σ-компактное пространство

В математике топологическое пространство называется σ - компактным, если оно является объединением счетного числа компактных подпространств . ^[1]

Пространство называется σ -локально компактным, если оно является как σ -компактным, так и (слабо) локально компактным . ^[2] Эта терминология может быть несколько запутанной, поскольку она не соответствует обычному шаблону σ-(свойства), означающему счетное объединение пространств, удовлетворяющих (свойству); вот почему такие пространства чаще явно называют σ-компактными (слабо) локально компактными , что также эквивалентно исчерпываемости компактными множествами . ^[3]

Свойства и примеры

• Каждое компактное пространство является σ -компактным, и каждое σ -компактное пространство является линделёфовым (т. е. каждое открытое покрытие имеет счётное подпокрытие ). ^[4] Обратные импликации не выполняются, например, стандартное евклидово пространство ( R ⁿ ) является σ -компактным, но не компактным, ^[5] а нижняя предельная топология на действительной прямой является линделёфовой, но не σ -компактной. ^[6] Фактически, счётная дополнительная топология на любом несчетном множестве является линделёфовой, но не σ -компактной и не локально компактной. ^[7] Однако верно, что любое локально компактное линделёфово пространство является σ -компактным.
• ( Иррациональные числа ) не являются σ -компактными. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$
• Пространство Хаусдорфа , Бэра , которое также является σ -компактным, должно быть локально компактным по крайней мере в одной точке.
• Если G — топологическая группа и G локально компактна в одной точке, то G локально компактна всюду. Поэтому предыдущее свойство говорит нам, что если G — σ -компактная хаусдорфова топологическая группа, которая также является пространством Бэра, то G локально компактна. Это показывает, что для хаусдорфовых топологических групп, которые также являются пространствами Бэра, σ -компактность влечет локальную компактность.
• Из предыдущего свойства следует, например, что R ^ω не является σ -компактным: если бы оно было σ -компактным, оно обязательно было бы локально компактным, поскольку R ^ω является топологической группой, которая также является пространством Бэра.
• Каждое гемикомпактное пространство является σ -компактным. ^[9] Обратное, однако, неверно; ^[10] например, пространство рациональных чисел с обычной топологией является σ -компактным, но не гемикомпактным.
• Произведение конечного числа σ -компактных пространств является σ -компактным. Однако произведение бесконечного числа σ -компактных пространств может не быть σ -компактным. ^[11 ]
• σ - компактное пространство X является второй категорией (соответственно, Бэра) тогда и только тогда, когда множество точек, в которых X локально компактно, непусто (соответственно, плотно) в X. ^[12 ]

Смотрите также

• Исчерпание компактными множествами  — в анализе последовательность компактных множеств, которая сходится к заданному множеству.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Пространство Линделёфа  – Тип топологического пространства
• Локально компактное пространство  – Тип топологического пространства в математике

Примечания

1. Стин, стр. 19; Уиллард, стр. 126.
2. Стин, стр. 21.
3. «Вопрос о локальной компактности и $\sigma$-компактности». Mathematics Stack Exchange .
4. Стин, стр. 19.
5. Стин, стр. 56.
6. Стин, стр. 75–76.
7. Стин, стр. 50.
8. Харт, КП; Нагата, Дж.; Воан, Дж. Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 170. ИСБН 0 444 50355 2.
9. Уиллард, стр. 126.
10. Уиллард, стр. 126.
11. Уиллард, стр. 126.
12. Уиллард, стр. 188.

Ссылки

• Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.