Модель Бозе-Хаббарда

Модель Бозе-Хаббарда описывает физику взаимодействия бесспиновых бозонов на решетке . Она тесно связана с моделью Хаббарда , которая возникла в физике твердого тела как приблизительное описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами кристаллического твердого тела . Модель была введена Гершем и Кнолльманом ^[1] в 1963 году в контексте гранулярных сверхпроводников. (Термин « Бозе » в ее названии относится к тому факту, что частицы в системе являются бозонными .) Модель приобрела известность в 1980-х годах после того, как было обнаружено, что она охватывает суть перехода сверхтекучесть-изолятор таким образом, который был гораздо более математически понятным, чем модели фермионного металла-изолятора. ^[2]^[3]^[4]

Модель Бозе-Хаббарда может быть использована для описания физических систем, таких как бозонные атомы в оптической решетке , ^[5], а также некоторых магнитных изоляторов. ^[6]^[7] Кроме того, ее можно обобщить и применить к смесям Бозе-Ферми, в этом случае соответствующий гамильтониан называется гамильтонианом Бозе-Ферми-Хаббарда.

Гамильтониан

Физика этой модели задается гамильтонианом Бозе-Хаббарда:

H=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left({\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{j}+{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}\right)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}}_{i}-1\right)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i}.

Здесь обозначает суммирование по всем соседним узлам решетки и , тогда как и являются операторами создания и уничтожения бозонов, такими что дает число частиц на узле . Модель параметризуется амплитудой прыжка , которая описывает подвижность бозонов в решетке, взаимодействием на месте, которое может быть притягивающим ( ) или отталкивающим ( ), и химическим потенциалом , который по сути задает число частиц. Если не указано иное, обычно фраза «модель Бозе–Хаббарда» относится к случаю, когда взаимодействие на месте является отталкивающим. $\left\langle i,j\right\rangle$ $я$ $j$ ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ ${\hat {b}}_{i}^{}$ ${\hat {n}}_{i}={\hat {b}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}$ $я$ $т$ $U$ $U<0$ $U>0$ $\мю$

Этот гамильтониан имеет глобальную симметрию, что означает, что он инвариантен (его физические свойства не меняются) при преобразовании . В сверхтекучей фазе эта симметрия спонтанно нарушается . $U(1)$ ${\hat {b}}_{i}\rightarrow e^{i\theta }{\hat {b}}_{i}$

Гильбертово пространство

Размерность гильбертова пространства модели Бозе-Хаббарда определяется как , где — общее число частиц, а обозначает общее число узлов решетки. При фиксированном или размерность гильбертова пространства растет полиномиально, но при фиксированной плотности бозонов на узел она растет экспоненциально как . Аналогичные гамильтонианы могут быть сформулированы для описания бесспиновых фермионов (модель Ферми-Хаббарда) или смесей различных видов атомов (например, смеси Бозе-Ферми). В случае смеси гильбертово пространство — это просто тензорное произведение гильбертовых пространств отдельных видов. Обычно для моделирования взаимодействия между видами включаются дополнительные члены. $D_{b}=(N_{b}+L-1)!/N_{b}!(L-1)!$ $N_{b}$ $L$ $N_{b}$ $L$ $D_{b}$ $n_{b}$ ${\textstyle D_{b}\sim \left[(1+n_{b})\left(1+{\frac {1}{n_{b}}}\right)^{n_{b}}\right]^{L}}$

Фазовая диаграмма

При нулевой температуре модель Бозе-Хаббарда (в отсутствие беспорядка) находится либо в изолирующем состоянии Мотта при малых , либо в сверхтекучем состоянии при больших . ^[8] Изолирующие фазы Мотта характеризуются целочисленными плотностями бозонов, существованием энергетической щели для возбуждений частица-дырка и нулевой сжимаемостью . Сверхтекучая жидкость характеризуется дальнодействующей фазовой когерентностью, спонтанным нарушением непрерывной симметрии гамильтониана, ненулевой сжимаемостью и сверхтекучей восприимчивостью. При ненулевой температуре в определенных режимах параметров появляется регулярная жидкая фаза, которая не нарушает симметрию и не демонстрирует фазовую когерентность. Обе эти фазы экспериментально наблюдались в ультрахолодных атомарных газах. ^[9] $т/U$ $т/U$ $U(1)$ $U(1)$

