Фурье-оптика

Изучение классической оптики с использованием преобразований Фурье

Фурье-оптика — это изучение классической оптики с использованием преобразований Фурье (FT), в котором рассматриваемая волновая форма рассматривается как состоящая из комбинации или суперпозиции плоских волн. Она имеет некоторые параллели с принципом Гюйгенса–Френеля , в котором волновой фронт рассматривается как состоящий из комбинации сферических волновых фронтов (также называемых фазовыми фронтами), сумма которых является изучаемым волновым фронтом. Ключевое отличие состоит в том, что Фурье-оптика рассматривает плоские волны как естественные моды среды распространения, в отличие от Гюйгенса–Френеля, где сферические волны возникают в физической среде.

Изогнутый фазовый фронт может быть синтезирован из бесконечного числа этих «естественных мод», т. е. из фазовых фронтов плоской волны, ориентированных в разных направлениях в пространстве. Когда расширяющаяся сферическая волна находится далеко от своих источников, она локально касается плоского фазового фронта (отдельной плоской волны из бесконечного спектра), который является поперечным к радиальному направлению распространения. В этом случае создается картина дифракции Фраунгофера , которая исходит из одного фазового центра сферической волны. В ближнем поле не существует единого четко определенного фазового центра сферической волны, поэтому волновой фронт локально не касается сферического шара. В этом случае будет создана картина дифракции Френеля , которая исходит из протяженного источника, состоящего из распределения (физически идентифицируемых) источников сферических волн в пространстве. В ближнем поле для представления волны Френеля ближнего поля, даже локально , необходим полный спектр плоских волн . «Широкая» волна, движущаяся вперед (например, расширяющаяся океанская волна, приближающаяся к берегу), может рассматриваться как бесконечное число « мод плоских волн », все из которых могут (когда они сталкиваются с чем-то, например, с камнем на пути) рассеиваться независимо друг от друга. Эти математические упрощения и вычисления являются областью анализа и синтеза Фурье — вместе они могут описать, что происходит, когда свет проходит через различные щели, линзы или зеркала, которые изогнуты в ту или иную сторону, или полностью или частично отражаются.

Фурье-оптика формирует большую часть теории, лежащей в основе методов обработки изображений , а также приложений, где информация должна быть извлечена из оптических источников, таких как квантовая оптика . Если выразить это немного сложнее, аналогично концепции частоты и времени, используемой в традиционной теории преобразования Фурье , Фурье-оптика использует пространственную частотную область ( k _x , k _y ) как сопряженную пространственную область ( x , y ). Обычно используются такие термины и концепции, как теория преобразования, спектр, полоса пропускания, оконные функции и выборка из одномерной обработки сигнала .

Фурье-оптика играет важную роль для высокоточных оптических приложений, таких как фотолитография , в которой рисунок на сетке, который должен быть отображен на пластинах для производства полупроводниковых чипов, настолько плотный, что свет (например, DUV или EUV ), исходящий от сетки, дифрагирует, и каждый дифрагированный свет может соответствовать разной пространственной частоте ( k _x , k _y ). Из-за, как правило, неоднородных рисунков на сетках простой анализ дифракционной решетки может не предоставить подробностей о том, как свет дифрагирует от каждой сетки.

Распространение света в однородных средах без источника

Свет можно описать как волну, распространяющуюся через свободное пространство (вакуум) или материальную среду (например, воздух или стекло). Математически действительный компонент векторного поля, описывающего волну, представлен скалярной волновой функцией u , которая зависит как от пространства, так и от времени: где представляет положение в трехмерном пространстве (в декартовой системе координат здесь), а t представляет время. $${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$$

Волновое уравнение

Фурье-оптика начинается с однородного скалярного волнового уравнения (справедливого в областях, свободных от источников): где — скорость света , а u ( r , t ) — действительная декартова компонента электромагнитной волны, распространяющейся в свободном пространстве (например, u ( r , t ) = E _i ( r , t ) для i = x , y или z , где E _i — компонента электрического поля E по оси i в декартовой системе координат ). $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$ ${\displaystyle c}$

Синусоидальное устойчивое состояние

Если предполагается свет фиксированной частоты во времени / длины волны / цвета (как от одномодового лазера), то, основываясь на инженерном временном соглашении, которое предполагает временную зависимость в волновых решениях на угловой частоте с где - временной период волн, гармоническая во времени форма оптического поля задается как где - мнимая единица , - оператор, принимающий действительную часть , - угловая частота (в радианах в единицу времени) световых волн, и - в общем случае комплексная величина с отдельной амплитудой в неотрицательном действительном числе и фазой . ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f=1/\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}.}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{x\right\}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \omega =2\pi f}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$

Уравнение Гельмгольца

Подстановка этого выражения в скалярное волновое уравнение выше дает независимую от времени форму волнового уравнения, где с длиной волны в вакууме, - волновое число (также называемое постоянной распространения), - пространственная часть комплекснозначного декартова компонента электромагнитной волны. Обратите внимание, что постоянная распространения и угловая частота линейно связаны друг с другом, что является типичной характеристикой поперечных электромагнитных (TEM) волн в однородных средах. $${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0}$$ $${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

Поскольку изначально желаемое действительное решение скалярного волнового уравнения можно просто получить, взяв действительную часть , решение следующего уравнения, известного как уравнение Гельмгольца , в основном связано с тем, что обработка комплексной функции часто намного проще, чем обработка соответствующей действительной функции. ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=0.}$$

Решение уравнения Гельмгольца

Решения уравнения Гельмгольца в декартовой системе координат могут быть легко найдены с помощью принципа разделения переменных для уравнений с частными производными . Этот принцип гласит, что в разделимых ортогональных координатах элементарное решение произведения этого волнового уравнения может быть построено в следующем виде: т.е. как произведение функции x , умноженное на функцию y , умноженное на функцию z . Если это элементарное решение произведения подставить в волновое уравнение, используя скалярный Лапласиан в декартовой системе координат , то получится следующее уравнение для 3 отдельных функций , которое легко переформулировать в виде: $${\displaystyle \psi (x,y,z)=f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}},}$$ $${\displaystyle f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {f_{x}''(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f_{z}''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$$

Теперь можно утверждать, что каждое частное в уравнении выше должно, по необходимости, быть постоянным. Чтобы обосновать это, скажем, что первое частное не является постоянным, а является функцией x . Поскольку ни один из других членов в уравнении не имеет никакой зависимости от переменной x , поэтому первый член также не должен иметь никакой зависимости от x ; он должен быть постоянным. (Если первый член является функцией x , то нет способа сделать левую часть этого уравнения равной нулю.) Эта константа обозначается как - k _x ² . Рассуждая аналогичным образом для частных y и z , получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения для f _x , f _y и f _z , вместе с одним условием разделения :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=k^{2}\end{aligned}}}$$

Каждое из этих 3 дифференциальных уравнений имеет одинаковую форму решения: синусы, косинусы или комплексные экспоненты. Мы будем использовать комплексную экспоненту как сложную функцию. В результате элементарное решение произведения имеет в общем случае комплексное число . Это решение является пространственной частью комплекснозначной декартовой компоненты (например, , , или как компонента электрического поля вдоль каждой оси в декартовой системе координат ) распространяющейся плоской волны. ( , , или ) здесь является действительным числом, поскольку предполагалось, что волны в среде без источника, поэтому каждая плоская волна не затухает и не усиливается при распространении в среде. Отрицательный знак ( , , или ) в волновом векторе (где ) означает, что вектор направления распространения волны имеет положительную ( , , или )-компоненту, в то время как положительный знак означает отрицательную ( , , или )-компоненту этого вектора. ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,y,z)&=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{z}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =k_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+k_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\textstyle \left|\mathbf {k} \right|=k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Решения произведения уравнения Гельмгольца также легко получить в цилиндрических и сферических координатах , что даёт цилиндрические и сферические гармоники (при этом остальные разделяемые системы координат используются гораздо реже).

