Распределение с толстым хвостом — это распределение вероятностей , которое демонстрирует большую асимметрию или эксцесс по сравнению с нормальным распределением или экспоненциальным распределением . [ когда определено как? ] В обычном использовании термины «толстый хвост» и « толстый хвост» иногда являются синонимами; «толстохвостый» иногда также определяют как разновидность «толстохвостого». Различные исследовательские сообщества отдают предпочтение тому или иному в основном по историческим причинам и могут иметь различия в точном определении того или иного.
Распределения с толстыми хвостами эмпирически встречались в различных областях: физике , науках о Земле, экономике и политологии. К классу распределений с толстым хвостом относятся распределения, хвосты которых затухают по степенному закону , что является общепринятым ориентиром при их использовании в научной литературе. Однако распределения с толстым хвостом также включают в себя другие медленно затухающие распределения, такие как логарифмически нормальное . [1]
Самый крайний случай «толстого хвоста» представляет собой распределение, хвост которого затухает по степенному закону .
То есть, если дополнительное кумулятивное распределение случайной величины X можно выразить как [ нужна ссылка ]
тогда говорят, что распределение имеет «толстый хвост», если . Для таких значений дисперсия и асимметрия хвоста математически не определены (особое свойство степенного распределения) и, следовательно, больше, чем любое нормальное или экспоненциальное распределение. В отношении значений утверждение о «толстом хвосте» более неоднозначно, поскольку в этом диапазоне параметров дисперсия, асимметрия и эксцесс могут быть конечными, в зависимости от точного значения и, следовательно, потенциально меньшими, чем нормальный или экспоненциальный хвост с высокой дисперсией. Эта двусмысленность часто приводит к разногласиям относительно того, что именно является распределением с толстым хвостом, а что нет. Поскольку момент бесконечен, поэтому для любого степенного распределения некоторые моменты не определены. [2]
По сравнению с распределениями с толстым хвостом в нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего значения на пять или более стандартных отклонений («события 5 сигм»), имеют меньшую вероятность, а это означает, что в нормальном распределении экстремальные события менее вероятны, чем для «толстого» распределения. -хвостые распределения. Распределения с толстыми хвостами, такие как распределение Коши (и все другие стабильные распределения , за исключением нормального распределения ), имеют «неопределенную сигму» (более технически, дисперсия не определена).
Как следствие, когда данные возникают из основного распределения с толстым хвостом, включение в модель риска «нормального распределения» — и оценка сигмы на основе (обязательно) конечного размера выборки — приведет к занижению истинной степени сложности прогнозирования (и риск). Многие, особенно Бенуа Мандельброт, а также Нассим Талеб , отметили этот недостаток модели нормального распределения и предположили, что распределения с «толстым хвостом», такие как стабильное распределение, управляют доходностью активов, часто встречающейся в финансах . [3] [4] [5]
Модель Блэка- Шоулза ценообразования опционов основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле является толстым хвостом, то модель будет занижать цену вариантов , которые далеки от денег , поскольку событие 5- или 7-сигма гораздо более вероятно, чем предсказывает нормальное распределение. [6]
В финансах часто встречаются «толстые хвосты», но они считаются нежелательными из-за дополнительного риска, который они подразумевают. Например, инвестиционная стратегия может иметь ожидаемую доходность через год, в пять раз превышающую ее стандартное отклонение. Если предположить нормальное распределение, вероятность его неудачи (отрицательной доходности) составляет менее одного на миллион; на практике оно может быть выше. Нормальные распределения, возникающие в финансах, обычно возникают потому, что факторы, влияющие на стоимость или цену актива, математически «хорошие», и центральная предельная теорема предусматривает такое распределение. Однако травмирующие события «реального мира» (такие как нефтяной шок, банкротство крупной корпорации или резкое изменение политической ситуации) обычно математически некорректны .
Исторические примеры включают крах Уолл-стрит в 1929 году , «Черный понедельник» (1987 года) , пузырь доткомов , финансовый кризис конца 2000-х годов , внезапный крах 2010 года , крах фондового рынка 2020 года и отмену привязки некоторых валют. [7]
«Жирные хвосты» в распределении рыночной доходности также имеют некоторые поведенческие причины (чрезмерный оптимизм или пессимизм инвесторов, приводящие к значительным движениям рынка) и поэтому изучаются в поведенческих финансах .
В маркетинге часто встречающееся известное правило 80-20 (например, «20% клиентов приносят 80% дохода») является проявлением распределения «толстого хвоста», лежащего в основе данных. [8]
«Толстые хвосты» также наблюдаются на товарных рынках или в индустрии звукозаписи , особенно на фонографических рынках . Функция плотности вероятности для логарифма еженедельных изменений рекордных продаж является сильно лептокуртической и характеризуется более узким и большим максимумом, а также более толстым хвостом, чем в случае нормального распределения. С другой стороны, у этого распределения есть только один «жирный хвост», связанный с увеличением продаж за счет раскрутки новых пластинок, попадающих в чарты. [9]
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )