Это глоссарий арифметики и диофантовой геометрии в математике , областях, выросших из традиционного изучения диофантовых уравнений , чтобы охватить большие части теории чисел и алгебраической геометрии . Большая часть теории представлена в форме предлагаемых гипотез , которые могут быть связаны на различных уровнях общности.
Диофантова геометрия в целом — это изучение алгебраических многообразий V над полями K , которые конечно порождены над своими простыми полями — включая, как особый интерес , числовые поля и конечные поля — и над локальными полями . Из них только комплексные числа алгебраически замкнуты ; над любым другим K существование точек V с координатами в K — это то, что должно быть доказано и изучено как дополнительная тема, даже зная геометрию V.
Арифметическую геометрию можно более широко определить как изучение схем конечного типа над спектром кольца целых чисел . [1] Арифметическая геометрия также определяется как применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел . [2]
См. также глоссарий терминов теории чисел в разделе Глоссарий теории чисел .
А
гипотеза abcГипотеза abc Массера и Эстерле пытается как можно больше сказать о повторяющихся простых множителях в уравнении a + b = c . Например, 3 + 125 = 128, но степени простых чисел здесь исключительны .Аракелов классная группаГруппа классов Аракелова является аналогом группы классов идеалов или группы классов делителей для делителей Аракелова . [3]делитель АракеловаДелитель Аракелова (или полный делитель [4] ) на глобальном поле является расширением понятия делителя или дробного идеала . Это формальная линейная комбинация мест поля с конечными местами , имеющими целые коэффициенты, и бесконечными местами, имеющими действительные коэффициенты. [3] [5] [6]Аракелов высотаВысота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами, полученными из метрик Фубини–Штуди на архимедовых полях и обычной метрики на неархимедовых полях . [7] [8]теория АракеловаТеория Аракелова — это подход к арифметической геометрии, который явно включает «бесконечные простые числа».Арифметика абелевых многообразийСм. основную статью арифметика абелевых многообразийL-функции АртинаL-функции Артина определены для довольно общих представлений Галуа . Введение этальных когомологий в 1960-х годах означало, что L-функции Хассе–Вейля можно рассматривать как L-функции Артина для представлений Галуа на l-адических группах когомологий.Б
- Плохое сокращение
- Смотри хорошее сокращение .
- Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
- Гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера об эллиптических кривых постулирует связь между рангом эллиптической кривой и порядком полюса ее L-функции Хассе–Вейля. Она стала важной вехой в диофантовой геометрии с середины 1960-х годов, с такими результатами, как теорема Коутса–Уайлса , теорема Гросса–Загира и теорема Колывагина . [9]
С
Каноническая высотаКаноническая высота на абелевом многообразии — это функция высоты, которая является выделенной квадратичной формой . См. высоту Нерона–Тейта .Метод ШаботиМетод Шаботи , основанный на p -адических аналитических функциях, является специальным приложением, но способным доказать случаи гипотезы Морделла для кривых, ранг якобиана которых меньше его размерности. Он развивал идеи метода Торальфа Сколема для алгебраического тора . (Другие старые методы для диофантовых задач включают метод Рунге .)Теорема Коутса–УайлсаТеорема Коутса –Уайлса утверждает, что эллиптическая кривая с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле класса номер 1 и положительного ранга имеет L-функцию с нулем при s = 1. Это частный случай гипотезы Бирча и Суиннертона–Дайера . [10]Кристаллические когомологииКристаллические когомологии — это p-адическая теория когомологий в характеристике p , введенная Александром Гротендиком для заполнения пробела, оставленного этальными когомологиями , которые в этом случае не могут использовать коэффициенты mod p . Это одна из многих теорий, вытекающих в некотором роде из метода Дворка , и имеет приложения за пределами чисто арифметических вопросов.Д