Полное решение: интеграл суперпозиции

Общее решение уравнения однородной электромагнитной волны на фиксированной частоте времени в декартовой системе координат может быть сформировано как взвешенная суперпозиция всех возможных элементарных плоских волновых решений: ${\displaystyle f}$

с ограничениями , каждое из которых является действительным числом, и где . В этой суперпозиции — весовой коэффициент или амплитуда плоской волновой компоненты с волновым вектором , где определяется в терминах и посредством упомянутого ограничения. ${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$

Далее, пусть Тогда: $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}.}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$$

Представление спектра плоской волны общего электромагнитного поля (например, сферической волны) в уравнении ( 2.1 ) является базовой основой Фурье-оптики (этот момент невозможно подчеркнуть достаточно сильно), поскольку при z = 0 уравнение просто становится соотношением преобразования Фурье (ПФ) между полем и его плоским волновым содержимым (отсюда и название — Фурье-оптика ).

Таким образом: и $${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)={\mathcal {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}}$$

Вся пространственная зависимость каждой компоненты плоской волны явно описывается экспоненциальной функцией. Коэффициент экспоненты является функцией только двух компонент волнового вектора для каждой плоской волны (поскольку оставшаяся компонента может быть определена через указанные выше ограничения), например и , как в обычном анализе Фурье и преобразованиях Фурье . ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$

Связь между Фурье-оптикой и разрешением изображения

Рассмотрим систему визуализации, в которой ось z является оптической осью системы, а плоскость объекта (которая должна быть отображена на плоскости изображения системы) является плоскостью при . На плоскости объекта пространственная часть комплекснозначного декартова компонента волны, как показано выше, имеет ограничения , каждое из которых является действительным числом, и где . Визуализация представляет собой реконструкцию волны на плоскости объекта (имеющей информацию о рисунке на плоскости объекта, который должен быть отображен) на плоскости изображения посредством надлежащего распространения волны от объекта к плоскостям изображения, (например, представьте себе визуализацию изображения в воздушном пространстве.) и волна на плоскости объекта, которая полностью следует рисунку, который должен быть отображен, в принципе, описывается неограниченным обратным преобразованием Фурье , где принимает бесконечный диапазон действительных чисел. Это означает, что для данной частоты света может быть отображена только часть полного элемента рисунка из-за вышеупомянутых ограничений на ; (1) тонкая особенность, представление которой в обратном преобразовании Фурье требует пространственных частот , где - поперечные волновые числа, удовлетворяющие , не может быть полностью отображена, поскольку волны с такими не существуют для данного света (Это явление известно как дифракционный предел .), и (2) пространственные частоты с , но близкими к таким более высокими углами выхода волны относительно оптической оси, требуют системы визуализации с высокой числовой апертурой ( числовой апертурой ), которая является дорогой и сложной в изготовлении. Для (1), даже если разрешены комплекснозначные продольные волновые числа (из-за неизвестного взаимодействия между светом и рисунком плоскости объекта, который обычно представляет собой твердый материал), приводят к затуханию света вдоль оси (Усиление света вдоль оси физически не имеет смысла, если между плоскостями объекта и изображения нет усиливающего материала, и это обычный случай.), поэтому волны с такими могут не достигать плоскости изображения, которая обычно находится достаточно далеко от плоскости объекта. ${\displaystyle z=0}$ ${\textstyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ ${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\textstyle \psi _{0,{\text{unc}}}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\textstyle {\frac {k_{T}}{2\pi }}}$ ${\displaystyle k_{T}}$ ${\displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}}$ ${\displaystyle k_{T}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{T}<k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{z}}$

В связи с фотолитографией электронных компонентов эти (1) и (2) являются причинами, по которым требуется свет более высокой частоты (меньшей длины волны, следовательно, большей величины ) или более высокая система визуализации NA для отображения более тонких элементов интегральных схем на фоторезисте на пластине. В результате машины, реализующие такую ​​оптическую литографию, становятся все более сложными и дорогими, что значительно увеличивает стоимость производства электронных компонентов. ${\displaystyle k}$

Параксиальное приближение

Параксиальное распространение волн (оптическая ось предполагается как ось z)

Решение уравнения Гельмгольца как пространственная часть комплекснозначной декартовой компоненты одночастотной волны принимает вид: где - волновой вектор , а - волновое число. Далее используем параксиальное приближение , то есть малоугловое приближение, такое что , с точностью до приближения второго порядка тригонометрических функций (то есть, принимая только до второго члена в разложении ряда Тейлора каждой тригонометрической функции), $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$$ $${\displaystyle k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \over c}}$$ $${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\tan \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-\theta ^{2}/2\end{aligned}}}$$

где — угол (в радианах) между волновым вектором k и осью z как оптической осью рассматриваемой оптической системы. ${\displaystyle \theta }$

В результате и $${\displaystyle k_{z}=k\cos \theta \approx k(1-\theta ^{2}/2)}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}}$$

Уравнение параксиальной волны

Подставляя это выражение в уравнение Гельмгольца, выводится уравнение параксиальной волны: где — поперечный оператор Лапласа в декартовой системе координат . При выводе уравнения параксиальной волны используются следующие приближения. $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0}$$ $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$$

• ${\displaystyle \theta }$мал ( ), поэтому термин с игнорируется. ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle \theta ^{2}}$
• Термины с и намного меньше термина с (или ), поэтому эти два термина игнорируются. ${\displaystyle 2k_{x}}$ ${\displaystyle 2k_{y}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k_{z}}$
• ${\textstyle \left|{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )\right|\ll \left|k{\frac {\partial }{\partial z}}A(\mathbf {r} )\right|}$поэтому член с игнорируется. Это приближение медленно меняющейся огибающей , означает, что амплитуда или огибающая волны медленно меняется по сравнению с основным периодом волны . ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$

Приближение дальнего поля

Уравнение ( 2.1 ) выше может быть оценено асимптотически в дальней зоне (используя метод стационарной фазы ), чтобы показать, что поле в удаленной точке действительно обусловлено исключительно компонентой плоской волны с волновым вектором , который распространяется параллельно вектору , и чья плоскость касается фазового фронта в точке . Математические детали этого процесса можно найти в работах Скотта [1998] или Скотта [1990]. Результатом выполнения интегрирования стационарной фазы для приведенного выше выражения является следующее выражение, ^[1] ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

что ясно указывает на то, что поле при прямо пропорционально спектральной составляющей в направлении , где, ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

• ${\textstyle x=r~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle y=r~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle z=r~\cos \theta ~}$

и

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Другими словами, диаграмма направленности любого плоского распределения поля — это FT (преобразование Фурье) этого распределения источника (см. принцип Гюйгенса–Френеля , в котором то же уравнение выводится с использованием подхода функции Грина ). Обратите внимание, что это НЕ плоская волна. Радиальная зависимость — это сферическая волна — как по величине, так и по фазе — локальная амплитуда которой — это FT распределения плоскости источника под этим углом дальнего поля. Спектр плоской волны не обязательно означает, что поле как суперпозиция компонентов плоской волны в этом спектре ведет себя как плоская волна на больших расстояниях. ${\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}}$

Пространственная и угловая пропускная способность

Уравнение ( 2.2 ) выше имеет решающее значение для установления связи между пространственной полосой пропускания (с одной стороны) и угловой полосой пропускания (с другой) в дальнем поле. Обратите внимание, что термин «дальнее поле» обычно означает, что мы говорим о сходящейся или расходящейся сферической волне с довольно четко определенным фазовым центром. Связь между пространственной и угловой полосой пропускания в дальнем поле имеет важное значение для понимания свойства фильтрации нижних частот тонких линз. См. раздел 6.1.3 для условия, определяющего область дальнего поля.

