Торальф Альберт Скулем ( норв. Thoralf Albert Skolem ; 23 мая 1887 — 23 марта 1963) — норвежский математик, работавший в области математической логики и теории множеств .
Хотя отец Скулема был учителем начальной школы, большинство его родственников были фермерами. Скулем посещал среднюю школу в Кристиании (позже переименованной в Осло ), сдав вступительные экзамены в университет в 1905 году. Затем он поступил в Det Kongelige Frederiks Universitet , чтобы изучать математику, а также посещал курсы по физике , химии , зоологии и ботанике .
В 1909 году он начал работать помощником физика Кристиана Биркеланда , известного бомбардировкой намагниченных сфер электронами и получением эффектов, подобных полярному сиянию ; таким образом, первыми публикациями Скулема были статьи по физике, написанные совместно с Биркеландом. В 1913 году Скулем с отличием сдал государственные экзамены и завершил диссертацию под названием «Исследования по алгебре логики» . Он также отправился с Биркеландом в Судан, чтобы наблюдать зодиакальный свет . Зимний семестр 1915 года он провел в Геттингенском университете , в то время ведущем исследовательском центре в области математической логики , метаматематики и абстрактной алгебры — областях, в которых Скулем в конечном итоге преуспел. В 1916 году он был назначен научным сотрудником в Det Kongelige Frederiks Universitet. В 1918 году он стал доцентом математики и был избран в Норвежскую академию наук и литературы .
Скулем сначала официально не регистрировался в качестве кандидата на степень доктора философии, полагая, что в Норвегии эта степень не нужна. Позже он передумал и в 1926 году представил диссертацию под названием « Некоторые теоремы об интегральных решениях некоторых алгебраических уравнений и неравенств» . Его условным руководителем диссертации был Аксель Туэ , хотя Туэ умер в 1922 году.
В 1927 году он женился на Эдит Вильгельмине Хасволд.
Скулем продолжал преподавать в Det kongelige Frederiks Universitet (переименованном в Университет Осло в 1939 году) до 1930 года, когда он стал научным сотрудником в Институте Х. Михельсена в Бергене . Эта руководящая должность позволяла Скулему проводить исследования, не отвлекаясь от административных и преподавательских обязанностей. Однако эта должность также требовала от него проживания в Бергене , городе, в котором тогда не было университета и, следовательно, не было научной библиотеки, так что он не мог быть в курсе математической литературы. В 1938 году он вернулся в Осло, чтобы занять должность профессора математики в университете. Там он преподавал аспирантуру по алгебре и теории чисел и лишь изредка по математической логике. Аспирант Скулема Ойстейн Оре продолжил карьеру в США.
Скулем был президентом Норвежского математического общества и много лет редактировал Norsk Matematisk Tidsskrift («Норвежский математический журнал»). Он также был основателем и редактором Mathematica Scandinavica .
После выхода на пенсию в 1957 году он совершил несколько поездок в Соединенные Штаты, выступая и преподавая в тамошних университетах. Он оставался интеллектуально активным до своей внезапной и неожиданной смерти.
Более подробную информацию об академической жизни Скулема см. в книге Фенстада (1970).
Скулем опубликовал около 180 статей по диофантовым уравнениям , теории групп , теории решеток и, прежде всего, теории множеств и математической логике . В основном он публиковался в норвежских журналах с ограниченным международным тиражом, так что его результаты время от времени переоткрывались другими. Примером может служить теорема Скулема–Нётер , характеризующая автоморфизмы простых алгебр. Скулем опубликовал доказательство в 1927 году, но Эмми Нётер независимо переоткрыла его несколько лет спустя.
Скулем был одним из первых, кто писал о решетках . В 1912 году он первым описал свободную дистрибутивную решетку, порожденную n элементами. В 1919 году он показал, что каждая импликативная решетка (теперь также называемая решеткой Скулема) является дистрибутивной и, как частичное обратное, что каждая конечная дистрибутивная решетка является импликативной. После того, как эти результаты были переоткрыты другими, Скулем опубликовал в 1936 году статью на немецком языке "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", в которой дал обзор своих ранних работ по теории решеток.
