гиперболичности и гипотез Ланга об этом, а также гипотез Войты. Аналитически гиперболическое алгебраическое многообразие V над комплексными числами - это такое, что не существует голоморфного отображения из всей комплексной плоскости в него, которое не является константой. Примерами являются компактные римановы поверхности рода g > 1. Ланг предположил, что V является аналитически гиперболическим тогда и только тогда, когда все подмногообразия имеют общий тип. [19]
Линейный тор
Линейный тор — это геометрически неприводимая замкнутая по Зарискому подгруппа аффинного тора (произведения мультипликативных групп). [20]
Локальная дзета-функция
Локальная дзета-функция — это производящая функция для числа точек на алгебраическом многообразии V над конечным полем F , над конечными расширениями поля F. Согласно гипотезам Вейля (см. выше), эти функции для неособых многообразий демонстрируют свойства, очень похожие на дзета -функцию Римана , включая гипотезу Римана .

М

Гипотеза Манина–Мамфорда
Гипотеза Манина –Мамфорда , теперь доказанная Мишелем Рейно , утверждает, что кривая C в ее якобиевом многообразии J может содержать только конечное число точек, имеющих конечный порядок в J , если только C = J. [21] [22 ]
гипотеза Морделла
Гипотеза Морделла теперь называется теоремой Фалтингса и утверждает, что кривая рода не менее двух имеет только конечное число рациональных точек. Гипотеза однородности утверждает, что должна быть равномерная граница для числа таких точек, зависящая только от рода и поля определения.
Гипотеза Морделла–Лэнга
Гипотеза Морделла–Лэнга, доказанная МакКвилланом после работ Лорана, Рейно , Хиндри, Войты и Фалтингса , является гипотезой Лэнга , объединяющей гипотезу Морделла и гипотезу Манина–Мамфорда в абелевом многообразии или полуабелевом многообразии . [23] [24]
Теорема Морделла–Вейля
Теорема Морделла–Вейля является основополагающим результатом, утверждающим, что для абелева многообразия A над числовым полем K группа A ( K ) является конечно-порожденной абелевой группой . Это было доказано первоначально для числовых полей K , но распространяется на все конечно-порожденные поля.
Морделлик сорт
Морделлово многообразие — это алгебраическое многообразие, которое имеет лишь конечное число точек в любом конечно порождённом поле. [25]

Н

Наивная высота
Наивная высота или классическая высота вектора рациональных чисел — это максимальное абсолютное значение вектора взаимно простых целых чисел, полученное умножением на наименьший общий знаменатель . Это может быть использовано для определения высоты в точке проективного пространства над Q , или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, по высоте его минимального многочлена. [26]
символ Нерона
Символ Нерона — это бимультипликативное спаривание между делителями и алгебраическими циклами на абелевом многообразии, используемое в формулировке Нерона высоты Нерона–Тейта как суммы локальных вкладов. [27] [28] [29] Глобальный символ Нерона, который является суммой локальных символов, — это просто отрицательное спаривание высоты. [30]
Рост Нерона–Тейта
Высота Нерона –Тейта (также часто называемая канонической высотой ) на абелевом многообразии A — это функция высоты (qv), которая по сути является внутренней и точной квадратичной формой , а не приблизительно квадратичной относительно сложения на A , как предусмотрено общей теорией высот. Она может быть определена из общей высоты с помощью предельного процесса; существуют также формулы, в том смысле, что она является суммой локальных вкладов. [30]
Неванлинна инвариант
Инвариант Неванлинны обильного дивизора D на нормальном проективном многообразии X — это действительное число, которое описывает скорость роста числа рациональных точек на многообразии относительно вложения, определяемого дивизором. [31] Он имеет схожие формальные свойства с абсциссой сходимости дзета-функции высоты , и предполагается, что они по сути одинаковы. [32]

О

Обычное сокращение
Абелево многообразие A размерности d имеет обычную редукцию в простом числе p, если оно имеет хорошую редукцию в p и, кроме того, p -кручение имеет ранг d . [33]

В

Квазиалгебраическое замыкание
Тема квазиалгебраического замыкания , т.е. разрешимости, гарантированной числом переменных, полиномиальным по степени уравнения, возникла из исследований группы Брауэра и теоремы Шевалле–Уорнинга . Она застопорилась перед лицом контрпримеров ; но см. теорему Акса–Кохена из математической логики .