Как только концепция угловой полосы пропускания понята, оптический ученый может «прыгать вперед и назад» между пространственными и спектральными доменами, чтобы быстро получить понимание, которое обычно не было бы так легко доступно только через пространственные домены или соображения лучевой оптики. Например, любая исходная полоса пропускания, которая лежит за краевым углом к ​​первой линзе (этот краевой угол задает полосу пропускания оптической системы.) не будет захвачена системой для обработки.

В качестве примечания, ученые-электромагнитисты разработали альтернативный способ расчета электрического поля в дальней зоне, который не включает в себя интеграцию стационарной фазы. Они разработали концепцию, известную как «фиктивные магнитные токи», обычно обозначаемую как M и определяемую как В этом уравнении предполагается, что единичный вектор в направлении z указывает в полупространство, где будут производиться расчеты дальнего поля. Эти эквивалентные магнитные токи получаются с использованием принципов эквивалентности , которые в случае бесконечного плоского интерфейса позволяют «отобразить» любые электрические токи J , в то время как фиктивные магнитные токи получаются из удвоенного электрического поля апертуры (см. Скотт [1998]). Затем излучаемое электрическое поле рассчитывается из магнитных токов с использованием уравнения, аналогичного уравнению для магнитного поля, излучаемого электрическим током. Таким образом, получается векторное уравнение для излучаемого электрического поля в терминах электрического поля апертуры, и вывод не требует использования идей стационарной фазы. $${\displaystyle \mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{\text{aper}}\times \mathbf {\hat {z}} .}$$

Спектр плоских волн: основа Фурье-оптики

Концепция спектра плоской волны является базовой основой Фурье-оптики. Спектр плоской волны представляет собой непрерывный спектр однородных плоских волн, и в спектре имеется один компонент плоской волны для каждой точки касания на фазовом фронте дальнего поля. Амплитуда этого компонента плоской волны будет амплитудой оптического поля в этой точке касания. Опять же, это верно только в дальнем поле, грубо определяемом как диапазон за пределами которого — максимальная линейная протяженность оптических источников, а — длина волны (Скотт [1998]). Спектр плоской волны часто рассматривается как дискретный для определенных типов периодических решеток, хотя в действительности спектры от решеток также являются непрерывными, поскольку ни одно физическое устройство не может иметь бесконечную протяженность, необходимую для создания истинного линейного спектра. ${\displaystyle 2D^{2}/\lambda }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \lambda }$

Как и для электрических сигналов, полоса пропускания в оптике является мерой того, насколько детально изображение; чем мельче детали, тем больше полоса пропускания, необходимая для его представления. Электрический сигнал постоянного тока (DC) постоянен и не имеет колебаний; плоская волна, распространяющаяся параллельно оптической ( ) оси, имеет постоянное значение в любой плоскости x - y и, следовательно, аналогична (постоянной) составляющей постоянного тока электрического сигнала. Полоса пропускания в электрических сигналах относится к разнице между самыми высокими и самыми низкими частотами, присутствующими в спектре сигнала, практически с критерием отсечения высоких и низких частотных краев спектра для представления полосы пропускания в числе. Для оптических систем полоса пропускания также относится к пространственному частотному содержанию (пространственная полоса пропускания), но она также имеет вторичное значение. Она также измеряет, насколько далеко от оптической оси наклонены соответствующие плоские волны, и поэтому этот тип полосы пропускания часто также называют угловой полосой пропускания. Для создания короткого импульса в электрической цепи требуется большая полоса пропускания частот, а для создания четкого пятна в оптической системе — большая угловая (или пространственная частота) полоса пропускания (см. обсуждение, связанное с функцией рассеяния точки ). ${\displaystyle z}$

Спектр плоской волны возникает естественным образом как решение собственной функции или «естественной моды» уравнения однородной электромагнитной волны в прямоугольных координатах (см. также Электромагнитное излучение , которое выводит волновое уравнение из уравнений Максвелла в средах без источников, или Скотт [1998]). В частотной области , с предполагаемым временным соглашением , уравнение однородной электромагнитной волны становится тем, что известно как уравнение Гельмгольца , и принимает вид ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

где и - волновое число среды. ${\displaystyle u=x,y,z}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Решения собственных функций (естественный режим): история вопроса и обзор

В случае дифференциальных уравнений, как и в случае матричных уравнений, всякий раз, когда правая часть уравнения равна нулю (например, функция силы, вектор силы или источник силы равен нулю), уравнение все еще может допускать нетривиальное решение , известное в прикладной математике как решение собственной функции , в физике как решение «естественного режима», а в теории электрических цепей как «реакция нулевого входа». Это концепция, которая охватывает широкий спектр физических дисциплин. Обычные физические примеры резонансных собственных режимов включают резонансные колебательные режимы струнных инструментов (1D), ударных инструментов (2D) или бывшего моста Tacoma Narrows Bridge (3D). Примеры распространяющихся собственных режимов включают волноводные режимы, режимы оптического волокна , солитоны и волны Блоха . Бесконечная однородная среда допускает прямоугольные, круговые и сферические гармонические решения уравнения Гельмгольца в зависимости от рассматриваемой системы координат. Распространяющиеся плоские волны, которые мы будем изучать в этой статье, являются, пожалуй, самым простым типом распространяющихся волн, встречающимся в любых типах сред.

