Икосаэдрическая симметрия

3D-группа симметрии

Фундаментальные области икосаэдрической симметрии

Футбольный мяч , распространенный пример сферического усеченного икосаэдра , обладает полной икосаэдрической симметрией.

Вращения и отражения образуют группу симметрии большого икосаэдра .

В математике, и особенно в геометрии, объект обладает икосаэдрической симметрией , если он обладает той же симметрией , что и правильный икосаэдр . Примеры других многогранников с икосаэдрической симметрией включают правильный додекаэдр ( двойник икосаэдра) и ромбический триаконтаэдр .

Каждый многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, изменяющих ориентацию (которые сочетают в себе вращение и отражение ) , для общего порядка симметрии 120. Полная группа симметрии - это группа Коксетера типа H. ₃ . Его можно представить с помощью обозначений Кокстера [5,3] и диаграммы Кокстера. . Множество вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную знакопеременной группе A ₅ на 5 буквах.

Описание

Икосаэдрическая симметрия — математическое свойство объектов, указывающее на то, что объект имеет ту же симметрию , что и правильный икосаэдр .

Как точечная группа

Помимо двух бесконечных серий призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдрическая симметрия или киральная икосаэдральная симметрия киральных объектов и полная икосаэдрическая симметрия или ахиральная икосаэдрическая симметрия представляют собой дискретные точечные симметрии (или, что то же самое, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии .

Икосаэдрическая симметрия несовместима с трансляционной симметрией , поэтому не существует связанных с ней кристаллографических точечных групп или пространственных групп .

Презентации , соответствующие вышеизложенному:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Они соответствуют икосаэдрическим группам (вращательным и полным), представляющим собой (2,3,5) группы треугольников .

Первая презентация была сделана Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его статье об икосианском исчислении . ^[1]

Заметим, что возможны и другие представления, например, в виде чередующейся группы (для I ).

Визуализации

Полной группой симметрии является группа Кокстера типа H ₃ . Его можно представить с помощью обозначений Кокстера [5,3] и диаграммы Кокстера. . Множество вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную знакопеременной группе A ₅ на 5 буквах.

Структура группы

Каждый многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, изменяющих ориентацию (которые сочетают в себе вращение и отражение ) , что дает общий порядок симметрии 120.

The Группа вращения икосаэдра I имеет порядок 60. ГруппаIизоморфнаA5,чередующейся_группеперестановокпяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путемIна различные соединения, в частности насоединение пяти кубов(которые вписаны вдодекаэдр), насоединение пяти октаэдровили на любое из двухсоединений пяти тетраэдров(которые являютсяэнантиоморфамии вписаны в додекаэдр). додекаэдр). Группа содержит 5 версийThс 20 версиямиD ₃ (10 осей, по 2 на ось) и 6_{версиями}D ₅ .

The Полная икосаэдрическая группа I _h имеет порядок 120. Она имеетIкакнормальную подгруппуиндекса2. ГруппаI _h изоморфнаI×Z₂илиA₅×Z₂, свцентре, соответствующей элементу (тождество, -1), гдеZ₂записывается мультипликативно.

I _h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождество (поскольку кубы и октаэдры центрально симметричны). Он действует на соединение десяти тетраэдров : I действует на две киральные половины ( соединения пяти тетраэдров ), а −1 меняет местами две половины. Примечательно, что она не действует как S ₅ , и эти группы не изоморфны; подробности см. ниже.

В группе 10 вариантов D _3d и 6 вариантов D _5d (симметрии типа антипризм).

I также изоморфен PSL ₂ (5), но I _h не изоморфен SL ₂ (5).

Изоморфизм I с A 5

Полезно подробно описать, как выглядит изоморфизм между I и A5 _. В следующей таблице перестановки Pi _и Qi _{действуют} на 5 и 12 элементов соответственно, а матрицы вращения Mi _{являются} элементами I. Если Pk _{является} продуктом взятия перестановки Pi _и применения к ней Pj _, то для тех же значений i , j и k также верно, что Qk _{является} продуктом взятия Qi _и применения _Qj , а также то, что предварительное умножение вектора на M _k - это то же самое, что предварительное умножение этого вектора на Mi _и затем предварительное умножение этого результата на M _j , то есть M _k = M _j × M _i . Поскольку все перестановки Pi _— это 60 четных перестановок из 12345, взаимно однозначное соответствие становится явным, а значит, и изоморфизм.