Р

Редукция по модулю простого числа или идеала
Смотри хорошее сокращение .
Полный идеал
Полный идеал в числовом поле K — это формальное произведение дробного идеала K и вектора положительных действительных чисел с компонентами , индексированными бесконечными позициями K. [34] Полный делитель — это делитель Аракелова . [4]

С

Гипотеза Сато–Тейта
Гипотеза Сато–Тейта описывает распределение элементов Фробениуса в модулях Тейта эллиптических кривых над конечными полями, полученными путем редукции заданной эллиптической кривой над рациональными числами. Микио Сато и, независимо, Джон Тейт [35] предложили ее около 1960 года. Она является прототипом для представлений Галуа в целом.
Метод Сколема
См. метод Шаботи .
Специальный набор
Специальное множество в алгебраическом многообразии — это подмножество, в котором можно было бы ожидать найти много рациональных точек. Точное определение меняется в зависимости от контекста. Одно определение — это замыкание по Зарисскому объединения образов алгебраических групп при нетривиальных рациональных отображениях; в качестве альтернативы можно взять образы абелевых многообразий; [36] другое определение — это объединение всех подмногообразий, которые не являются подтипами общего типа. [19] Для абелевых многообразий определение будет заключаться в объединении всех трансляций собственных абелевых подмногообразий. [37] Для комплексного многообразия голоморфное специальное множество — это замыкание по Зарисскому образов всех непостоянных голоморфных отображений из C. Лэнг предположил, что аналитические и алгебраические специальные множества равны. [38]
Теорема о подпространстве
Теорема Шмидта о подпространстве показывает, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей. Количественная форма теоремы, в которой число подпространств, содержащих все решения, также была получена Шмидтом, и теорема была обобщена Шликкевеем (1977), чтобы разрешить более общие абсолютные значения в числовых полях . Теорема может быть использована для получения результатов по диофантовым уравнениям , таким как теорема Зигеля о целых точках и решение уравнения S-единицы . [39]

Т

Числа Тамагавы
Прямое определение числа Тамагавы хорошо работает только для линейных алгебраических групп . Там гипотеза Вейля о числах Тамагавы была в конечном итоге доказана. Для абелевых многообразий, и в частности гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера (qv), подход числа Тамагавы к локально-глобальному принципу терпит неудачу при прямой попытке, хотя он имел эвристическую ценность на протяжении многих лет. Теперь сложная эквивариантная гипотеза числа Тамагавы является серьезной исследовательской проблемой.
гипотеза Тейта
Гипотеза Тейта ( Джон Тейт , 1963) предоставила аналог гипотезы Ходжа , также на алгебраических циклах , но в пределах арифметической геометрии. Она также дала для эллиптических поверхностей аналог гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера (см.), что быстро привело к прояснению последней и признанию ее важности.
кривая Тейта
Кривая Тейта — это частная эллиптическая кривая над p-адическими числами, введенная Джоном Тейтом для изучения плохой редукции (см. хорошую редукцию ).
Ранг Цен
Ранг Цена поля, названный в честь CC Tsen , который представил их исследование в 1936 году, [40] является наименьшим натуральным числом i , если оно существует, таким, что поле принадлежит классу T i : то есть таким, что любая система многочленов без постоянного члена степени d j от n переменных имеет нетривиальный ноль, когда n > Σ d j i . Алгебраически замкнутые поля имеют ранг Цена нуль. Ранг Цена больше или равен диофантовой размерности , но неизвестно, равны ли они, за исключением случая ранга ноль. [41]

У

Гипотеза однородности
Гипотеза равномерности утверждает, что для любого числового поля K и g > 2 существует равномерная граница B ( g , K ) числа K -рациональных точек на любой кривой рода g . Гипотеза вытекает из гипотезы Бомбьери–Лэнга . [42]
Маловероятное пересечение
Маловероятное пересечение — это алгебраическая подгруппа, пересекающая подмногообразие тора или абелева многообразия в множестве необычно большой размерности, таком как задействованное в гипотезе Морделла–Лэнга . [43]

В

гипотеза Войты
Гипотеза Войты — это комплекс гипотез Пауля Войты , проводящих аналогии между диофантовыми приближениями и теорией Неванлинны .