При наличии беспорядка существует третья фаза, «бозе-стекло». ^[4] Бозе-стекло является фазой Гриффитса и может рассматриваться как изолятор Мотта, содержащий редкие «лужицы» сверхтекучей жидкости. Эти сверхтекучие лужи не связаны между собой, поэтому система остается изолирующей, но их присутствие существенно меняет термодинамику модели. Фаза бозе-стекла характеризуется конечной сжимаемостью, отсутствием щели и бесконечной сверхтекучей восприимчивостью . ^[4] Она является изолирующей, несмотря на отсутствие щели, поскольку низкое туннелирование предотвращает генерацию возбуждений, которые, хотя и близки по энергии, пространственно разделены. Бозе-стекло имеет ненулевой параметр порядка Эдвардса–Андерсона ^[10]^[11] и, как предполагалось (но не доказано), демонстрирует нарушение симметрии реплики . ^[12]

Теория среднего поля

Фазы чистой модели Бозе-Хаббарда можно описать с помощью гамильтониана среднего поля : ^[13] где — координационное число решетки . Его можно получить из полного гамильтониана Бозе-Хаббарда, установив , где , пренебрегая членами, квадратичными по (предположительно бесконечно малыми), и переобозначив . Поскольку это расцепление нарушает симметрию исходного гамильтониана для всех ненулевых значений , этот параметр действует как параметр сверхтекучего порядка . Для простоты предполагается, что это расцепление одинаково на каждом участке, что исключает экзотические фазы, такие как сверхтвердые тела или другие неоднородные фазы. (Возможны и другие расцепления.) Фазовую диаграмму можно определить, вычислив энергию этого гамильтониана среднего поля с помощью теории возмущений второго порядка и найдя условие, при котором . Для этого гамильтониан записывается как локальная по сайту часть плюс возмущение: где билинейные члены и их сопряженные рассматриваются как возмущение. Параметр порядка предполагается малым вблизи фазового перехода . Локальный член является диагональным в базисе Фока , что дает вклад энергии нулевого порядка: где — целое число, которое обозначает заполнение состояния Фока. Пертурбативная часть может быть рассмотрена с помощью теории возмущений второго порядка, что приводит к: Энергия может быть выражена как разложение в ряд по четным степеням параметра порядка (также известное как формализм Ландау ): После этого условие для фазового перехода второго рода среднего поля между изолятором Мотта и сверхтекучей фазой задается как: где целое число описывает заполнение изолирующей доли Мотта. Построение линии для различных целочисленных значений генерирует границу различных долей Мотта, как показано на фазовой диаграмме. ^[4] ${\begin{aligned}H_{\textrm {MF}}&=\sum _{i}\left[-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })+zt\psi ^{*}\psi \right]\end{aligned}}$ $z$ ${\hat {b}}_{i}\rightarrow \psi +\delta {\hat {b}}$ $\psi =\langle {\hat {b}}_{i}\rangle$ $\delta {\hat {b}}_{i}$ $\delta {\hat {b}}_{i}\rightarrow {\hat {b}}_{i}$ $U(1)$ $\пси$ $\пси$ $\psi \neq 0$ $H_{\textrm {MF}}=\sum _{i}\left[h_{i}^{(0)}-zt(\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}+\psi {\hat {b}}_{i}^{\dagger })\right]\quad {\textrm {with}}\quad h_{i}^{(0)}=-\mu {\hat {n}}_{i}+{\frac {U}{2}}{\hat {n}}_{i}({\hat {n}}_{i}-1)+zt\psi ^{*}\psi$ $\psi ^{*}{\hat {b}}_{i}$ $\пси$ $E_{m}^{(0)}=-\mu m+{\frac {U}{2}}m(m-1)+zt|\psi |^{2}$ $м$ $E_{m}^{(2)}=zt|\psi |^{2}\sum _{n\neq m}{\frac {|\langle m|({\hat {b}}_{i}^{\dagger }+{\hat {b}}_{i})|n\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}=-(zt)^{2}|\psi |^{2}\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right).$ $E={\text{constant}}+R|\psi |^{2}+W|\psi |^{4}+...$ $r={\frac {R}{zt}}=1+zt\left({\frac {m}{U(m-1)-\mu }}+{\frac {m+1}{\mu -Um}}\right)=0$ $m$ $m^{th}$ $r=0$ $m$