Существует поразительное сходство между уравнением Гельмгольца ( 2.3 ) выше, которое можно записать в виде обычного уравнения для собственных значений / собственных векторов квадратной матрицы A , $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)f=0,}$$ $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {x} =0,}$$

в частности, поскольку и скалярный лапласиан , и матрица A являются линейными операторами в своих соответствующих функциях / векторных пространствах. (Знак минус в этом матричном уравнении, по сути, несущественен. Однако знак плюс в уравнении Гельмгольца имеет значение.) Возможно, стоит отметить, что решения собственных функций / решения собственных векторов уравнения Гельмгольца / матричного уравнения часто дают ортогональный набор собственных функций / собственных векторов, которые охватывают (т. е. образуют базисный набор) рассматриваемое функциональное пространство / векторное пространство. Заинтересованный читатель может исследовать другие функциональные линейные операторы (то есть для других уравнений, чем уравнение Гельмгольца), которые приводят к различным видам ортогональных собственных функций, таких как полиномы Лежандра , полиномы Чебышева и полиномы Эрмита . ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

В случае матричного уравнения, в котором A является квадратной матрицей, собственные значения могут быть найдены путем приравнивания определителя матрицы к нулю, т.е. нахождения точки, в которой матрица не имеет обратной. (Такая квадратная матрица называется вырожденной .) Конечные матрицы имеют только конечное число собственных значений/собственных векторов, тогда как линейные операторы могут иметь счетное бесконечное число собственных значений/собственных функций (в ограниченных областях) или несчетное бесконечное (непрерывное) спектры решений, как в неограниченных областях. ${\displaystyle \lambda }$

В некоторых физических приложениях, таких как вычисление полос в периодическом объеме , часто бывает так, что элементы матрицы будут очень сложными функциями частоты и волнового числа, и матрица будет невырожденной (т. е. она имеет обратную матрицу) для большинства комбинаций частоты и волнового числа, но также будет вырожденной (т. е. она не имеет обратной матрицы) для некоторых конкретных комбинаций. Найдя, какие комбинации частоты и волнового числа приводят определитель матрицы к нулю, можно определить характеристики распространения среды. Соотношения этого типа между частотой и волновым числом известны как дисперсионные соотношения , и некоторые физические системы могут допускать множество различных видов дисперсионных соотношений. Примером из электромагнетизма является обычный волновод, который может допускать многочисленные дисперсионные соотношения, каждое из которых связано с уникальным режимом распространения волновода. Каждый режим распространения волновода известен как решение собственной функции (или решение собственной моды) для уравнений Максвелла в волноводе. Свободное пространство также допускает решения собственных мод (естественных мод) (более известные как плоские волны), но с тем отличием, что для любой заданной частоты свободное пространство допускает непрерывный модальный спектр, тогда как волноводы имеют дискретный модовый спектр. В этом случае дисперсионное соотношение линейно, как в разделе 1.3.

К-пространство

Для заданного, например, однородного вакуумного пространства, условие разделения, которое идентично уравнению для евклидовой метрики в трехмерном конфигурационном пространстве, предполагает понятие k-вектора в трехмерном «k-пространстве», определяемого (для распространяющихся плоских волн) в прямоугольных координатах как: а в сферической системе координат как ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ $${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Эти соотношения сферической системы координат будут использованы в следующем разделе.

Понятие k-пространства является центральным во многих дисциплинах в области техники и физики, особенно при изучении периодических объемов, таких как кристаллография и зонная теория полупроводниковых материалов.

Двумерныйпреобразование Фурье

Уравнение спектрального анализа (вычисление спектра функции ): ${\displaystyle u(x,y)}$ $${\displaystyle U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$$

Уравнение синтеза (восстановление функции по ее спектру): ${\displaystyle u(x,y)}$ $${\displaystyle u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$$

Нормализующий фактор присутствует всякий раз, когда используется угловая частота (радианы), но не присутствует, когда используется обычная частота (циклы). ${\displaystyle {1}/{(2\pi )^{2}}}$

Оптические системы: общий обзор и аналогия с электрическими системами обработки сигналов

В общем виде оптическая система состоит из трех частей: входной плоскости, выходной плоскости и набора компонентов между этими плоскостями, которые преобразуют изображение f, сформированное во входной плоскости, в другое изображение g, сформированное в выходной плоскости. Выходное изображение оптической системы g связано с входным изображением f путем свертки входного изображения с функцией оптического импульсного отклика оптической системы h (известной как функция рассеяния точки для сфокусированных оптических систем). Функция импульсного отклика однозначно определяет поведение вход-выход оптической системы. По соглашению оптическая ось системы принимается за ось z . В результате два изображения и функция импульсного отклика являются функциями поперечных координат x и y . $${\displaystyle g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)}$$

Импульсный отклик оптической системы формирования изображения — это выходное плоскостное поле, которое создается, когда идеальный математический оптический точечный источник света, который является импульсным входом в систему, помещается во входную плоскость (обычно на оси, т. е. на оптической оси). На практике для определения точного импульсного отклика не обязательно иметь идеальный точечный источник. Это связано с тем, что любая полоса пропускания источника, которая лежит за пределами полосы пропускания рассматриваемой оптической системы, в любом случае не будет иметь значения (поскольку она даже не может быть захвачена оптической системой), поэтому она не является необходимой для определения импульсного отклика. Источнику необходимо только иметь по крайней мере такую ​​же (угловую) полосу пропускания, как и оптическая система.

Оптические системы обычно попадают в одну из двух различных категорий. Первая — это обычные сфокусированные оптические системы формирования изображений (например, камеры), в которых входная плоскость называется плоскостью объекта, а выходная плоскость — плоскостью изображения. Оптическое поле в плоскости изображения (выходная плоскость системы формирования изображений) должно быть высококачественным воспроизведением оптического поля в плоскости объекта (входная плоскость системы формирования изображений). Функция импульсного отклика оптической системы формирования изображений должна аппроксимировать двумерную дельта-функцию в месте (или линейно масштабированном месте) в выходной плоскости, соответствующем местоположению импульса (идеального точечного источника) во входной плоскости. Фактическая функция импульсного отклика системы формирования изображений обычно напоминает функцию Эйри , радиус которой имеет порядок длины волны используемого света. Функция импульсного отклика в этом случае обычно называется функцией рассеяния точки , поскольку математическая точка света в плоскости объекта была разложена в функцию Эйри в плоскости изображения.

Второй тип — это оптические системы обработки изображений, в которых необходимо локализовать и изолировать значимую особенность в оптическом поле входной плоскости. В этом случае импульсный отклик такой системы должен быть близкой копией (картинкой) той особенности, которая ищется в поле входной плоскости, так что свертка импульсного отклика (изображения желаемой особенности) с полем входной плоскости создаст яркое пятно в месте расположения особенности в выходной плоскости. Именно этот последний тип оптической системы обработки изображений является предметом этого раздела. В разделе 6.2 представлена ​​одна аппаратная реализация операций оптической обработки изображений, описанных в этом разделе.

Входная плоскость

Входная плоскость определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = 0. Таким образом, входное изображение f равно $${\displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}}$$

Выходная плоскость

Выходная плоскость определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = d . Выходное изображение g , таким образом, $${\displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}}$$

Двумерная свертка входной функции с функцией импульсного отклика

$${\displaystyle g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}$$т.е.,

Внимательный читатель заметит, что приведенный выше интеграл молчаливо предполагает, что импульсный отклик НЕ является функцией положения (x',y') импульса света во входной плоскости (если бы это было не так, этот тип свертки был бы невозможен). Это свойство известно как инвариантность сдвига (Скотт [1998]). Ни одна оптическая система не является идеально инвариантной к сдвигу: поскольку идеальная, математическая точка света сканируется вдали от оптической оси, аберрации в конечном итоге ухудшат импульсный отклик (известный как кома в системах сфокусированного изображения). Однако высококачественные оптические системы часто «достаточно инвариантны к сдвигу» в определенных областях входной плоскости, так что мы можем рассматривать импульсный отклик как функцию только разницы между координатами входной и выходной плоскостей, и, таким образом, использовать приведенное выше уравнение безнаказанно.

