Распределение в упакованном виде

В теории вероятностей и направленной статистике обернутое распределение вероятностей — это непрерывное распределение вероятностей , которое описывает точки данных, лежащие на единичной n -сфере . В одном измерении обернутое распределение состоит из точек на единичной окружности . Если — случайная величина в интервале с функцией плотности вероятности (PDF) , то — круговая переменная, распределенная в соответствии с обернутым распределением , а — угловая переменная в интервале, распределенная в соответствии с обернутым распределением . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle p(\phi )}$ ${\displaystyle z=e^{i\phi }}$ ${\displaystyle p_{wz}(\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\arg(z)}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

Любая функция плотности вероятности на линии может быть «обернута» вокруг окружности единичного радиуса. ^[1] То есть, PDF обернутой переменной ${\displaystyle p(\phi )}$

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$в некотором интервале длины ${\displaystyle 2\pi }$

является

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}}$

который является периодической суммой периода . Предпочтительный интервал обычно для которого . ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$ ${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$

Теория

В большинстве ситуаций процесс, включающий круговую статистику, производит углы ( ), которые лежат в интервале , и описываются "развернутой" функцией плотности вероятности . Однако измерение даст угол , который лежит в некотором интервале длины (например, от 0 до ). Другими словами, измерение не может сказать , был ли измерен истинный угол или свернутый угол , где - некоторое неизвестное целое число. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle p(\phi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a}$ ${\displaystyle a}$

Если мы хотим вычислить ожидаемое значение некоторой функции измеренного угла, то оно будет:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$.

Мы можем выразить интеграл как сумму интегралов по периодам : ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$.

Меняя переменную интегрирования на и меняя порядок интегрирования и суммирования, имеем ${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

где — PDF обернутого распределения, а — еще одно неизвестное целое число . Неизвестное целое число вносит неоднозначность в ожидаемое значение , аналогично проблеме вычисления углового среднего . Это можно решить, введя параметр , поскольку имеет однозначную связь с истинным углом : ${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle (a'=a+k)}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }}$.

Вычисление ожидаемого значения функции даст однозначные ответы: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$.

По этой причине параметр предпочтительнее измеренных углов в круговом статистическом анализе. Это предполагает, что обернутая функция распределения сама по себе может быть выражена как функция от такой, что: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

где определяется таким образом , что . Эту концепцию можно распространить на многомерный контекст путем расширения простой суммы до ряда сумм, которые охватывают все измерения в пространстве признаков: ${\displaystyle p_{w}(z)}$ ${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

где - -й евклидов базисный вектор. ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle k}$

Выражение через характеристические функции

Фундаментальным обернутым распределением является гребень Дирака , который представляет собой обернутую дельта-функцию Дирака :

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}}$.

Используя дельта-функцию, можно записать общее обернутое распределение

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '}$.

Меняя порядок суммирования и интегрирования, любое свернутое распределение можно записать в виде свертки развернутого распределения и гребня Дирака:

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '}$.

Гребень Дирака также можно выразить как сумму экспонент, поэтому мы можем записать:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$.

Снова меняем порядок суммирования и интегрирования:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$.

Используя определение , характеристическая функция дает ряд Лорана около нуля для обернутого распределения в терминах характеристической функции развернутого распределения: ${\displaystyle \phi (s)}$ ${\displaystyle p(\theta )}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

или

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}}$

Аналогично линейным распределениям, называется характеристической функцией обернутого распределения (или, точнее, характеристической последовательностью ). ^[2] Это пример формулы суммирования Пуассона , и можно видеть, что коэффициенты ряда Фурье для обернутого распределения являются просто коэффициентами преобразования Фурье развернутого распределения при целочисленных значениях. ${\displaystyle \phi (m)}$

Моменты

Моменты обернутого распределения определяются как: ${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz}$.

Выражая через характеристическую функцию и меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем: ${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz}$.

Из теоремы о вычетах имеем

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

где — дельта-функция Кронекера . Отсюда следует, что моменты просто равны характеристической функции развернутого распределения для целочисленных аргументов: ${\displaystyle \delta _{k}}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m)}$.

Генерация случайных величин

Если — случайная величина, полученная из линейного распределения вероятностей , то — круговая величина, распределенная в соответствии с обернутым распределением, а — угловая величина, распределенная в соответствии с обернутым распределением, причем . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Z=e^{iX}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

Энтропия

Информационная энтропия кругового распределения с плотностью вероятности определяется как: ${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

где — любой интервал длины . ^[1] Если и плотность вероятности, и ее логарифм можно выразить в виде ряда Фурье (или, в более общем случае, любого интегрального преобразования на окружности), то ортогональный базис ряда можно использовать для получения замкнутого выражения для энтропии. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Моменты распределения являются коэффициентами Фурье для разложения плотности вероятности в ряд Фурье: ${\displaystyle \phi (n)}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$.

Если логарифм плотности вероятности также можно выразить в виде ряда Фурье:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

где

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$.

Тогда, поменяв порядок интегрирования и суммирования, энтропию можно записать в виде:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$.

Используя ортогональность базиса Фурье, интеграл можно свести к:

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$.

Для частного случая, когда плотность вероятности симметрична относительно среднего значения, а логарифм можно записать: ${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

и

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

и, поскольку нормализация требует, чтобы , энтропия может быть записана: ${\displaystyle \phi _{0}=1}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$.

Смотрите также

• Нормальное распределение в обертке
• Обернутое распределение Коши
• Обернутое экспоненциальное распределение

Ссылки

1. Мардия, Кантилал ; Юпп, Питер Э. (1999). Направленная статистика . Уайли. ISBN 978-0-471-95333-3.
2. Мардиа, К. (1972). Статистика направленных данных. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-1-4832-1866-3.

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле. Спрингер. ISBN 978-3-540-43603-4.
• Фишер, NI (1996). Статистический анализ круговых данных. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6.

Внешние ссылки

• Круговые значения Математика и статистика с C++11, инфраструктура C++11 для круговых значений (углы, время суток и т. д.) Математика и статистика