Реализация в оптических решетках

Ультрахолодные атомы в оптических решетках считаются стандартной реализацией модели Бозе-Хаббарда. Возможность настройки параметров модели с использованием простых экспериментальных методов и отсутствие динамики решетки, присутствующей в твердотельных электронных системах, означает, что ультрахолодные атомы предлагают чистую, контролируемую реализацию модели Бозе-Хаббарда. ^[14]^[5] Самым большим недостатком технологии оптических решеток является время жизни ловушки, при этом атомы обычно удерживаются в ловушке всего несколько десятков секунд.

Чтобы понять, почему ультрахолодные атомы предлагают такую удобную реализацию физики Бозе-Хаббарда, гамильтониан Бозе-Хаббарда можно вывести, исходя из вторично квантованного гамильтониана, который описывает газ ультрахолодных атомов в оптическом решеточном потенциале. Этот гамильтониан задается как:

H=\int {\rm {d}}^{3}r\!\left[{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {latt.}}({\vec {r}})\right){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac {g}{2}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})-\mu {\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}})\right]

где — оптический решеточный потенциал, — амплитуда (контактного) взаимодействия, — химический потенциал. Приближение сильной связи приводит к замене , что приводит к гамильтониану Бозе–Хаббарда, физика ограничена самой низкой зоной ( ), а взаимодействия локальны на уровне дискретной моды. Математически это можно сформулировать как требование, что за исключением случая . Здесь — функция Ванье для частицы в оптическом решеточном потенциале, локализованном вокруг узла решетки, и для th блоховской зоны . ^[15] $V_{latt}$ $g$ $\mu$ ${\textstyle {\hat {\psi }}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})b_{i}^{\alpha }}$ $\alpha =0$ ${\textstyle \int w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})w_{j}^{\beta }({\vec {r}})w_{k}^{\gamma }(r)w_{l}^{\delta }({\vec {r}})\,{\rm {d}}^{3}r=0}$ $i=j=k=l\wedge \alpha =\beta =\gamma =\delta =0$ $w_{i}^{\alpha }({\vec {r}})$ $i$ $\alpha$

Тонкости и приближения

Приближение сильной связи существенно упрощает вторично квантованный гамильтониан, хотя в то же время вносит несколько ограничений:

Для односайтовых состояний с несколькими частицами в одном состоянии взаимодействия могут быть связаны с более высокими полосами Блоха, что противоречит базовым предположениям. Тем не менее, модель с одной полосой способна рассматривать низкоэнергетическую физику такой установки, но с параметрами U и J, которые становятся зависимыми от плотности. Вместо одного параметра U, энергия взаимодействия n частиц может быть описана близким , но не равным U. ^[15] $U_{n}$
При рассмотрении (быстрой) динамики решетки в гамильтониан добавляются дополнительные члены, так что зависящее от времени уравнение Шредингера подчиняется в (зависящем от времени) базисе функций Ванье. Члены берутся из зависимости функций Ванье от времени. ^[16]^[17] В противном случае динамика решетки может быть включена путем придания ключевым параметрам модели зависимости от времени, изменяющейся вместе с мгновенным значением оптического потенциала.

Экспериментальные результаты

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе-Хаббарда были экспериментально обнаружены Грейнером и др. ^[9], а зависящие от плотности параметры взаимодействия были обнаружены группой Иммануэля Блоха . ^[18] Визуализация модели Бозе-Хаббарда с разрешением в один атом стала возможной с 2009 года с использованием квантовых газовых микроскопов. ^[19]^[20]^[21] $U_{n}$

Дальнейшие приложения

Модель Бозе-Хаббарда представляет интерес в области квантовых вычислений и квантовой информации. Запутывание ультрахолодных атомов может быть изучено с помощью этой модели. ^[22]