Также это уравнение предполагает единичное увеличение. Если увеличение присутствует, то уравнение ( 4.1 ) становится

что в основном переводит функцию импульсного отклика h _M () из x′ в x = Mx′ . В уравнении ( 4.2 ) h _M будет увеличенной версией функции импульсного отклика h аналогичной, неувеличенной системы, так что h _M ( x , y ) = h ( x / M , y / M ).

Вывод уравнения свертки

Расширение до двух измерений тривиально, за исключением того, что причинность существует во временной области, но не в пространственной. Причинность означает, что импульсная реакция h ( t − t′ ) электрической системы, вызванная импульсом, приложенным в момент времени t' , должна быть обязательно равна нулю для всех моментов времени t таких, что t − t′ < 0.

Получение сверточного представления реакции системы требует представления входного сигнала в виде взвешенной суперпозиции последовательности импульсных функций с использованием свойства просеивания дельта -функций Дирака . $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'}$$

Затем предполагается, что рассматриваемая система является линейной , то есть выход системы из-за двух различных входов (возможно, в два разных момента времени) является суммой отдельных выходов системы на два входа, когда они введены по отдельности. Таким образом, оптическая система не может содержать нелинейных материалов или активных устройств (за исключением, возможно, чрезвычайно линейных активных устройств). Выход системы для одного входа дельта-функции определяется как импульсный отклик системы, h ( t − t′ ). И, в соответствии с нашим предположением о линейности (то есть, что выход системы на вход импульсной последовательности является суммой выходов из-за каждого отдельного импульса), мы теперь можем сказать, что общая входная функция f ( t ) производит выход: где h ( t − t′ ) является (импульсным) откликом линейной системы на вход дельта-функции δ ( t − t′ ), примененный в момент времени t' . Вот откуда взялось приведенное выше уравнение свертки. Уравнение свертки полезно, поскольку часто гораздо проще найти отклик системы на вход дельта-функции, а затем выполнить свертку выше, чтобы найти отклик на произвольный вход, чем пытаться найти отклик на произвольный вход напрямую. Кроме того, импульсный отклик (во временной или частотной области) обычно дает представление о соответствующих показателях качества системы. В случае большинства линз функция рассеяния точки (PSF) является довольно распространенным показателем качества для целей оценки. $${\displaystyle g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'}$$

Та же логика используется в связи с принципом Гюйгенса–Френеля или формулировкой Стрэттона-Чу, где «импульсный отклик» называется функцией Грина системы. Таким образом, работа линейной оптической системы в пространственной области аналогична принципу Гюйгенса–Френеля.

Передаточная функция системы

Если последнее уравнение выше преобразовать Фурье, то оно примет вид: где $${\displaystyle G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )}$$

• ${\displaystyle G(\omega )}$спектр выходного сигнала
• ${\displaystyle H(\omega )}$это передаточная функция системы
• ${\displaystyle F(\omega )}$спектр входного сигнала

Аналогичным образом, уравнение ( 4.1 ) можно преобразовать Фурье, получив:

$${\displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$$

Передаточная функция системы, В оптической визуализации эта функция более известна как оптическая передаточная функция (Гудмана) . ${\displaystyle H(\omega )}$

Еще раз можно отметить из обсуждения условия синуса Аббе , что это уравнение предполагает единичное увеличение.

Это уравнение приобретает свой реальный смысл, когда преобразование Фурье связано с коэффициентом плоской волны, поперечные волновые числа которой равны . Таким образом, спектр плоской волны входной плоскости преобразуется в спектр плоской волны выходной плоскости посредством мультипликативного действия передаточной функции системы. Именно на этом этапе понимания предыдущий фон по спектру плоской волны становится бесценным для концептуализации оптических систем Фурье. ${\displaystyle ~G(k_{x},k_{y})}$ ${\displaystyle ~(k_{x},k_{y})}$

Применение принципов Фурье-оптики

Фурье-оптика применяется в области оптической обработки информации, основой которой является классический 4F-процессор.

Свойства преобразования Фурье линзы обеспечивают многочисленные приложения в обработке оптических сигналов, такие как пространственная фильтрация , оптическая корреляция и компьютерная генерация голограмм .

Фурье-оптическая теория используется в интерферометрии , оптических пинцетах , атомных ловушках и квантовых вычислениях . Концепции Фурье-оптики используются для реконструкции фазы интенсивности света в плоскости пространственных частот (см. адаптивно-аддитивный алгоритм ).

Фурье-преобразующее свойство линз

Если пропускающий объект поместить на одном фокусном расстоянии перед линзой , то его преобразование Фурье будет сформировано на одном фокусном расстоянии позади линзы. Рассмотрим рисунок справа (кликните для увеличения)

О свойстве линз преобразовывать Фурье

На этом рисунке предполагается плоская волна, падающая слева. Функция пропускания в передней фокальной плоскости (т. е. Плоскость 1) пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как в левой части уравнения ( 2.1 ) (заданной для z = 0), и при этом создает спектр плоских волн, соответствующий FT функции пропускания, как в правой части уравнения ( 2.1 ) (для z > 0). Различные компоненты плоской волны распространяются под разными углами наклона относительно оптической оси линзы (т. е. горизонтальной оси). Чем мельче детали в прозрачности, тем шире угловая полоса пропускания спектра плоской волны. Мы рассмотрим один такой компонент плоской волны, распространяющийся под углом θ относительно оптической оси. Предполагается, что θ мало ( параксиальное приближение ), так что и и $${\displaystyle {\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta }$$ $${\displaystyle {\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$

На рисунке фаза плоской волны , движущейся горизонтально от передней фокальной плоскости к плоскости линзы, равна , а фаза сферической волны от линзы до пятна в задней фокальной плоскости равна: и сумма двух длин пути равна f (1 + θ ² /2 + 1 − θ ² /2) = 2 f ; т. е. это постоянная величина, не зависящая от угла наклона θ для параксиальных плоских волн. Каждый компонент параксиальной плоской волны поля в передней фокальной плоскости появляется как пятно функции рассеяния точки в задней фокальной плоскости с интенсивностью и фазой, равными интенсивности и фазе исходного компонента плоской волны в передней фокальной плоскости. Другими словами, поле в задней фокальной плоскости является преобразованием Фурье поля в передней фокальной плоскости. $${\displaystyle e^{ikf\cos \theta }}$$ $${\displaystyle e^{ikf/\cos \theta }}$$

Все компоненты FT вычисляются одновременно - параллельно - со скоростью света. Например, свет распространяется со скоростью примерно 1 фут (0,30 м) в наносекунду, поэтому, если фокусное расстояние линзы составляет 1 фут (0,30 м), то все 2D FT может быть вычислено примерно за 2 нс (2 × 10−9 ^секунд ). Если фокусное расстояние составляет 1 дюйм, то время составляет менее 200 пс. Ни один электронный компьютер не может конкурировать с такими числами или, возможно, когда-либо надеяться, хотя суперкомпьютеры могут фактически оказаться быстрее оптики, как бы невероятно это ни казалось. Однако их скорость достигается путем объединения многочисленных компьютеров, которые по отдельности все равно медленнее оптики. Недостатком оптического FT является то, что, как показывает вывод, соотношение FT справедливо только для параксиальных плоских волн, поэтому этот «компьютер» FT изначально ограничен по полосе пропускания. С другой стороны, поскольку длина волны видимого света настолько мала по сравнению даже с самыми маленькими размерами видимых элементов изображения, т. е. (для всех k _x , k _y в пределах пространственной полосы пропускания изображения, так что k _z почти равно k ), параксиальное приближение не является слишком ограничивающим на практике. И, конечно, это аналоговый, а не цифровой компьютер, поэтому точность ограничена. Кроме того, фазу может быть сложно извлечь; часто ее выводят интерферометрически. $${\displaystyle k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$$

Оптическая обработка особенно полезна в приложениях реального времени, где требуется быстрая обработка больших объемов двумерных данных, особенно в связи с распознаванием образов.