Диагональные формыДиагональные формы являются одними из самых простых проективных многообразий для изучения с арифметической точки зрения (включая многообразия Ферма ). Их локальные дзета-функции вычисляются в терминах сумм Якоби . Проблема Варинга является наиболее классическим случаем.Диофантово измерениеДиофантова размерность поля — это наименьшее натуральное число k , если оно существует, такое, что поле принадлежит классу C k : то есть такое, что любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный ноль всякий раз, когда N > d k . Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля имеют размерность 1. [11]Дискриминант точкиДискриминант точки относится к двум связанным понятиям относительно точки P на алгебраическом многообразии V, определенном над числовым полем K : геометрический (логарифмический) дискриминант [12] d ( P ) и арифметический дискриминант , определенный Войтой. [13] Разницу между ними можно сравнить с разницей между арифметическим родом особой кривой и геометрическим родом десингуляризации . [ 13] Арифметический род больше геометрического рода, и высота точки может быть ограничена в терминах арифметического рода. Получение подобных границ с участием геометрического рода имело бы существенные последствия. [13]Метод ДворкаБернард Дворк использовал отличительные методы p-адического анализа , p-адических алгебраических дифференциальных уравнений , комплексов Кошуля и других методов, которые не все были включены в общие теории, такие как кристаллические когомологии . Он первым доказал рациональность локальных дзета-функций, что стало первым шагом в направлении гипотез Вейля .Э
Этальные когомологииПоиск когомологий Вейля (qv) был по крайней мере частично выполнен в теории этальных когомологий Александра Гротендика и Майкла Артина . Он обеспечил доказательство функционального уравнения для локальных дзета-функций и был основой для формулировки гипотезы Тейта (qv) и многих других теорий.Ф
Высота ФалтингсаВысота Фалтингса эллиптической кривой или абелева многообразия, определенного над числовым полем, является мерой его сложности, введенной Фалтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла . [14] [15]Великая теорема ФермаВеликая теорема Ферма , самая знаменитая гипотеза диофантовой геометрии, была доказана Эндрю Уайлсом и Ричардом Тейлором .Плоские когомологииПлоские когомологии являются для школы Гротендика одной из конечных точек развития. Их недостаток в том, что с ними довольно сложно производить вычисления. Причина, по которой плоская топология считалась «правильным» фундаментальным топосом для теории схем, восходит к факту верно-плоского спуска , открытию Гротендиком того, что представимые функторы являются пучками для него (т. е. выполняется очень общая аксиома склеивания ).Аналогия функционального поляВ девятнадцатом веке было осознано, что кольцо целых чисел числового поля имеет аналогии с аффинным координатным кольцом алгебраической кривой или компактной римановой поверхности, с удаленной точкой или более, соответствующей «бесконечным местам» числового поля. Эта идея более точно закодирована в теории, что все глобальные поля должны рассматриваться на одной и той же основе. Идея идет дальше. Таким образом, эллиптические поверхности над комплексными числами также имеют некоторые довольно строгие аналогии с эллиптическими кривыми над числовыми полями.Г
Геометрическая теория полей классовРаспространение результатов в стиле теории полей классов на абелевы покрытия на многообразия размерности не менее двух часто называют геометрической теорией полей классов.Хорошее сокращениеОсновой локального анализа в арифметических задачах является сокращение по модулю всех простых чисел p или, в более общем смысле, простых идеалов . В типичной ситуации это не представляет большой сложности для почти всех p ; например, знаменатели дробей сложны, поскольку сокращение по модулю простого числа в знаменателе выглядит как деление на ноль , но это исключает только конечное число p на дробь. С небольшой дополнительной сложностью однородные координаты позволяют очистить знаменатели путем умножения на общий скаляр. Для заданной одной точки можно сделать это и не оставить общего множителя p . Однако вступает теория особенностей : неособая точка может стать особой точкой при сокращении по модулю p , потому что касательное пространство Зарисского может стать больше, когда линейные члены уменьшаются до 0 (геометрическая формулировка