Брэгговский самолет

Лучевая диаграмма формулировки фон Лауэ

В физике плоскость Брэгга — это плоскость в обратном пространстве , которая делит пополам вектор обратной решетки, под прямым углом. ^[1] Плоскость Брэгга определяется как часть условия фон Лауэ для дифракционных пиков в рентгеновской дифракционной кристаллографии . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

Принимая во внимание соседнюю диаграмму, приходящая рентгеновская плоская волна определяется как:

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}}$

Где вектор падающей волны определяется выражением: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}}$

где — длина волны падающего фотона . В то время как формула Брэгга предполагает уникальный выбор прямых плоскостей решетки и зеркальное отражение падающих рентгеновских лучей, формула фон Лауэ предполагает только монохроматический свет и то, что каждый рассеивающий центр действует как источник вторичных волн, как описано в принципе Гюйгенса . Каждая рассеянная волна вносит вклад в новую плоскую волну, заданную как: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }}$

Условием конструктивной интерференции в направлении является то, что разность хода между фотонами является целым кратным (м) их длины волны. Тогда мы знаем, что для конструктивной интерференции мы имеем: ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }}$

${\displaystyle |\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda }$

где . Умножая вышесказанное на формулируем условие в терминах волновых векторов, и : ${\displaystyle \scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Плоскость Брэгга, обозначенная синим цветом, и связанный с ней вектор обратной решетки K.

Теперь рассмотрим, что кристалл представляет собой массив рассеивающих центров, каждый из которых находится в точке решетки Бравэ . Мы можем установить один из рассеивающих центров в качестве начала массива. Поскольку точки решетки смещены векторами решетки Бравэ, рассеянные волны интерферируют конструктивно, когда вышеуказанное условие выполняется одновременно для всех значений , которые являются векторами решетки Бравэ, тогда условие становится: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Эквивалентное утверждение (см. математическое описание обратной решетки ) состоит в том, что:

${\displaystyle e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1}$

Сравнивая это уравнение с определением вектора обратной решетки, мы видим, что конструктивная интерференция происходит, если является вектором обратной решетки. Заметим, что и имеют ту же величину, мы можем переформулировать формулировку фон Лауэ, требующую, чтобы кончик падающего волнового вектора, , лежал в плоскости, которая является перпендикулярной биссектрисой вектора обратной решетки, . Эта плоскость обратного пространства является плоскостью Брэгга . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime }} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

Смотрите также

• рентгеновская кристаллография
• Обратная решетка
• решетка Браве
• Порошковая дифракция
• Линия Кикучи
• зона Бриллюэна

Ссылки

1. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Дэвид (2 января 1976 г.). Физика твердого тела (1-е изд.). Брукс Коул. стр. 96–100. ISBN 0-03-083993-9.