Усечение объекта и явление Гиббса

Пространственно модулированное электрическое поле, показанное в левой части уравнения ( 2.1 ), обычно занимает только конечную (обычно прямоугольную) апертуру в плоскости x,y. Функция прямоугольной апертуры действует как двумерный квадратный фильтр, где поле предполагается равным нулю вне этого двумерного прямоугольника. Интегралы пространственной области для вычисления коэффициентов FT в правой части уравнения ( 2.1 ) усекаются на границе этой апертуры. Это ступенчатое усечение может внести неточности как в теоретические расчеты, так и в измеренные значения коэффициентов плоской волны в правой части уравнения ( 2.1 ).

Всякий раз, когда функция прерывисто усекается в одном домене FT, в другом домене FT вводятся уширение и рябь. Идеальный пример из оптики связан с функцией рассеяния точки, которая для осевого освещения плоской волной квадратной линзы (с круглой апертурой) является функцией Эйри, J ₁ ( x )/ x . Буквально, точечный источник был «распространен» (с добавлением ряби), чтобы сформировать функцию рассеяния точки Эйри (в результате усечения спектра плоской волны конечной апертурой линзы). Этот источник ошибки известен как явление Гиббса , и его можно смягчить, просто убедившись, что все значимое содержимое находится вблизи центра прозрачности, или с помощью оконных функций , которые плавно сужают поле до нуля на границах кадра. По теореме о свертке, FT произвольной функции прозрачности - умноженной (или усеченной) на функцию апертуры - равно FT неусеченной функции прозрачности, свернутой против FT функции апертуры, которая в этом случае становится типом "функции Грина" или "функции импульсного отклика" в спектральной области. Следовательно, изображение круглой линзы равно функции плоскости объекта, свернутой против функции Эйри (FT круглой функции апертуры равно J ₁ ( x )/ x , а FT прямоугольной функции апертуры является произведением функций sinc, sin x / x ).

Анализ Фурье и функциональное разложение

Несмотря на то, что входной транспарант занимает только конечную часть плоскости x - y (плоскость 1), однородные плоские волны, составляющие спектр плоской волны, занимают всю плоскость x - y , поэтому (для этой цели) следует рассматривать только фазу продольной плоской волны (в направлении z , от плоскости 1 к плоскости 2), а не фазу, поперечную направлению z . Конечно, очень заманчиво думать, что если плоская волна, исходящая из конечной апертуры транспаранта, наклонена слишком далеко от горизонтали, она каким-то образом вообще «промахнется» мимо линзы, но опять же, поскольку однородная плоская волна распространяется бесконечно далеко во всех направлениях в поперечной ( x - y ) плоскости, компоненты плоской волны не могут промахнуться мимо линзы.

Эта проблема поднимает, возможно, главную трудность анализа Фурье, а именно то, что функция входной плоскости, определенная на конечном носителе (т. е. на своей собственной конечной апертуре), аппроксимируется другими функциями (синусоидами), которые имеют бесконечный носитель (т. е. они определены на всей бесконечной плоскости x - y ). Это невероятно неэффективно с вычислительной точки зрения и является основной причиной, по которой были задуманы вейвлеты , то есть для представления функции (определенной на конечном интервале или площади) в терминах колебательных функций, которые также определены на конечных интервалах или площадях. Таким образом, вместо того, чтобы получить частотное содержимое всего изображения сразу (вместе с частотным содержимым всей остальной части плоскости x - y , на которой изображение имеет нулевое значение), результатом вместо этого является частотное содержимое различных частей изображения, что обычно намного проще. К сожалению, вейвлеты в плоскости x - y не соответствуют ни одному известному типу распространяющейся волновой функции, так же как синусоиды Фурье (в плоскости x - y ) соответствуют плоским волновым функциям в трех измерениях. Однако преобразования Фурье большинства вейвлетов хорошо известны и, возможно, могут быть показаны эквивалентными некоторому полезному типу распространяющегося поля.

С другой стороны, функции sinc и функции Эйри , которые являются не только функциями рассеяния точки прямоугольных и круглых апертур соответственно, но также являются кардинальными функциями, обычно используемыми для функционального разложения в теории интерполяции/выборки [Скотт 1990], соответствуют сходящимся или расходящимся сферическим волнам и, следовательно, потенциально могут быть реализованы как совершенно новое функциональное разложение функции плоскости объекта, тем самым приводя к другой точке зрения, схожей по своей природе с оптикой Фурье. Это было бы в основном то же самое, что и обычная лучевая оптика, но с включенными эффектами дифракции. В этом случае каждая функция рассеяния точки была бы типом «гладкого пикселя», во многом таким же образом, как солитон в волокне является «гладким импульсом».

Возможно, показатель качества линзы в этой точке зрения "функции рассеяния точки" будет заключаться в том, чтобы спросить, насколько хорошо линза преобразует функцию Эйри в плоскости объекта в функцию Эйри в плоскости изображения, как функцию радиального расстояния от оптической оси или как функцию размера функции Эйри в плоскости объекта. Это чем-то похоже на функцию рассеяния точки, за исключением того, что теперь мы действительно смотрим на нее как на своего рода функцию передачи плоскости вход-выход (как MTF), а не столько в абсолютных терминах, относительно идеальной точки. Аналогично, гауссовы вейвлеты, которые соответствовали бы талии распространяющегося гауссова пучка, также могли бы потенциально использоваться в еще одном функциональном разложении поля плоскости объекта.

Дальний радиус действия и 2D²/ λ-критерий

На рисунке выше, иллюстрирующем свойство преобразования Фурье линз, линза находится в ближнем поле прозрачности предметной плоскости, поэтому поле предметной плоскости у линзы можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, каждая из которых распространяется под некоторым углом относительно оси z. В связи с этим критерий дальнего поля в общих чертах определяется как: Диапазон = 2 D ² /λ, где D - максимальная линейная протяженность оптических источников, а λ - длина волны (Скотт [1998]). D прозрачности составляет порядка см (10−2 ^м ), а длина волны света - порядка 10−6 ^м , поэтому D /λ для всей прозрачности составляет порядка 104. ^В этом случае D составляет порядка 102 ^м , или сотен метров. С другой стороны, расстояние дальнего поля от пятна PSF составляет порядка λ. Это происходит потому, что D для пятна имеет порядок λ, так что D /λ имеет порядок единицы; в этом случае D (т.е. λ) имеет порядок λ (10−6 ^м ).

Поскольку линза находится в дальнем поле любого пятна PSF, поле, падающее на линзу из пятна, можно рассматривать как сферическую волну, как в уравнении ( 2.2 ), а не как спектр плоской волны, как в уравнении (2.1 ) . С другой стороны, линза находится в ближнем поле всего входного плоского прозрачного слоя, поэтому уравн. ( 2.1 ) — полный спектр плоской волны — точно представляет поле, падающее на линзу из этого большего, протяженного источника.