показывает, что это не ошибка одного набора координат). Хорошая редукция относится к редуцированному многообразию, имеющему те же свойства, что и исходное, например, алгебраическая кривая, имеющая тот же род , или гладкое многообразие, остающееся гладким. В общем случае будет конечное множество S простых чисел для данного многообразия V , предполагаемого гладким, такое, что в противном случае будет гладкое редуцированное V p над Z / p Z . Для абелевых многообразий хорошая редукция связана с ветвлением в поле точек деления по критерию Нерона–Огга–Шафаревича . Теория тонка в том смысле, что свобода менять переменные, чтобы попытаться улучшить ситуацию, довольно неочевидна: см. модель Нерона , потенциально хорошую редукцию , кривую Тейта , полустабильное абелево многообразие , полустабильную эллиптическю кривую , теорему Серра–Тейта . [16]Гипотеза Гротендика–КацаГипотеза Гротендика –Каца о p-кривизне применяет редукцию по модулю простых чисел к алгебраическим дифференциальным уравнениям для получения информации о решениях алгебраических функций . Первоначальным результатом этого типа была теорема Эйзенштейна .ЧАС
принцип ХассеПринцип Хассе утверждает, что разрешимость для глобального поля такая же, как и разрешимость во всех соответствующих локальных полях . Одной из основных целей диофантовой геометрии является классификация случаев, когда принцип Хассе выполняется. Как правило, это касается большого числа переменных, когда степень уравнения сохраняется фиксированной. Принцип Хассе часто ассоциируется с успехом метода круга Харди–Литтлвуда . Когда метод круга работает, он может предоставить дополнительную количественную информацию, такую как асимптотическое число решений. Уменьшение числа переменных усложняет метод круга; поэтому неудачи принципа Хассе, например, для кубических форм с малым числом переменных (и в частности для эллиптических кривых как кубических кривых ), на общем уровне связаны с ограничениями аналитического подхода.L-функция Хассе–ВейляL-функция Хассе –Вейля , иногда называемая глобальной L-функцией, является произведением Эйлера, образованным из локальных дзета-функций. Свойства таких L-функций остаются в значительной степени в области предположений, а доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры является прорывом. Философия Ленглендса во многом дополняет теорию глобальных L-функций.Функция высотыФункция высоты в диофантовой геометрии количественно определяет размер решений диофантовых уравнений. [17]Гильбертовские поляГильбертово поле K — это поле, для которого проективные пространства над K не являются тонкими множествами в смысле Жана-Пьера Серра . Это геометрический взгляд на теорему Гильберта о неприводимости , которая показывает, что рациональные числа являются гильбертовыми. Результаты применяются к обратной задаче Галуа . Тонкие множества (французское слово mince ) в некотором смысле аналогичны тощим множествам (французское maigre ) теоремы Бэра о категориях .я
Дзета-функция ИгузыДзета -функция Игусы , названная в честь Дзюнъити Игусы , является производящей функцией, подсчитывающей количество точек на алгебраическом многообразии по модулю больших степеней p n фиксированного простого числа p . В настоящее время известны общие теоремы рациональности , опирающиеся на методы математической логики . [18]Бесконечный спускБесконечный спуск был классическим методом Пьера де Ферма для диофантовых уравнений. Он стал одной половиной стандартного доказательства теоремы Морделла–Вейля, а другая — аргументом с функциями высоты (qv). Спуск — это что-то вроде деления на два в группе главных однородных пространств (часто называемых «спусками», когда они записаны уравнениями); в более современных терминах в группе когомологий Галуа , конечность которой должна быть доказана. См. группу Сельмера .Теория ИвасавыТеория Ивасавы строится на основе аналитической теории чисел и теоремы Штикельбергера как теории групп идеальных классов как модулей Галуа и p-адических L-функций (с корнями в сравнении Куммера на числах Бернулли ). В свои ранние дни в конце 1960-х годов она называлась аналогом якобиана Ивасавы . Аналогия была с якобиевым многообразием J кривой C над конечным полем F ( ква многообразием Пикара), где конечное поле имеет корни из единицы, добавленные для создания конечных расширений поля F ′ Локальная дзета-функция (qv) C может быть восстановлена из точек J ( F ′ ) как модуль Галуа. Таким же образом Ивасава добавил корни степени p n из единицы при фиксированном p и при n → ∞ для своего аналога к числовому полю K и рассмотрел обратный предел групп классов, найдя p -адическую L-функцию, ранее введенную Куботой и Леопольдом.К