Группы, которые часто путают

Все следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны:

• S ₅ , симметрическая группа из 5 элементов
• I _h , полная группа икосаэдра (предмет этой статьи, также известная как H ₃ )
• 2 I , бинарная группа икосаэдра

Им соответствуют следующие короткие точные последовательности (последняя из которых не расщепляется) и произведение

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

В словах,

• ${\displaystyle A_{5}}$является нормальной подгруппой ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$является фактором , который является прямым произведением ${\displaystyle I_{h}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$представляет собой факторгруппу ${\displaystyle 2I}$

Обратите внимание, что он имеет исключительное неприводимое трехмерное представление (как группа вращения икосаэдра), но не имеет неприводимого трехмерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметричной группой. ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{5}}$

Их также можно отнести к линейным группам над конечным полем с пятью элементами, которые непосредственно демонстрируют подгруппы и накрывающие группы; ни один из них не является полной группой икосаэдра:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$проективная специальная линейная группа , доказательство см. здесь ;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$проективная общая линейная группа ;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$специальная линейная группа .

Классы сопряженности

120 симметрий делятся на 10 классов сопряженности.

Подгруппы полной группы икосаэдрической симметрии

Отношения подгрупп

Отношения киральных подгрупп

Каждая строка в следующей таблице представляет один класс сопряженных (т. е. геометрически эквивалентных) подгрупп. Колонка «Мульт». (кратность) дает количество различных подгрупп в классе сопряженности.

Пояснения к цветам: зеленый = группы, порожденные отражениями, красный = киральные (сохраняющие ориентацию) группы, содержащие только вращения.

Группы описываются геометрически в терминах додекаэдра.

Аббревиатура «hts(edge)» означает «полуповорот, меняющий местами это ребро на противоположное», а также «грани» и «вершины».

Вершинные стабилизаторы

Стабилизаторы противоположной пары вершин можно интерпретировать как стабилизаторы порождаемой ими оси.

• стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C ₃
• стабилизаторы вершин в I _h дают группы диэдра D ₃
• стабилизаторы противоположной пары вершин в I дают группы диэдра D ₃
• стабилизаторы противоположной пары вершин в I _h дают ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Краевые стабилизаторы

Стабилизаторы противоположной пары ребер можно интерпретировать как стабилизаторы порождаемого ими прямоугольника.

• стабилизаторы ребер в I дают циклические группы Z ₂
• стабилизаторы ребер в I _h дают четырехгруппы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• стабилизаторы пары ребер в I дают четырехгруппы Клейна ; их 5, заданных вращением на 180° по 3 перпендикулярным осям. ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• стабилизаторы пары ребер в I _h дают ; их 5, заданных отражениями в 3-х перпендикулярных осях. ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$

Стабилизаторы лица

Стабилизаторы противоположной пары граней можно интерпретировать как стабилизаторы генерируемой ими антипризмы .

• стабилизаторы граней в I дают циклические группы C ₅
• стабилизаторы граней в I _ч дают диэдральные группы Д ₅
• стабилизаторы противоположной пары граней в I дают группы диэдра D ₅
• стабилизаторы противоположной пары граней в I _h дают ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них существует 5 сопряженных копий, и действие сопряжения дает отображение, точнее, изоморфизм . ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$

• стабилизаторы вписанных тетраэдров в I являются копией T
• стабилизаторы вписанных тетраэдров в I _h являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположных пар тетраэдров, или октаэдров) в I являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположных пар тетраэдров, или октаэдров) в I _h являются копией T _h

Генераторы групп Кокстера

Полная группа икосаэдрической симметрии [5,3] () порядка 120 имеет генераторы, представленные матрицами отражения R ₀ , R ₁ , R ₂ ниже, с соотношениями R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² = Идентичность. Группа [5,3] ⁺ () порядка 60 порождается любыми двумя вращениями S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . Роторное отражение порядка 10 генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трёх отражений. Здесь обозначается золотое сечение . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

Фундаментальный домен

Фундаментальные области для группы вращения икосаэдра и полной группы икосаэдра определяются следующим образом:

В триаконтаэдре дисдиакиса одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с той же симметрией можно получить, регулируя ориентацию граней, например, сглаживая выбранные подмножества граней для объединения каждого подмножества в одну грань, или заменяя каждую грань несколькими гранями или искривленной поверхностью.