Линза как фильтр нижних частот

Линза по сути является низкочастотным фильтром плоской волны (см. Фильтр нижних частот ). Рассмотрим «маленький» источник света, расположенный на оси в плоскости объекта линзы. Предполагается, что источник достаточно мал, чтобы по критерию дальнего поля линза находилась в дальнем поле «маленького» источника. Тогда поле, излучаемое малым источником, представляет собой сферическую волну, которая модулируется преобразованием Фурье распределения источника, как в уравнении ( 2.2 ). Затем линза пропускает — из плоскости объекта на плоскость изображения — только ту часть излучаемой сферической волны, которая лежит внутри краевого угла линзы. В этом случае дальнего поля усечение излучаемой сферической волны эквивалентно усечению спектра плоской волны малого источника. Таким образом, компоненты плоской волны в этой дальнем поле сферической волны, которые лежат за краевым углом линзы, не захватываются линзой и не переносятся в плоскость изображения. Примечание: эта логика верна только для малых источников, таких, что линза находится в дальней зоне источника, согласно критерию 2 D ² /λ, упомянутому ранее. Если представить себе прозрачность плоскости объекта как суммирование по малым источникам (как в интерполяционной формуле Уиттекера–Шеннона , Скотт [1990]), каждый из которых имеет свой спектр, усеченный таким образом, то каждая точка всей прозрачности плоскости объекта страдает от тех же эффектов этой низкочастотной фильтрации.

Потеря высокочастотного (пространственного) содержимого вызывает размытие и потерю резкости (см. обсуждение, связанное с функцией рассеяния точки ). Усечение полосы пропускания приводит к размытию (или размытию) (фиктивного, математического, идеального) точечного источника в плоскости объекта в плоскости изображения, что приводит к появлению термина «функция рассеяния точки». Всякий раз, когда полоса пропускания расширяется или сжимается, размер изображения обычно соответственно сокращается или расширяется таким образом, что произведение пространства на полосу пропускания остается постоянным, согласно принципу Гейзенберга (Скотт [1998] и условию синуса Аббе ).

Когерентность и преобразование Фурье

При работе в частотной области с предполагаемой зависимостью e ^jωt (инженерной) от времени неявно предполагается когерентный (лазерный) свет, который имеет зависимость дельта-функции в частотной области. Свет на разных частотах (дельта-функция) будет «распылять» спектр плоской волны под разными углами, и в результате эти компоненты плоской волны будут фокусироваться в разных местах выходной плоскости. Фурье-преобразующее свойство линз лучше всего работает с когерентным светом, если только нет какой-то особой причины объединить свет разных частот для достижения какой-то специальной цели.

Аппаратная реализация передаточной функции системы: коррелятор 4F

Теория оптических передаточных функций, представленная в разделе 5, несколько абстрактна. Однако существует одно очень известное устройство, которое реализует передаточную функцию системы H в аппаратном обеспечении, используя только 2 идентичные линзы и прозрачную пластину — коррелятор 4F. Хотя одним из важных применений этого устройства, безусловно, была бы реализация математических операций кросс-корреляции и свертки , это устройство — длиной 4 фокусных расстояния — на самом деле обслуживает широкий спектр операций обработки изображений, которые выходят далеко за рамки того, что подразумевает его название. Схема типичного коррелятора 4F показана на рисунке ниже (кликните для увеличения). Это устройство можно легко понять, объединив представление спектра плоской волны электрического поля (раздел 1.5) со свойством преобразования Фурье квадратичных линз (раздел 6.1) для получения операций оптической обработки изображений, описанных в разделе 5.

4F Коррелятор

Коррелятор 4F основан на теореме о свертке из теории преобразования Фурье , которая гласит, что свертка в пространственной ( x , y ) области эквивалентна прямому умножению в области пространственных частот ( k _x , k _y ) (также известной как спектральная область ). Еще раз, предполагается, что плоская волна падает слева, а транспарант, содержащий одну 2D-функцию, f ( x , y ), помещается во входную плоскость коррелятора, расположенную на одно фокусное расстояние перед первой линзой. Транспарант пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как в левой части уравнения ( 2.1 ), и, таким образом, создает спектр плоских волн, соответствующих FT функции пропускания, как в правой части уравнения ( 2.1 ). Затем этот спектр формируется как «изображение» на одно фокусное расстояние позади первой линзы, как показано. Маска пропускания, содержащая FT второй функции g ( x , y ), помещается в эту же плоскость на одно фокусное расстояние позади первой линзы, в результате чего пропускание через маску становится равным произведению F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Это произведение теперь лежит во «входной плоскости» второй линзы (на одно фокусное расстояние впереди), так что FT этого произведения (т. е. свертка f ( x , y ) и g ( x , y ) ) формируется в задней фокальной плоскости второй линзы.

Если идеальный, математический точечный источник света поместить на ось во входной плоскости первой линзы, то в выходной плоскости первой линзы будет создано однородное коллимированное поле. Когда это однородное коллимированное поле умножается на маску плоскости FT, а затем преобразуется Фурье второй линзой, выходное плоскостное поле (которое в этом случае является импульсным откликом коррелятора) является просто нашей коррелирующей функцией g ( x , y ). В практических приложениях g ( x , y ) будет некоторым типом элемента, который должен быть идентифицирован и расположен в пределах входного плоскостного поля (см. Scott [1998]). В военных приложениях этим элементом может быть танк, корабль или самолет, которые должны быть быстро идентифицированы в пределах некоторой более сложной сцены.

Коррелятор 4F является прекрасным устройством для иллюстрации «системных» аспектов оптических приборов, упомянутых в разделе 5 выше. Функция маски плоскости FT, G ( k _x , k _y ) является системной передаточной функцией коррелятора, которую мы в общем случае обозначим как H ( k _x , k _y ), и это FT импульсной ответной функции коррелятора, h ( x , y ), которая является просто нашей коррелирующей функцией g ( x , y ). И, как упоминалось выше, импульсная реакция коррелятора является просто изображением особенности, которую мы пытаемся найти во входном изображении. В корреляторе 4F системная передаточная функция H ( k _x , k _y ) напрямую умножается на спектр F ( k _x , k _y ) входной функции, чтобы получить спектр выходной функции. Вот как работают электрические системы обработки сигналов с 1D временными сигналами.

Восстановление изображения

Размытие изображения функцией рассеяния точки широко изучается в оптической обработке информации, один из способов смягчить размытие — принять фильтр Винера. Например, предположим, что — распределение интенсивности от некогерентного объекта, — распределение интенсивности его изображения, размытого инвариантной к пространству функцией рассеяния точки и шумом, введенным в процессе обнаружения: ${\displaystyle o(x,y)}$ ${\displaystyle i(x,y)}$ ${\displaystyle s(x,y)}$ ${\displaystyle n(x,y)}$ $${\displaystyle i(x,y)=o(x,y)\otimes s(x,y)+n(x,y)}$$

Целью восстановления изображения является поиск линейного фильтра восстановления, который минимизирует среднеквадратичную ошибку между истинным распределением и оценкой . То есть, минимизировать ${\displaystyle {\hat {o}}(x,y)}$ $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}}$$

Решением этой задачи оптимизации является фильтр Винера : где , , — спектральные плотности мощности функции рассеяния точки, объекта и шума. $${\displaystyle H\left(f_{X},f_{Y}\right)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\left|S\left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}},}$$ ${\displaystyle S\left(f_{X},f_{Y}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$

Геометрия записи

Рагнарссон предложил метод реализации винеровских восстановительных фильтров оптически с помощью голографической техники, подобной установке, показанной на рисунке. ^{[2] [3]} Вывод функции установки описывается следующим образом.