К-теорияАлгебраическая К-теория , с одной стороны, является довольно общей теорией с оттенком абстрактной алгебры , а с другой стороны, она замешана в некоторых формулировках арифметических гипотез. См., например, гипотезу Бирча–Тейта , гипотезу Лихтенбаума .Л
гипотеза ЛангаЭнрико Бомбьери (размерность 2), Серж Ланг и Пол Войта (случай целых точек) и Петр Бласс предположили, что алгебраические многообразия общего типа не имеют плотных по Зарискому подмножеств K -рациональных точек, поскольку K - конечно-порожденное поле. Этот круг идей включает понимание аналитической гиперболичности и гипотез Ланга об этом, а также гипотез Войты. Аналитически гиперболическое алгебраическое многообразие V над комплексными числами - это такое, что не существует голоморфного отображения из всей комплексной плоскости в него, которое не является константой. Примерами являются компактные римановы поверхности рода g > 1. Ланг предположил, что V является аналитически гиперболическим тогда и только тогда, когда все подмногообразия имеют общий тип. [19]Линейный торЛинейный тор — это геометрически неприводимая замкнутая по Зарискому подгруппа аффинного тора (произведения мультипликативных групп). [20]Локальная дзета-функцияЛокальная дзета-функция — это производящая функция для числа точек на алгебраическом многообразии V над конечным полем F , над конечными расширениями поля F. Согласно гипотезам Вейля (см. выше), эти функции для неособых многообразий демонстрируют свойства, очень похожие на дзета -функцию Римана , включая гипотезу Римана .М
Гипотеза Манина–МамфордаГипотеза Манина –Мамфорда , теперь доказанная Мишелем Рейно , утверждает, что кривая C в ее якобиевом многообразии J может содержать только конечное число точек, имеющих конечный порядок в J , если только C = J. [21] [22 ]гипотеза МорделлаГипотеза Морделла теперь называется теоремой Фалтингса и утверждает, что кривая рода не менее двух имеет только конечное число рациональных точек. Гипотеза однородности утверждает, что должна быть равномерная граница для числа таких точек, зависящая только от рода и поля определения.Гипотеза Морделла–ЛэнгаГипотеза Морделла–Лэнга, доказанная МакКвилланом после работ Лорана, Рейно , Хиндри, Войты и Фалтингса , является гипотезой Лэнга , объединяющей гипотезу Морделла и гипотезу Манина–Мамфорда в абелевом многообразии или полуабелевом многообразии . [23] [24]Теорема Морделла–ВейляТеорема Морделла–Вейля является основополагающим результатом, утверждающим, что для абелева многообразия A над числовым полем K группа A ( K ) является конечно-порожденной абелевой группой . Это было доказано первоначально для числовых полей K , но распространяется на все конечно-порожденные поля.Морделлик сортМорделлово многообразие — это алгебраическое многообразие, которое имеет лишь конечное число точек в любом конечно порождённом поле. [25]Н
Наивная высотаНаивная высота или классическая высота вектора рациональных чисел — это максимальное абсолютное значение вектора взаимно простых целых чисел, полученное умножением на наименьший общий знаменатель . Это может быть использовано для определения высоты в точке проективного пространства над Q , или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, по высоте его минимального многочлена. [26]символ НеронаСимвол Нерона — это бимультипликативное спаривание между делителями и алгебраическими циклами на абелевом многообразии , используемое в формулировке Нерона высоты Нерона–Тейта как суммы локальных вкладов. [27] [28] [29] Глобальный символ Нерона, который является суммой локальных символов, — это просто отрицательное спаривание высоты. [30]Рост Нерона–ТейтаВысота Нерона –Тейта (также часто называемая канонической высотой ) на абелевом многообразии A — это функция высоты (qv), которая по сути является внутренней и точной квадратичной формой , а не приблизительно квадратичной относительно сложения на A , как предусмотрено общей теорией высот. Она может быть определена из общей высоты с помощью предельного процесса; существуют также формулы в том смысле, что она является суммой локальных вкладов. [30]Неванлинна инвариантИнвариант Неванлинны обильного дивизора D на нормальном проективном многообразии X — это действительное число, которое описывает скорость роста числа рациональных точек на многообразии относительно вложения, определяемого дивизором. [31] Он имеет схожие формальные свойства с абсциссой сходимости дзета-функции высоты , и предполагается, что они по сути одинаковы. [32]О