Вт

Веса
Йога весов — это формулировка Александром Гротендиком аналогий между теорией Ходжа и l-адическими когомологиями . [44]
когомологии Вейля
Первоначальная идея, позднее несколько измененная, для доказательства гипотез Вейля (см.), состояла в построении теории когомологий, применяемой к алгебраическим многообразиям над конечными полями , которая была бы столь же хороша, как сингулярные гомологии, при обнаружении топологической структуры, и имела бы отображения Фробениуса, действующие таким образом, что теорема Лефшеца о неподвижной точке могла бы быть применена к подсчету в локальных дзета-функциях . Более позднюю историю см. в мотивах (алгебраическая геометрия) , мотивных когомологиях .
Догадки Вейля
Гипотезы Вейля были тремя весьма влиятельными гипотезами Андре Вейля , обнародованными около 1949 года, о локальных дзета-функциях. Доказательство было завершено в 1973 году. После того, как они были доказаны, остаются расширения сравнения теоремы Шевалле–Уорнинга , которые исходят из элементарного метода, и улучшения границ Вейля, например, лучшие оценки для кривых числа точек, чем те, что исходят из основной теоремы Вейля 1940 года. Последние оказываются интересными для кодов алгебраической геометрии .
Распределения Вейля на алгебраических многообразиях
Андре Вейль предложил теорию в 1920-х и 1930-х годах о разложении алгебраических чисел по координатам точек на алгебраических многообразиях на простые идеалы . Она осталась несколько недоработанной.
Функция Вейля
Функция Вейля на алгебраическом многообразии — это действительнозначная функция, определенная на некотором дивизоре Картье , которая обобщает концепцию функции Грина в теории Аракелова . [45] Они используются при построении локальных компонент высоты Нерона–Тейта . [46]
Машина для измерения высоты Weil
Машина высоты Вейля — это эффективная процедура для назначения функции высоты любому дивизору на гладком проективном многообразии над числовым полем (или дивизорам Картье на негладких многообразиях). [47]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Арифметическая геометрия в n Lab
  2. ^ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Получено 22 марта 2019 г.
  3. ^ ab Schoof, René (2008). "Вычисление групп классов Аракелова". В Buhler, JP; P., Stevenhagen (ред.). Алгоритмическая теория чисел: решетки, числовые поля, кривые и криптография. MSRI Publications. Том 44. Cambridge University Press . С. 447–495. ISBN 978-0-521-20833-8. MR  2467554. Zbl  1188.11076.
  4. ^ ab Neukirch (1999) стр.189
  5. ^ Ланг (1988) стр.74–75
  6. ^ ван дер Гир, Г.; Шуф, Р. (2000). «Эффективность делителей Аракелова и тэта-делителя числового поля». Селекта Математика . Новая серия. 6 (4): 377–398. arXiv : математика/9802121 . дои : 10.1007/PL00001393. S2CID  12089289. Збл  1030.11063.
  7. ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 66–67.
  8. ^ Ланг (1988) стр.156–157
  9. ^ Ланг (1997) стр.91–96
  10. ^ Коутс, Дж.; Уайлс , А. (1977). «О гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера». Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251. Bibcode : 1977InMat..39..223C. doi : 10.1007/BF01402975. S2CID  189832636. Zbl  0359.14009.
  11. ^ Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 323 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 361. ИСБН 978-3-540-37888-4.
  12. ^ Лэнг (1997) стр.146
  13. ^ abc Lang (1997) стр.171
  14. ^ Фальтингс, Герд (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Математические изобретения . 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. S2CID  121049418.
