Многозначная функция

Обобщенная математическая функция

Многозначная функция {1,2,3} → {a,b,c,d}.

В математике многозначная функция ( также известная как многозначная функция) — это функция, которая имеет два или более значений в своем диапазоне для по крайней мере одной точки в своей области определения. ^[1] Это многозначная функция с дополнительными свойствами в зависимости от контекста. Иногда также используются термины многофункциональная и многозначная функция .

Многозначная функция множеств f : X → Y является подмножеством

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

Запишем f(x) для множества тех y ∈ Y с ( x,y ) ∈ Γ _f . Если f — обычная функция, то она является многозначной функцией, если взять ее график

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\ :\ x\in X\}.}$

Чтобы их различать, их называют однозначными функциями .

Мотивация

Термин многозначная функция возник в комплексном анализе, от аналитического продолжения . Часто случается, что известно значение сложной аналитической функции в некоторой окрестности точки . Это имеет место для функций, определенных теоремой о неявной функции или рядом Тейлора вокруг . В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции вдоль кривых в комплексной плоскости, начиная с . При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке зависит от выбранной кривой от до ; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включаются в многозначную функцию. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=a}$ ${\displaystyle z=a}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Например, пусть будет обычной функцией квадратного корня на положительных действительных числах. Можно расширить ее область определения до окрестности в комплексной плоскости, а затем далее вдоль кривых, начинающихся в , так что значения вдоль данной кривой непрерывно изменяются от . Распространяясь на отрицательные действительные числа, можно получить два противоположных значения для квадратного корня — например, ± i для –1 — в зависимости от того, была ли расширена область определения через верхнюю или нижнюю половину комплексной плоскости. Это явление встречается очень часто, встречаясь для корней n- й степени , логарифмов и обратных тригонометрических функций . ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$

Чтобы определить однозначную функцию из сложной многозначной функции, можно выделить одно из множественных значений как главное значение , создавая однозначную функцию на всей плоскости, которая разрывна вдоль определенных граничных кривых. В качестве альтернативы, работа с многозначной функцией позволяет иметь нечто, что всюду непрерывно, за счет возможных изменений значений при следовании по замкнутому пути ( монодромия ). Эти проблемы решаются в теории римановых поверхностей : чтобы рассматривать многозначную функцию как обычную функцию, не отбрасывая никаких значений, нужно умножить область на многослойное покрывающее пространство , многообразие , которое является римановой поверхностью, связанной с . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Обратные функции

Если f : X → Y — обычная функция, то ее обратная — многозначная функция

${\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X}$

определяется как Γ _f , рассматриваемое как подмножество X × Y. Когда f является дифференцируемой функцией между многообразиями , теорема об обратной функции дает условия для того, чтобы она была однозначной локально в X .

Например, комплексный логарифм log(z) является многозначной обратной функцией показательной функции e ^z  : C → C ^× , с графиком

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C} ^{\times }.}$

Он не является однозначным, учитывая одно w с w = log(z) , мы имеем

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .}$

Для любой голоморфной функции на открытом подмножестве комплексной плоскости C ее аналитическое продолжение всегда является многозначной функцией.

Конкретные примеры

• Каждое действительное число больше нуля имеет два действительных квадратных корня , так что квадратный корень можно считать многозначной функцией. Например, мы можем написать ; хотя ноль имеет только один квадратный корень, . ${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$
• Каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня, три кубических корня и, в общем случае, n n -ные корни . Единственный n- ный корень из 0 — это 0.
• Функция комплексного логарифма является многозначной. Значения, принимаемые для действительных чисел и для всех целых чисел . ${\displaystyle \log(a+bi)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$ ${\displaystyle n}$
• Обратные тригонометрические функции являются многозначными, поскольку тригонометрические функции являются периодическими. Мы имеем Как следствие, arctan(1) интуитивно связан с несколькими значениями: π /4, 5 π /4, −3 π /4 и т. д. Мы можем рассматривать arctan как однозначную функцию, ограничив область определения tan x до − π /2 < x < π /2 – области, в которой tan x монотонно возрастает. Таким образом, диапазон arctan( x ) становится − π /2 < y < π /2 . Эти значения из ограниченной области называются главными значениями . $${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$
• Первообразную можно рассматривать как многозначную функцию. Первообразная функции — это множество функций, производная которых есть эта функция. Постоянная интегрирования следует из того, что производная постоянной функции равна 0.
• Обратные гиперболические функции в комплексной области являются многозначными, поскольку гиперболические функции являются периодическими вдоль мнимой оси. В вещественной области они являются однозначными, за исключением arcosh и arsech.

Это все примеры многозначных функций, которые получаются из неинъективных функций . Поскольку исходные функции не сохраняют всю информацию о своих входах, они необратимы. Часто ограничение многозначной функции является частичной инверсией исходной функции.

Точки разветвления

Многозначные функции комплексной переменной имеют точки ветвления . Например, для функций корня n-й степени и логарифма точкой ветвления является 0; для функции арктангенса мнимые единицы i и − i являются точками ветвления. Используя точки ветвления, эти функции можно переопределить в однозначные функции, ограничив диапазон. Подходящий интервал можно найти с помощью разреза ветвления , своего рода кривой, которая соединяет пары точек ветвления, тем самым сводя многослойную риманову поверхность функции к одному слою. Как и в случае с действительными функциями, ограниченный диапазон можно назвать главной ветвью функции.

Приложения

В физике многозначные функции играют все более важную роль. Они формируют математическую основу для магнитных монополей Дирака , для теории дефектов в кристаллах и вытекающей из этого пластичности материалов, для вихрей в сверхтекучих жидкостях и сверхпроводниках , а также для фазовых переходов в этих системах, например, плавления и кваркового удержания . Они являются источником структур калибровочных полей во многих разделах физики. ^{[ необходима цитата ]}

Дальнейшее чтение

• Х. Кляйнерт , Многозначные поля в конденсированном веществе, электродинамика и гравитация , World Scientific (Сингапур, 2008) (также доступно онлайн)
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Сингапур, 1989 (также доступно онлайн: Vol. I и Vol. II)

Ссылки

1. "Многозначная функция". Wolfram MathWorld . Получено 10 февраля 2024 г. .