В теории множеств полумножество — это собственный класс , являющийся подклассом множества . В типичных основах теории множеств Цермело–Френкеля полумножества невозможны из-за аксиоматической схемы спецификации .
Теория полумножеств была предложена и разработана чешскими математиками Петром Вопенкой и Петром Гаеком (1972). Она основана на модификации теории множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя ; в стандартной NBG существование полумножеств исключается аксиомой разделения .
Концепция полумножеств открывает путь для формулировки альтернативной теории множеств . В частности, Альтернативная теория множеств Вопенки (1979) аксиоматизирует концепцию полумножества, дополняя ее несколькими дополнительными принципами.
Полумножества могут использоваться для представления множеств с неточными границами. Новак (1984) изучал аппроксимацию полумножеств нечеткими множествами , которые часто более подходят для практических приложений моделирования неточности.
«Альтернативная теория множеств» Вопенки основывается на некоторых идеях теории полумножеств, но также вводит более радикальные изменения: например, все множества «формально» конечны , что означает, что множества в AST удовлетворяют закону математической индукции для формул множеств (точнее: часть AST, которая состоит из аксиом, относящихся только к множествам, эквивалентна теории множеств Цермело–Френкеля (или ZF), в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием). Однако некоторые из этих множеств содержат подклассы, которые не являются множествами, что отличает их от конечных множеств Кантора (ZF), и они называются бесконечными в AST.