Обычное сокращениеАбелево многообразие A размерности d имеет обычную редукцию в простом числе p, если оно имеет хорошую редукцию в p и, кроме того, p -кручение имеет ранг d . [33]В
Квазиалгебраическое замыканиеТема квазиалгебраического замыкания , т.е. разрешимости, гарантированной числом переменных, полиномиальным по степени уравнения, возникла из исследований группы Брауэра и теоремы Шевалле–Уорнинга . Она застопорилась перед лицом контрпримеров ; но см. теорему Акса–Кохена из математической логики .Р
Редукция по модулю простого числа или идеалаСмотри хорошее сокращение .Полный идеалПолный идеал в числовом поле K — это формальное произведение дробного идеала K и вектора положительных действительных чисел с компонентами , индексированными бесконечными позициями K. [34] Полный делитель — это делитель Аракелова . [4]С
Гипотеза Сато–ТейтаГипотеза Сато–Тейта описывает распределение элементов Фробениуса в модулях Тейта эллиптических кривых над конечными полями, полученными путем редукции заданной эллиптической кривой над рациональными числами. Микио Сато и, независимо, Джон Тейт [35] предложили ее около 1960 года. Она является прототипом для представлений Галуа в целом.Метод СколемаСм. метод Шаботи .Специальный наборСпециальное множество в алгебраическом многообразии — это подмножество, в котором можно было бы ожидать найти много рациональных точек. Точное определение меняется в зависимости от контекста. Одно определение — это замыкание по Зарисскому объединения образов алгебраических групп при нетривиальных рациональных отображениях; в качестве альтернативы можно взять образы абелевых многообразий; [36] другое определение — это объединение всех подмногообразий, которые не являются подтипами общего типа. [19] Для абелевых многообразий определение будет заключаться в объединении всех трансляций собственных абелевых подмногообразий. [37] Для комплексного многообразия голоморфное специальное множество — это замыкание по Зарисскому образов всех непостоянных голоморфных отображений из C. Лэнг предположил, что аналитические и алгебраические специальные множества равны. [38]Теорема о подпространствеТеорема Шмидта о подпространстве показывает, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей. Количественная форма теоремы, в которой число подпространств, содержащих все решения, также была получена Шмидтом, и теорема была обобщена Шликкевеем (1977), чтобы разрешить более общие абсолютные значения в числовых полях . Теорема может быть использована для получения результатов по диофантовым уравнениям , таким как теорема Зигеля о целых точках и решение уравнения S-единицы . [39]Т
Числа ТамагавыПрямое определение числа Тамагавы хорошо работает только для линейных алгебраических групп . Там гипотеза Вейля о числах Тамагавы была в конечном итоге доказана. Для абелевых многообразий, и в частности гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера (qv), подход числа Тамагавы к локально-глобальному принципу терпит неудачу при прямой попытке, хотя он имел эвристическую ценность на протяжении многих лет. Теперь сложная эквивариантная гипотеза числа Тамагавы является серьезной исследовательской проблемой.гипотеза ТейтаГипотеза Тейта ( Джон Тейт , 1963) предоставила аналог гипотезы Ходжа , также на алгебраических циклах , но в пределах арифметической геометрии. Она также дала для эллиптических поверхностей аналог гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера (см.), что быстро привело к прояснению последней и признанию ее важности.кривая ТейтаКривая Тейта — это частная эллиптическая кривая над p-адическими числами, введенная Джоном Тейтом для изучения плохой редукции (см. хорошую редукцию ).Ранг ЦенРанг Цена поля, названный в честь CC Tsen , который представил их исследование в 1936 году, [40] является наименьшим натуральным числом i , если оно существует, таким, что поле принадлежит классу T i : то есть таким, что любая система многочленов без постоянного члена степени d j от n переменных имеет нетривиальный ноль, когда n > Σ d j i . Алгебраически замкнутые поля имеют ранг Цена нуль. Ранг Цена больше или равен диофантовой размерности , но неизвестно, равны ли они, за исключением случая ранга ноль. [41]У