Скулем был пионером теории моделей . В 1920 году он значительно упростил доказательство теоремы, впервые доказанной Леопольдом Лёвенгеймом в 1915 году, что привело к теореме Лёвенгейма–Скулема , которая гласит, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет счетную модель. Его доказательство 1920 года использовало аксиому выбора , но позже (1922 и 1928) он дал доказательства, используя лемму Кёнига вместо этой аксиомы. Примечательно, что Скулем, как и Лёвенгейм, писал о математической логике и теории множеств, используя обозначения своих коллег-пионеров теории моделей Чарльза Сандерса Пирса и Эрнста Шрёдера , включая Π, Σ как кванторы связывания переменных, в отличие от обозначений Пеано , Principia Mathematica и Principles of Mathematical Logic . Скулем (1934) был пионером в построении нестандартных моделей арифметики и теории множеств.
Скулем (1922) усовершенствовал аксиомы Цермело для теории множеств, заменив неопределенное понятие Цермело «определенного» свойства любым свойством, которое может быть закодировано в логике первого порядка . Полученная аксиома теперь является частью стандартных аксиом теории множеств. Скулем также указал, что следствием теоремы Лёвенгейма–Скулема является то, что теперь известно как парадокс Скулема : если аксиомы Цермело непротиворечивы, то они должны быть выполнимы в счетной области, даже если они доказывают существование несчетных множеств.
Полнота логики первого порядка является следствием результатов, которые Скулем доказал в начале 1920-х годов и обсудил в Скулеме (1928), но он не отметил этот факт, возможно, потому, что математики и логики не осознавали полноту как фундаментальную метаматематическую проблему до тех пор, пока в первом издании «Принципов математической логики» Гильберта и Аккермана в 1928 году она не была четко сформулирована. В любом случае, Курт Гёдель впервые доказал эту полноту в 1930 году.
Скулем не доверял завершенной бесконечности и был одним из основателей финитизма в математике. Скулем (1923) излагает свою примитивную рекурсивную арифметику , очень ранний вклад в теорию вычислимых функций , как средство избежания так называемых парадоксов бесконечности. Здесь он разработал арифметику натуральных чисел, сначала определив объекты примитивной рекурсией , а затем разработав другую систему для доказательства свойств объектов, определенных первой системой. Эти две системы позволили ему определить простые числа и изложить значительный объем теории чисел. Если первую из этих систем можно рассматривать как язык программирования для определения объектов, а вторую — как логику программирования для доказательства свойств объектов, Скулема можно рассматривать как невольного пионера теоретической информатики.
В 1929 году Пресбургер доказал, что арифметика Пеано без умножения является последовательной , полной и разрешимой . В следующем году Скулем доказал, что то же самое относится к арифметике Пеано без сложения, системе, названной в его честь арифметикой Скулема . Знаменитый результат Гёделя 1931 года заключается в том, что сама арифметика Пеано (как со сложением, так и с умножением) является незавершенной и, следовательно, апостериорно неразрешимой.
Хао Ван так оценил работу Скулема:
Скулем склонен рассматривать общие проблемы с помощью конкретных примеров. Он часто, казалось, представлял доказательства в том же порядке, в котором он их открывал. Это приводит к новой неформальности, а также к определенной неубедительности. Многие из его статей кажутся отчетами о ходе работы. Тем не менее, его идеи часто полны смысла и потенциально способны к широкому применению. Он был очень «свободным духом»: он не принадлежал ни к одной школе, он не основал свою собственную школу, он обычно не использовал широко известные результаты... он был очень новатором, и большинство его статей могут быть прочитаны и поняты теми, кто не обладает большими специальными знаниями. Кажется вполне вероятным, что если бы он был молод сегодня, логика... не привлекла бы его. (Скулем 1970: 17-18)
Более подробную информацию о достижениях Скулема см. в работе Хао Вана (1970).