Численное моделирование

При расчете низкоэнергетических состояний термин пропорционален означает, что большое заполнение одного узла маловероятно, что позволяет усечь локальное гильбертово пространство до состояний, содержащих не более частиц. Тогда размерность локального гильбертова пространства равна Размерность полного гильбертова пространства растет экспоненциально с числом узлов решетки, ограничивая точное компьютерное моделирование всего гильбертова пространства системами из 15-20 частиц в 15-20 узлах решетки. ^[^{необходима цитата}^] Экспериментальные системы содержат несколько миллионов узлов со средним заполнением выше единицы. ^[^{необходима цитата}^] $n^{2}U$ $d<\infty$ $d+1.$

Одномерные решетки могут быть изучены с использованием группы перенормировки матрицы плотности (DMRG) и связанных с ней методов, таких как децимация блоков, развивающихся во времени (TEBD). Это включает в себя вычисление основного состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на тысячах узлов решетки и моделирование его динамики, управляемой зависящим от времени уравнением Шредингера . Недавно ^{[ когда? ]} двумерные решетки были изучены с использованием спроектированных запутанных парных состояний , обобщения состояний матричного произведения в более высоких измерениях, как для основного состояния ^[23] , так и для конечной температуры. ^[24]

Более высокие измерения значительно сложнее из-за быстрого роста запутанности . ^[25]

Все измерения могут быть обработаны с помощью квантовых алгоритмов Монте-Карло, ^{[ необходима ссылка ]} , которые предоставляют способ изучения свойств тепловых состояний гамильтониана и, в частности, основного состояния.

Обобщения

Гамильтонианы типа Бозе-Хаббарда могут быть получены для различных физических систем, содержащих ультрахолодный атомный газ в периодическом потенциале. Они включают:

системы с более дальнодействующими взаимодействиями плотность-плотность вида , которые могут стабилизировать сверхтвердую фазу для определенных значений параметров $Vn_{i}n_{j}$
димеризованные магниты, в которых электроны со спином 1/2 связаны в пары, называемые димерами, которые имеют бозонную статистику возбуждения и описываются моделью Бозе-Хаббарда
дальнее дипольное взаимодействие ^[26]
системы с туннельными условиями, вызванными взаимодействием ^[27] $a_{i}^{\dagger }(n_{i}+n_{j})a_{j}$
Внутренняя спиновая структура атомов, например, из-за захвата всего вырожденного многообразия сверхтонких спиновых состояний (при F=1 это приводит к модели Бозе-Хаббарда со спином 1) ^[28]^{[ необходимо разъяснение ]}
ситуации, когда газ испытывает дополнительный потенциал, например, в неупорядоченных системах. ^[29] Беспорядок может быть реализован спекл-схемой или с использованием второй, несоизмеримой, более слабой оптической решетки. В последнем случае включение беспорядка равносильно включению дополнительного члена вида: . $H_{I}=V_{d}\sum \limits _{i}\cos(ki+\varphi ){\hat {n}}_{i}$

