Аббе синус условие

Правило проектирования оптических систем

Входной и выходной углы каждого луча, проходящего через систему формирования изображения (серый ящик), связаны. Когда система формирования изображения подчиняется условию синуса Аббе, отношение синусов этих углов равно (боковому абсолютному) увеличению системы.

В оптике условие синуса Аббе — это условие, которому должна соответствовать линза или другая оптическая система , чтобы она могла создавать четкие изображения как внеосевых, так и осевых объектов. Оно было сформулировано Эрнстом Аббе в контексте микроскопов . ^[1]

Условие синуса Аббе гласит, что

синус угла пространства объекта должен быть пропорционален синусу угла пространства изображения ${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} }}$ ${\textstyle \alpha _{\mathrm {i} }}$

Более того, отношение равно увеличению системы. В математических терминах это: $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{\mathrm {o} }}{\sin \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\sin \beta _{\mathrm {o} }}{\sin \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|}$$

где переменные — это углы (относительно оптической оси) любых двух лучей, когда они покидают объект, и — углы тех же лучей, когда они достигают плоскости изображения (например, плоскости пленки камеры). Например, ( может представлять параксиальный луч (т. е. луч, почти параллельный оптической оси), а может представлять краевой луч (т. е. луч с наибольшим углом, допускаемым апертурой системы). Оптическая система формирования изображений, для которой это справедливо для всех лучей, называется подчиняющейся условию синуса Аббе. ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {o} })}$ ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {i} },\beta _{\mathrm {i} })}$ ${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} },\alpha _{\mathrm {i} })}$ ${\textstyle (\beta _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {i} })}$

Условие синуса Аббе можно вывести с помощью принципа Ферма . ^[2]

Тонкая линза удовлетворяет вместо этого, что означает, что она не удовлетворяет условию синуса Аббе при больших углах. Разница составляет порядка , что соответствует аберрации комы . $${\displaystyle {\frac {\tan \alpha _{\mathrm {o} }}{\tan \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\tan \beta _{\mathrm {o} }}{\tan \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|}$$ ${\displaystyle \alpha _{o}^{3}}$

Увеличение и условие синуса Аббе

Оптическая система формирования изображения (серый ящик), подчиняющаяся условию синуса, имеет фиксированное отношение между синусами углов луча на входе и выходе системы, sin( α _o ) / sin( α _i ) , которое равно увеличению M .

Используя структуру Фурье-оптики , мы можем легко объяснить значение условия синуса Аббе. Скажем, объект в плоскости объекта оптической системы имеет функцию пропускания вида T ( x _o , y _o ) . Мы можем выразить эту функцию пропускания в терминах ее преобразования Фурье как

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j(k_{x}x_{\mathrm {o} }+k_{y}y_{\mathrm {o} })}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,,}$$

где — показательная функция , а — мнимая единица . ${\textstyle \exp(z)=e^{z}}$ ${\textstyle j={\sqrt {-1}}}$

Теперь предположим для простоты, что система не имеет искажений изображения , так что координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта через соотношение

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {i} }&=Mx_{\mathrm {o} }\\y_{\mathrm {i} }&=My_{\mathrm {o} }\,,\end{aligned}}}$$

где M — системное увеличение . Коэффициент пропускания плоскости объекта, указанный выше, теперь можно переписать в слегка измененной форме:

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}Mx_{\mathrm {o} }+{k_{y} \over M}My_{\mathrm {o} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}}$$

где различные члены были просто умножены и разделены в показателе степени на M , системное увеличение. Теперь уравнения могут быть заменены выше для координат плоскости изображения в терминах координат плоскости объекта, чтобы получить,

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}x_{\mathrm {i} }+{k_{y} \over M}y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,.}$$

На этом этапе можно предложить другое преобразование координат (т. е. условие синуса Аббе), связывающее спектр волновых чисел плоскости объекта со спектром волновых чисел плоскости изображения следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{x}}{M}}\\k_{y}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{y}}{M}}\end{aligned}}}$$

получить окончательное уравнение для поля плоскости изображения в терминах координат плоскости изображения и волновых чисел плоскости изображения как:

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=M^{2}\iint T\left(Mk_{x}^{\mathrm {i} },Mk_{y}^{\mathrm {i} }\right)\exp \left({j\left(k_{x}^{\mathrm {i} }x_{\mathrm {i} }+k_{y}^{\mathrm {i} }y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}^{\mathrm {i} }\,dk_{y}^{\mathrm {i} }}$$

Из Фурье-оптики известно, что волновые числа можно выразить в терминах сферической системы координат как

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}&=k\sin \theta \cos \varphi \\k_{y}&=k\sin \theta \sin \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Если рассматривается спектральная составляющая, для которой , то преобразование координат между волновыми числами объекта и плоскости изображения принимает вид ${\displaystyle \varphi =0}$

$${\displaystyle k^{\mathrm {i} }\sin \theta ^{\mathrm {i} }=k{\frac {\sin \theta }{M}}\,.}$$

Это еще один способ записи условия синуса Аббе, который просто отражает классический принцип неопределенности для пар преобразований Фурье, а именно, что при расширении пространственной протяженности любой функции (на коэффициент увеличения M ), спектральная протяженность сокращается на тот же коэффициент M , так что произведение пространства на ширину полосы пропускания остается постоянным.

Смотрите также

• инвариант Лагранжа
• инвариант Смита-Гельмгольца
• состояние Гершеля

Ссылки

1. Аббе, Эрнст (июнь 1881 г.). «Об оценке апертуры в микроскопе». Журнал Королевского микроскопического общества . 1 (3): 388–423. doi : 10.1111/j.1365-2818.1881.tb05909.x .
2. Braat, Joseph JM (1997-12-08). "Условие синуса Аббе и связанные с ним условия формирования изображений в геометрической оптике". Пятая международная тематическая встреча по образованию и обучению в области оптики . Том 3190. стр. 59. doi :10.1117/12.294417.