Гипотеза однородностиГипотеза однородности утверждает, что для любого числового поля K и g > 2 существует равномерная граница B ( g , K ) на число K -рациональных точек на любой кривой рода g . Гипотеза вытекает из гипотезы Бомбьери–Лэнга . [42]Маловероятное пересечениеМаловероятное пересечение — это алгебраическая подгруппа, пересекающая подмногообразие тора или абелева многообразия в множестве необычно большой размерности, таком как задействованное в гипотезе Морделла–Лэнга . [43]В
гипотеза ВойтыГипотеза Войты — это комплекс гипотез Пауля Войты , проводящих аналогии между диофантовыми приближениями и теорией Неванлинны .Вт
ВесаЙога весов — это формулировка Александром Гротендиком аналогий между теорией Ходжа и l-адическими когомологиями . [44]когомологии ВейляПервоначальная идея, позднее несколько измененная, для доказательства гипотез Вейля (см.), состояла в построении теории когомологий, применяемой к алгебраическим многообразиям над конечными полями , которая была бы столь же хороша, как сингулярные гомологии, при обнаружении топологической структуры, и имела бы отображения Фробениуса, действующие таким образом, что теорема Лефшеца о неподвижной точке могла бы быть применена к подсчету в локальных дзета-функциях . Более позднюю историю см. в мотивах (алгебраическая геометрия) , мотивных когомологиях .Догадки ВейляГипотезы Вейля были тремя весьма влиятельными гипотезами Андре Вейля , обнародованными около 1949 года, о локальных дзета-функциях. Доказательство было завершено в 1973 году. После того, как они были доказаны, остаются расширения сравнения теоремы Шевалле–Уорнинга , которые исходят из элементарного метода, и улучшения границ Вейля, например, лучшие оценки для кривых числа точек, чем те, что исходят из основной теоремы Вейля 1940 года. Последние оказываются интересными для кодов алгебраической геометрии .Распределения Вейля на алгебраических многообразияхАндре Вейль предложил теорию в 1920-х и 1930-х годах о разложении алгебраических чисел по координатам точек на алгебраических многообразиях на простые идеалы . Она осталась несколько недоработанной.Функция ВейляФункция Вейля на алгебраическом многообразии — это действительнозначная функция, определенная на некотором дивизоре Картье , которая обобщает концепцию функции Грина в теории Аракелова . [45] Они используются при построении локальных компонент высоты Нерона–Тейта . [46]Машина для измерения высоты WeilМашина высоты Вейля — это эффективная процедура для назначения функции высоты любому дивизору на гладком проективном многообразии над числовым полем (или дивизорам Картье на негладких многообразиях). [47]Смотрите также
Ссылки
- ^ Арифметическая геометрия в n Lab
- ^ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Получено 22 марта 2019 г.
- ^ ab Schoof, René (2008). "Вычисление групп классов Аракелова". В Buhler, JP; P., Stevenhagen (ред.). Алгоритмическая теория чисел: решетки, числовые поля, кривые и криптография. MSRI Publications. Том 44. Cambridge University Press . С. 447–495. ISBN 978-0-521-20833-8. MR 2467554. Zbl 1188.11076.
- ^ ab Neukirch (1999) стр.189
- ^ Ланг (1988) стр.74–75
- ^ ван дер Гир, Г.; Шуф, Р. (2000). «Эффективность делителей Аракелова и тэта-делителя числового поля». Селекта Математика . Новая серия. 6 (4): 377–398. arXiv : математика/9802121 . дои : 10.1007/PL00001393. S2CID 12089289. Збл 1030.11063.
- ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 66–67.
- ^ Ланг (1988) стр.156–157
- ^ Ланг (1997) стр.91–96
- ^ Коутс, Дж.; Уайлс , А. (1977). «О гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера». Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251. Bibcode : 1977InMat..39..223C. doi : 10.1007/BF01402975. S2CID 189832636. Zbl 0359.14009.