Предположим, что в качестве плоскости записи имеется прозрачность и импульс, излучаемый точечным источником S. Волна импульса коллимируется линзой L 1, образуя распределение, равное импульсному отклику . Затем распределение разделяется на две части: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

1. Верхняя часть сначала фокусируется (т.е. преобразуется Фурье) линзой L 2 в точку в передней фокальной плоскости линзы L 3, образуя виртуальный точечный источник, генерирующий сферическую волну. Затем волна коллимируется линзой L 3 и производит наклонную плоскую волну с формой в плоскости записи. ${\displaystyle r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}}$
2. Нижняя часть напрямую коллимируется линзой L3 , что дает распределение амплитуды . ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda f}}H{\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)}}$

Таким образом, общее распределение интенсивности равно $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)&=\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}\\&=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}}$$

Предположим, что имеет распределение амплитуды и распределение фазы, такое что ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)=S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right],}$$

тогда мы можем переписать интенсивность следующим образом: $${\displaystyle I\left(x_{2},y_{2}\right)=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

Обратите внимание, что для точки начала плоскости пленки ( ) зарегистрированная волна из нижней части должна быть намного сильнее, чем из верхней части, поскольку волна, проходящая по нижнему пути, фокусируется, что приводит к соотношению . ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0} }$ ${\textstyle r_{0}\ll {\frac {1}{\lambda f}}}$

В работе Рагнарссона этот метод основан на следующих постулатах:

1. Предположим, что имеется транспарант с амплитудным коэффициентом пропускания , пропорциональным , который записал известный импульсный отклик размытой системы. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s(x,y)}$
2. Максимальный сдвиг фазы, вносимый фильтром, намного меньше радиан, поэтому . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{j\phi }\approx 1+j\phi }$
3. Фазовый сдвиг прозрачности после отбеливания линейно пропорционален плотности серебра, присутствовавшего до отбеливания. ${\displaystyle D}$
4. Плотность линейно пропорциональна логарифму экспозиции. $${\displaystyle I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}.}$$
5. Среднее воздействие намного сильнее, чем переменное воздействие ${\displaystyle {\bar {I}}}$ $${\displaystyle \Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)={\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

Согласно этим постулатам, мы имеем следующее соотношение: $${\displaystyle \Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (\log I)\approx {\frac {\Delta I}{I}}.}$$

В итоге получаем амплитудный коэффициент пропускания в виде фильтра Винера: $${\displaystyle \Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^{2}}}.}$$

Послесловие: Спектр плоской волны в более широком контексте функциональной декомпозиции

Электрические поля можно математически представить многими различными способами. В точках зрения Гюйгенса-Френеля или Страттона -Чу электрическое поле представляется как суперпозиция точечных источников, каждый из которых порождает поле функции Грина . Тогда общее поле является взвешенной суммой всех отдельных полей функции Грина. Это кажется наиболее естественным способом рассмотрения электрического поля для большинства людей - без сомнения, потому что большинство из нас в то или иное время чертили окружности с помощью транспортира и бумаги, во многом так же, как это делал Томас Янг в своей классической статье об эксперименте с двумя щелями . Однако это ни в коем случае не единственный способ представления электрического поля, которое также может быть представлено как спектр синусоидально изменяющихся плоских волн. Кроме того, Фриц Цернике предложил еще одно функциональное разложение , основанное на его полиномах Цернике , определенных на единичном круге. Полиномы Цернике третьего порядка (и ниже) соответствуют нормальным аберрациям линзы. И еще одно функциональное разложение может быть сделано в терминах функций Sinc и функций Эйри, как в формуле интерполяции Уиттекера–Шеннона и теореме выборки Найквиста–Шеннона . Все эти функциональные разложения полезны в различных обстоятельствах. Оптический ученый, имеющий доступ к этим различным репрезентативным формам, имеет более богатое представление о природе этих чудесных полей и их свойствах. Эти различные способы рассмотрения поля не являются конфликтующими или противоречивыми, скорее, исследуя их связи, можно часто получить более глубокое представление о природе волновых полей.

Функциональная декомпозиция и собственные функции

Близнецовые субъекты разложения собственных функций и функционального разложения , оба кратко упомянутые здесь, не являются полностью независимыми. Разложения собственных функций до определенных линейных операторов, определенных в заданной области, часто будут давать счетно бесконечное множество ортогональных функций , которые будут охватывать эту область. В зависимости от оператора и размерности (и формы, и граничных условий) его области, в принципе возможны многие различные типы функциональных разложений.

Смотрите также

• Метод углового спектра
• Аббе синус условие
• Адаптивно-аддитивный алгоритм
• Принцип Гюйгенса-Френеля
• Функция рассеяния точки
• Фазово-контрастная микроскопия
• дифракция Фраунгофера
• дифракция Френеля
• Геометрическая оптика
• Гильбертово пространство
• Оптический коррелятор
• Оптическое преобразование Хартли
• Синтез волнового поля

Ссылки

1. Уравнение 2.3 ниже предполагает, что u в этом уравнении такое, как u = x, y или z. Необходимо подтвердить, является ли это правильным пониманием.
2. Рагнарссон, СИ. "Physica Scripta. Новый голографический метод создания высокоэффективного пространственного фильтра с расширенным диапазоном и его применение для восстановления расфокусированных изображений". Physica Scripta .
3. Гудман, Джозеф В. (2005). Введение в Фурье-оптику. Roberts and Company Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.

• Дюффье, Пьер-Мишель (1983). Преобразование Фурье и его применение в оптике . Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons .
• Гудман, Джозеф (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Company Publishers. ISBN 0-9747077-2-4. Получено 28.10.2017 .
• Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-11609-X.
• Уилсон, Рэймонд (1995). Ряды Фурье и методы оптического преобразования в современной оптике . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30357-7.
• Скотт, Крейг (1998). Введение в оптику и оптическое изображение . John Wiley & Sons . ISBN 0-7803-3440-X.
• Скотт, Крейг (1990). Современные методы анализа и проектирования рефлекторных антенн . Artech House . ISBN 0-89006-419-9.
• Скотт, Крейг (1989). Метод спектральной области в электромагнетизме . Artech House . ISBN 0-89006-349-4.
• Введение в Фурье-оптику и коррелятор 4F

Внешние ссылки

• Эмбс, Пьер (2010). «Оптические вычисления: 60-летнее приключение». Достижения в оптических технологиях . 2010. Hindawi Limited: 1–15. doi : 10.1155/2010/372652 . ISSN  1687-6393.
• Stratton, JA; Chu, LJ (1939-07-01). "Теория дифракции электромагнитных волн" (PDF) . Physical Review . 56 (1). Американское физическое общество (APS): 99–107. doi :10.1103/physrev.56.99. ISSN  0031-899X.