Смотрите также

Модель Джейнса–Каммингса–Хаббарда

Ссылки

^ Герш, Х.; Кноллман, Г. (1963). «Квантовая модель ячейки для бозонов». Physical Review . 129 (2): 959. Bibcode : 1963PhRv..129..959G. doi : 10.1103/PhysRev.129.959.
^ Ma, M.; Halperin, BI; Lee, PA (1986-09-01). «Сильно неупорядоченные сверхтекучие жидкости: квантовые флуктуации и критическое поведение». Physical Review B. 34 ( 5): 3136–3143. Bibcode : 1986PhRvB..34.3136M. doi : 10.1103/PhysRevB.34.3136. PMID 9940047.
^ Giamarchi, T.; Schulz, HJ (1988-01-01). "Локализация Андерсона и взаимодействия в одномерных металлах". Physical Review B. 37 ( 1): 325–340. Bibcode :1988PhRvB..37..325G. doi :10.1103/PhysRevB.37.325. PMID 9943580.
^ abcd Фишер, Мэтью П.А.; Гринштейн, Г.; Фишер, Дэниел С. (1989). «Локализация бозонов и переход сверхтекучесть-изолятор» (PDF) . Physical Review B. 40 ( 1): 546–70. Bibcode : 1989PhRvB..40..546F. doi : 10.1103/PhysRevB.40.546. PMID 9990946.,
^ ab Jaksch, D.; Zoller, P. (2005). "The cold atom Hubbard toolbox". Annals of Physics . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat/0410614 . Bibcode : 2005AnPhy.315...52J. CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . doi : 10.1016/j.aop.2004.09.010. S2CID 12352119.
^ Giamarchi, Thierry; Rüegg, Christian; Tchernyshyov, Олег (2008). «Бозе-эйнштейновская конденсация в магнитных изоляторах». Nature Physics . 4 (3): 198–204. arXiv : 0712.2250 . Bibcode :2008NatPh...4..198G. doi :10.1038/nphys893. S2CID 118661914.
^ Цапф, Вивьен; Хайме, Марсело; Батиста, CD (2014-05-15). «Бозе-эйнштейновская конденсация в квантовых магнитах». Reviews of Modern Physics . 86 (2): 563–614. Bibcode : 2014RvMP...86..563Z. doi : 10.1103/RevModPhys.86.563.
^ Кюнер, Т.; Мониен, Х. (1998). "Фазы одномерной модели Бозе-Хаббарда". Physical Review B. 58 ( 22): R14741. arXiv : cond-mat/9712307 . Bibcode : 1998PhRvB..5814741K. doi : 10.1103/PhysRevB.58.R14741. S2CID 118911555.
^ аб Грейнер, Маркус; Мандель, Олаф; Эсслингер, Тилман; Хэнш, Теодор В.; Блох, Иммануэль (2002). «Квантовый фазовый переход от сверхтекучего изолятора к изолятору Мотта в газе ультрахолодных атомов». Природа . 415 (6867): 39–44. Бибкод : 2002Natur.415...39G. дои : 10.1038/415039а. PMID 11780110. S2CID 4411344.
^ Моррисон, С.; Кантиан, А.; Дейли, А.Дж.; Кацграбер, Х.Г.; Левенштейн, М.; Бюхлер, Х.П.; Цоллер, П. (2008). "Физические реплики и бозе-стекло в холодных атомарных газах". New Journal of Physics . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Bibcode : 2008NJPh...10g3032M. doi : 10.1088/1367-2630/10/7/073032. ISSN 1367-2630. S2CID 2822103.
^ Томсон, С. Дж.; Уокер, Л. С.; Харт, Т. Л.; Брюс, Г. Д. (2016-11-03). «Измерение параметра порядка Эдвардса-Андерсона бозе-стекла: подход с использованием квантового газового микроскопа». Physical Review A. 94 ( 5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Bibcode : 2016PhRvA..94e1601T. doi : 10.1103/PhysRevA.94.051601. S2CID 56027819.
^ Томсон, С. Дж.; Крюгер, Ф. (2014). «Нарушение симметрии реплики в бозе-стекле». EPL . 108 (3): 30002. arXiv : 1312.0515 . Bibcode : 2014EL....10830002T. doi : 10.1209/0295-5075/108/30002. S2CID 56307253.
^ Сачдев, Субир (2011). Квантовые фазовые переходы. Cambridge University Press. ISBN 9780521514682. OCLC 693207153.
^ Jaksch, D.; Bruder, C.; Cirac, J.; Gardiner, C.; Zoller, P. (1998). "Холодные бозонные атомы в оптических решетках". Physical Review Letters . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat/9805329 . Bibcode : 1998PhRvL..81.3108J. doi : 10.1103/PhysRevLett.81.3108. S2CID 55578669.
^ ab Lühmann, DSR; Jürgensen, O.; Sengstock, K. (2012). "Мультиорбитальное и индуцированное плотностью туннелирование бозонов в оптических решетках". New Journal of Physics . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Bibcode :2012NJPh...14c3021L. doi :10.1088/1367-2630/14/3/033021. S2CID 119216031.
^ Sakmann, K.; Streltsov, AI; Alon, OE; Cederbaum, LS (2011). "Оптимальные зависящие от времени решеточные модели для неравновесной динамики". New Journal of Physics . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Bibcode :2011NJPh...13d3003S. doi :10.1088/1367-2630/13/4/043003. S2CID 118591567.