- ^ Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 323 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 361. ИСБН 978-3-540-37888-4.
- ^ Лэнг (1997) стр.146
- ^ abc Lang (1997) стр.171
- ^ Фальтингс, Герд (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Математические изобретения . 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. S2CID 121049418.
- ^ Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-96311-1.→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
- ^ Серр, Жан-Пьер ; Тейт, Джон (ноябрь 1968). «Хорошая редукция абелевых многообразий». Анналы математики . Второе. 88 (3): 492–517. doi :10.2307/1970722. JSTOR 1970722. Zbl 0172.46101.
- ^ Лэнг (1997)
- ^ Игуса, Дзюн-Ичи (1974). «Комплексные степени и асимптотические разложения. I. Функции некоторых типов». Журнал для королевы и математики . 1974 (268–269): 110–130. дои : 10.1515/crll.1974.268-269.110. S2CID 117772856. Збл 0287.43007.
- ^ ab Hindry & Silverman (2000) стр.479
- ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 82–93.
- ^ Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". В Artin, Michael ; Tate, John (ред.). Арифметика и геометрия. Статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия. Том I: Арифметика . Progress in Mathematics (на французском языке). Том 35. Birkhauser-Boston. С. 327–352. Zbl 0581.14031.
- ^ Рёсслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина–Мамфорда». В ван дер Гир, Жерар; Мунен, Бен; Схоф, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля — два параллельных мира . Прогресс в математике. Т. 239. Биркхойзер. С. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. Збл 1098.14030.
- ^ МакКуиллан, Майкл (1995). «Точки деления на полуабелевых многообразиях». Invent. Math . 120 (1): 143–159. Bibcode :1995InMat.120..143M. doi :10.1007/BF01241125. S2CID 120053132.
- ↑ 2-страничное изложение гипотезы Морделла–Лэнга Б. Мазура, 3 ноября 2005 г.
- ^ Лэнг (1997) стр.15
- ^ Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том 9. Cambridge University Press . стр. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Збл 1145.11004.
- ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 301–314.
- ^ Ланг (1988) стр.66–69
- ^ Лэнг (1997) стр.212
- ^ ab Lang (1988) стр.77
- ^ Хайндри и Сильверман (2000) стр.488
- ^ Батырев, В.В.; Манин, Ю.И. (1990). «О числе рациональных точек ограниченной высоты на алгебраических многообразиях». Math. Ann . 286 : 27–43. doi :10.1007/bf01453564. S2CID 119945673. Zbl 0679.14008.
- ^ Ланг (1997) стр.161–162
- ^ Нойкирх (1999) стр.185
- ↑ Упоминается в работе Дж. Тейта « Алгебраические циклы и полюса дзета-функций» в томе (редактор ОФГ Шиллинг), «Арифметическая алгебраическая геометрия» , страницы 93–110 (1965).
- ^ Ланг (1997) стр.17–23
- ^ Хайндри и Сильверман (2000) стр.480
- ^ Лэнг (1997) стр.179
- ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 176–230.
- ^ Цен, К. (1936). «Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper». Дж. Китайская математика. Соц . 171 : 81–92. Збл 0015.38803.
- ^ Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer. С. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4.
- ^ Капорасо, Люсия ; Харрис, Джо ; Мазур, Барри (1997). «Равномерность рациональных точек». Журнал Американского математического общества . 10 (1): 1–35. doi : 10.1090/S0894-0347-97-00195-1 . JSTOR 2152901. Zbl 0872.14017.
- ^ Zannier, Umberto (2012). Некоторые проблемы маловероятных пересечений в арифметике и геометрии . Annals of Mathematics Studies. Том 181. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-15371-1.
- ^ Пьер Делинь , Poids dans la когомологии алгебраических разновидностей , Actes ICM, Ванкувер, 1974, 79–85.
- ^ Ланг (1988) стр.1–9
- ^ Ланг (1997) стр.164,212
- ^ Хайндри и Сильверман (2000) 184–185
Дальнейшее чтение