В математике синглтон , также известный как единичный набор [1] или одноточечный набор , представляет собой набор , состоящий ровно из одного элемента . Например, набор представляет собой синглтон, единственным элементом которого является .
В рамках теории множеств Цермело–Френкеля аксиома регулярности гарантирует, что ни одно множество не является элементом самого себя. Это означает, что синглтон обязательно отличается от элемента, который он содержит, [1] таким образом, 1 и {1} — это не одно и то же, а пустой набор отличается от набора, содержащего только пустой набор. Такой набор, как синглтон, содержит один элемент (который, однако, сам по себе является набором, а не синглтоном).
Множество является одноэлементным тогда и только тогда, когда его мощность равна 1 . В теоретико-множественной конструкции натуральных чисел фон Неймана число 1 определяется как одноэлементное число.
В аксиоматической теории множеств существование одиночных элементов является следствием аксиомы спаривания : для любого множества A аксиома, применяемая к A и A , утверждает существование того же элемента, что и одиночный элемент (поскольку он содержит A и никакие другие набор как элемент).
Если A — любое множество, а S — любой одноэлементный элемент, то существует ровно одна функция от A до S , функция, отправляющая каждый элемент A в единственный элемент S. Таким образом, каждый синглтон является конечным объектом в категории множеств .
Синглтон обладает тем свойством, что каждая функция из него в любом произвольном множестве инъективна. Единственным неодноэлементным набором с этим свойством является пустой набор .
Каждый одноэлементный набор представляет собой ультрапрефильтр . Если — множество, то верхняя граница, в которой находится это множество, является главным ультрафильтром на [2] . Более того, каждый главный ультрафильтр на обязательно имеет этот вид. [2] Из леммы об ультрафильтре следует , что неглавные ультрафильтры существуют на каждом бесконечном множестве (они называются свободными ультрафильтрами ). Каждая сеть , оцененная в одноэлементном подмножестве, является ультрасетью в
Целочисленная последовательность чисел Белла подсчитывает количество разделов набора ( OEIS : A000110 ), если исключаются одиночные элементы, то числа становятся меньше ( OEIS : A000296 ).
Структуры, построенные на синглтонах, часто служат терминальными объектами или нулевыми объектами различных категорий :
Пусть S — класс , определяемый индикаторной функцией
Следующее определение было введено Уайтхедом и Расселом [3]
Символ ' обозначает синглтон и обозначает класс объектов, идентичных aka . Это встречается как определение во введении, которое местами упрощает аргументацию в основном тексте, где оно встречается как предложение 51.01 (стр. 357 там же). Это предложение впоследствии используется для определения кардинального числа 1 как
То есть 1 — это класс синглтонов. Это определение 52.01 (стр.363 там же).