Решёточная модель (физика)

Трехмерная решетка, заполненная двумя молекулами A и B, здесь показанными как черная и белая сферы. Такие решетки используются, например, в теории растворов Флори–Хаггинса

В математической физике решеточная модель — это математическая модель физической системы, которая определена на решетке , в отличие от континуума , такого как континуум пространства или пространства-времени . Решеточные модели изначально появились в контексте физики конденсированного состояния , где атомы кристалла автоматически образуют решетку. В настоящее время решеточные модели довольно популярны в теоретической физике по многим причинам. Некоторые модели точно решаемы и, таким образом, предлагают понимание физики за пределами того, что можно узнать из теории возмущений . Решеточные модели также идеально подходят для изучения методами вычислительной физики , поскольку дискретизация любой континуальной модели автоматически превращает ее в решетчатую модель. Точное решение многих из этих моделей (когда они решаемы) включает наличие солитонов . Методы их решения включают обратное преобразование рассеяния и метод пар Лакса , уравнение Янга–Бакстера и квантовые группы . Решение этих моделей дало понимание природы фазовых переходов , намагничивания и масштабного поведения , а также понимание природы квантовой теории поля . Физические решеточные модели часто встречаются как приближение к теории континуума, либо для того, чтобы дать ультрафиолетовое обрезание теории для предотвращения расходимостей, либо для выполнения численных вычислений . Примером теории континуума, широко изучаемой решеточными моделями, является решеточная модель КХД , дискретизация квантовой хромодинамики . Однако цифровая физика рассматривает природу принципиально дискретной в масштабе Планка, что накладывает верхний предел на плотность информации , также известный как голографический принцип . В более общем плане, решеточная калибровочная теория и решеточная теория поля являются областями изучения. Решеточные модели также используются для моделирования структуры и динамики полимеров.

Математическое описание

Ряд решетчатых моделей можно описать следующими данными:

• Решетка , часто принимаемая за решетку в -мерном евклидовом пространстве или -мерный тор, если решетка периодическая. Конкретно, часто является кубической решеткой . Если две точки на решетке считаются « ближайшими соседями», то их можно соединить ребром, превратив решетку в граф решетки . Вершины иногда называют сайтами. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• Пространство спиновых переменных . Конфигурационным пространством возможных состояний системы тогда является пространство функций . Для некоторых моделей мы могли бы вместо этого рассмотреть пространство функций , где — множество ребер графа, определенного выше. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \sigma :\Lambda \rightarrow S}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow S}$ ${\displaystyle E}$
• Энергетический функционал , который может зависеть от набора дополнительных параметров или «констант связи» . ${\displaystyle E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{g_{i}\}}$

Примеры

Модель Изинга задается обычным графом кубической решетки , где — бесконечная кубическая решетка в или периодическая кубическая решетка в , а — множество ребер ближайших соседей (для функционала энергии используется одна и та же буква, но различные варианты использования различимы в зависимости от контекста). Пространство спиновых переменных — . Функционал энергии — ${\displaystyle G=(\Lambda ,E)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{d}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).}$

Пространство спиновых переменных часто можно описать как смежный класс . Например, для модели Поттса мы имеем . В пределе мы получаем модель XY, которая имеет . Обобщение модели XY на более высокие размерности дает модель -вектора, которая имеет . ${\displaystyle S=\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle S=SO(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)}$

Решаемые модели

Мы специализируемся на решетке с конечным числом точек и конечным пространством спиновых переменных. Этого можно достичь, сделав решетку периодической, с периодом в измерениях. Тогда конфигурационное пространство также будет конечным. Мы можем определить функцию распределения ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))}$

и нет проблем сходимости (подобных тем, которые возникают в теории поля), поскольку сумма конечна. Теоретически эта сумма может быть вычислена для получения выражения, которое зависит только от параметров и . На практике это часто бывает сложно из-за нелинейных взаимодействий между узлами. Модели с выражением в замкнутой форме для функции распределения известны как точно решаемые . ${\displaystyle \{g_{i}\}}$ ${\displaystyle \beta }$

Примерами точно решаемых моделей являются периодическая одномерная модель Изинга и периодическая двумерная модель Изинга с исчезающим внешним магнитным полем, однако для размерности модель Изинга остается нерешенной. ${\displaystyle H=0,}$ ${\displaystyle d>2}$

Теория среднего поля

Из-за сложности получения точных решений для получения аналитических результатов часто приходится прибегать к теории среднего поля . Это среднее поле может быть пространственно-переменным или глобальным.

Глобальное среднее поле

Конфигурационное пространство функций заменяется выпуклой оболочкой спинового пространства , когда имеет реализацию в терминах подмножества . Обозначим это как . Это возникает, поскольку при переходе к среднему значению поля мы имеем . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {C}}\rangle }$ ${\displaystyle \sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)}$

Как число узлов решетки , возможные значения заполняют выпуклую оболочку . Сделав соответствующее приближение, функционал энергии становится функцией среднего поля, то есть, Тогда функция распределения становится ${\displaystyle N=|\Lambda |\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).}$

${\displaystyle Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.}$

Так как , то есть в термодинамическом пределе , приближение седловой точки говорит нам, что интеграл асимптотически доминирует над значением, при котором достигается минимум: ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(\langle \sigma \rangle )}$

${\displaystyle Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}}$

где аргумент минимизирует . ${\displaystyle \langle \sigma \rangle _{0}}$ ${\displaystyle f}$

Более простой, но менее математически строгий подход, который, тем не менее, иногда дает правильные результаты, исходит из линеаризации теории о среднем поле . Запись конфигураций в виде , усечение членов затем суммирование по конфигурациям позволяет вычислить функцию распределения. ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})}$

Такой подход к периодической модели Изинга в измерениях дает представление о фазовых переходах . ${\displaystyle d}$

Пространственно изменяющееся среднее поле

Предположим, что предел непрерывности решетки равен . Вместо усреднения по всем , мы усредняем по окрестностям . Это дает пространственно изменяющееся среднее поле . Мы переобозначим его на , чтобы приблизить обозначение к теории поля. Это позволяет записать функцию распределения в виде интеграла по траектории ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}}$

где свободная энергия представляет собой повернутую по Вику версию действия в квантовой теории поля . ${\displaystyle F[\phi ]}$

Примеры

Физика конденсированного состояния

• модель Изинга
• Модель ANNNI
• Модель Поттса
• Хиральная модель Поттса
• XY-модель
• Классическая модель Гейзенберга
• n-векторная модель
• Модель вершины
• решетка Тоды
• клеточные автоматы

Физика полимеров

• Модель колебаний облигаций
• 2-я модель

Физика высоких энергий

• Модель решетчатой ​​квантовой хромодинамики

Смотрите также

• Кристаллическая структура
• Предел масштабирования
• QCD материя
• Решетчатый газ

Ссылки

• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, МР  0690578