^ Łącki, M.; Zakrzewski, J. (2013). "Быстрая динамика атомов в оптических решетках". Physical Review Letters . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Bibcode : 2013PhRvL.110f5301L. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.065301. PMID 23432268. S2CID 29095052.
^ Will, S.; Best, T.; Schneider, U.; Hackermüller, L.; Lühmann, DSR; Bloch, I. (2010). «Временно-разрешенное наблюдение когерентных многочастичных взаимодействий в квантовых фазовых возрождениях». Nature . 465 (7295): 197–201. Bibcode :2010Natur.465..197W. doi :10.1038/nature09036. PMID 20463733. S2CID 4382706.
^ Бакр, Васим С.; Гиллен, Джонатан И.; Пенг, Эми; Фёллинг, Саймон; Грейнер, Маркус (2009). «Квантовый газовый микроскоп для обнаружения отдельных атомов в оптической решетке режима Хаббарда». Nature . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Bibcode :2009Natur.462...74B. doi :10.1038/nature08482. PMID 19890326. S2CID 4419426.
^ Бакр, WS; Пэн, A.; Тай, ME; Ма, R.; Саймон, J.; Гиллен, JI; Фёллинг, S.; Поллет, L.; Грейнер, M. (2010-07-30). «Исследование перехода сверхтекучего изолятора в изолятор Мотта на уровне одного атома». Science . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Bibcode :2010Sci...329..547B. doi :10.1126/science.1192368. ISSN 0036-8075. PMID 20558666. S2CID 3778258.
^ Вайтенберг, Кристоф; Эндрес, Мануэль; Шерсон, Джейкоб Ф.; Шено, Марк; Шаус, Питер; Фукухара, Такеши; Блох, Иммануэль; Кур, Стефан (2011). «Односпиновая адресация в атомном изоляторе Мотта». Природа . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Бибкод : 2011Natur.471..319W. дои : 10.1038/nature09827. PMID 21412333. S2CID 4352129.
^ Ромеро-Исарт, О; Эккерт, К; Родо, К; Санпера, А (2007). «Генерация транспорта и запутанности в модели Бозе – Хаббарда». Физический журнал A: Математический и теоретический . 40 (28): 8019–31. arXiv : Quant-ph/0703177 . Бибкод : 2007JPhA...40.8019R. дои : 10.1088/1751-8113/40/28/S11. S2CID 11673450.
^ Jordan, J; Orus, R; Vidal, G (2009). "Численное исследование модели Bose-Hubbard с жестким ядром на бесконечной квадратной решетке". Phys. Rev. B. 79 ( 17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Bibcode : 2009PhRvB..79q4515J. doi : 10.1103/PhysRevB.79.174515. S2CID 119073171.
^ Кшетримаюм, А.; Рицци, М.; Эйсерт, Дж.; Орус, Р. (2019). «Алгоритм отжига тензорной сети для двумерных термических состояний». Phys. Rev. Lett . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Bibcode : 2019PhRvL.122g0502K. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.070502. PMID 30848636. S2CID 53125536.
^ Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, MB (2010). "Colloquium: Area laws for the entanglement entropy". Reviews of Modern Physics . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Bibcode : 2010RvMP...82..277E. doi : 10.1103/RevModPhys.82.277.
^ Góral, K.; Santos, L.; Lewenstein, M. (2002). "Квантовые фазы дипольных бозонов в оптических решетках". Physical Review Letters . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat/0112363 . Bibcode : 2002PhRvL..88q0406G. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.170406. PMID 12005738. S2CID 41827359.
^ Совинский, Т.; Дутта, О.; Хауке, П.; Тальякоццо, Л.; Левенштейн, М. (2012). «Диполярные молекулы в оптических решетках». Письма о физических отзывах . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Бибкод : 2012PhRvL.108k5301S. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.115301. PMID 22540482. S2CID 5438190.
^ Tsuchiya, S.; Kurihara, S.; Kimura, T. (2004). "Переход сверхтекучего изолятора Мотта спин-1 бозонов в оптической решетке". Physical Review A. 70 ( 4): 043628. arXiv : cond-mat/0209676 . Bibcode : 2004PhRvA..70d3628T. doi : 10.1103/PhysRevA.70.043628. S2CID 118566913.
^ Гурари, В.; Поллет, Л.; Прокофьев, Н.В.; Свистунов, Б.В.; Тройер, М. (2009). "Фазовая диаграмма неупорядоченной модели Бозе-Хаббарда". Physical Review B. 80 ( 21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Bibcode : 2009PhRvB..80u4519G. doi : 10.1103/PhysRevB.80.214519. S2CID 54075502.