  15. ^ Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-96311-1.→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
  16. ^ Серр, Жан-Пьер ; Тейт, Джон (ноябрь 1968). «Хорошая редукция абелевых многообразий». Анналы математики . Второе. 88 (3): 492–517. doi :10.2307/1970722. JSTOR  1970722. Zbl  0172.46101.
  17. ^ Лэнг  (1997)
  18. ^ Игуса, Дзюн-Ичи (1974). «Комплексные степени и асимптотические разложения. I. Функции некоторых типов». Журнал для королевы и математики . 1974 (268–269): 110–130. дои : 10.1515/crll.1974.268-269.110. S2CID  117772856. Збл  0287.43007.
  19. ^ ab Hindry & Silverman (2000) стр.479
  20. ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 82–93.
  21. ^ Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". В Artin, Michael ; Tate, John (ред.). Арифметика и геометрия. Статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия. Том I: Арифметика . Progress in Mathematics (на французском языке). Том 35. Birkhauser-Boston. С. 327–352. Zbl  0581.14031.
  22. ^ Рёсслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина–Мамфорда». В ван дер Гир, Жерар; Мунен, Бен; Схоф, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля — два параллельных мира . Прогресс в математике. Т. 239. Биркхойзер. С. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. Збл  1098.14030.
  23. ^ МакКуиллан, Майкл (1995). «Точки деления на полуабелевых многообразиях». Invent. Math . 120 (1): 143–159. Bibcode :1995InMat.120..143M. doi :10.1007/BF01241125. S2CID  120053132.
  24. ^ 2-страничное изложение гипотезы Морделла–Лэнга Б. Мазура, 3 ноября 2005 г.
  25. ^ Лэнг (1997) стр.15
  26. ^ Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том 9. Cambridge University Press . стр. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Збл  1145.11004.
  27. ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 301–314.
  28. ^ Ланг (1988) стр.66–69
  29. ^ Лэнг (1997) стр.212
  30. ^ ab Lang (1988) стр.77
  31. ^ Хайндри и Сильверман (2000) стр.488
  32. ^ Батырев, В.В.; Манин, Ю.И. (1990). «О числе рациональных точек ограниченной высоты на алгебраических многообразиях». Math. Ann . 286 : 27–43. doi :10.1007/bf01453564. S2CID  119945673. Zbl  0679.14008.
  33. ^ Ланг (1997) стр.161–162
  34. ^ Нойкирх (1999) стр.185
  35. ↑ Упоминается в работе Дж. Тейта « Алгебраические циклы и полюса дзета-функций» в томе (редактор ОФГ Шиллинг), «Арифметическая алгебраическая геометрия» , страницы 93–110 (1965).
  36. ^ Ланг (1997) стр.17–23
  37. ^ Хайндри и Сильверман (2000) стр.480
  38. ^ Лэнг (1997) стр.179
  39. ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 176–230.
  40. ^ Цен, К. (1936). «Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper». Дж. Китайская математика. Соц . 171 : 81–92. Збл  0015.38803.
  41. ^ Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer. С. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4.
  42. ^ Капорасо, Люсия ; Харрис, Джо ; Мазур, Барри (1997). «Равномерность рациональных точек». Журнал Американского математического общества . 10 (1): 1–35. doi : 10.1090/S0894-0347-97-00195-1 . JSTOR  2152901. Zbl  0872.14017.
  43. ^ Zannier, Umberto (2012). Некоторые проблемы маловероятных пересечений в арифметике и геометрии . Annals of Mathematics Studies. Том 181. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-15371-1.
  44. ^ Пьер Делинь , Poids dans la когомологии алгебраических разновидностей , Actes ICM, Ванкувер, 1974, 79–85.
  45. ^ Ланг (1988) стр.1–9
  46. ^ Ланг (1997) стр.164,212
  47. ^ Хайндри и Сильверман (2000) 184–185

Дальнейшее чтение