Многогранники с икосаэдрической симметрией

Примеры других многогранников с икосаэдрической симметрией включают правильный додекаэдр ( двойник икосаэдра) и ромбический триаконтаэдр .

Киральные многогранники

Полная икосаэдрическая симметрия

Другие объекты с икосаэдрической симметрией

Примеры икосаэдрической симметрии

• Поверхности Барта
• Структура вируса и капсид
• В химии додекаборат- ион ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) и молекула додекаэдрана (C ₂₀ H ₂₀ )

Жидкие кристаллы с икосаэдрической симметрией.

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами, существование икосаэдрической симметрии было предложено Х. Кляйнертом и К. Маки ^[2] , и ее структура впервые была подробно проанализирована в этой статье. Обзорную статью смотрите здесь. В алюминии икосаэдрическая структура была обнаружена экспериментально через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Икосаэдрическая симметрия эквивалентно проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и группе симметрии модулярной кривой X(5), а в более общем смысле PSL(2, p ) - это группа симметрии модульной кривой X( p ). Модульная кривая X(5) геометрически представляет собой додекаэдр с острием в центре каждой многоугольной грани, что демонстрирует группу симметрии.

Эта геометрия и связанная с ней группа симметрии изучались Феликсом Кляйном как группы монодромии поверхности Белого - римановой поверхности с голоморфным отображением в сферу Римана, разветвленной только в точках 0, 1 и бесконечности (функция Белого ) - точки возврата — это точки, лежащие над бесконечностью, а вершины и центры каждого ребра лежат над 0 и 1; степень покрытия (количество листов) равна 5.

Это возникло в результате его попыток дать геометрическое обоснование того, почему икосаэдрическая симметрия возникла при решении уравнения пятой степени , с помощью теории, изложенной в знаменитой книге (Klein 1888); современное изложение дано в (Tóth 2002, раздел 1.6, Дополнительная тема: теория икосаэдра Кляйна, стр. 66).

Исследования Кляйна продолжились открытием им симметрий 7-го и 11-го порядка в (Кляйн 1878) и (Кляйн 1879) (и связанных с ними накрытий степени 7 и 11) и рисунков детей , первое из которых дало квартику Клейна , соответствующая геометрия которой имеет мозаика из 24 семиугольников (с точкой возврата в центре каждого).

Аналогичная геометрия встречается для PSL(2, n ) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотично, существуют особые связи между группами PSL(2,5) (порядок 60), PSL(2,7) (порядок 168) и PSL(2,11) (порядок 660), которые также допускают геометрические интерпретации - PSL (2,5) — симметрии икосаэдра (род 0), PSL(2,7) квартики Клейна (род 3) и PSL(2,11) поверхности бакибола (род 70). Эти группы образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , которая дает основу для различных отношений; подробности см. в Троицах .

Существует тесная связь с другими Платоновыми телами .

Смотрите также

• Тетраэдрическая симметрия
• Октаэдрическая симметрия
• Бинарная группа икосаэдра
• Икосианское исчисление

Рекомендации

1. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446
2. Кляйнерт, Х. и Маки, К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. дои : 10.1002/prop.19810290503.

• Кляйн, Ф. (1878). «Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen» [О преобразовании эллиптических функций седьмого порядка]. Математические Аннален . 14 (3): 428–471. дои : 10.1007/BF01677143. S2CID  121407539.Переведено в Леви, Сильвио, изд. (1999). Восьмеричный путь. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66066-2. МР  1722410.
• Кляйн, Ф. (1879), «Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (О преобразовании эллиптических функций одиннадцатого порядка)», Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007/BF02086276, S2CID  120316938, собрано на стр. 140–165 в Oeuvres, Том 3. {{citation}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
• Кляйн, Феликс (1888), Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0транс . Джордж Гэвин Моррис{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули
• Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), с. 296
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
• Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра». Математический мир .
• ПОДГРУППЫ W(H3). Архивировано 30 августа 2021 г. в Wayback Machine (Подгруппы других групп Коксетера. Архивировано 2 августа 2020 г. в Wayback Machine ). Готц Пфайффер.